CHAPITRE X

' Masses et élémens des orbites des planètes.

Nous allons réunir dans ce chapitre les valeurs des différentes quantités qui entrent dans les formules précédentes , et qui se rapportent respectivement à chacune des sept planètes principales, Mercure, Vé-

, nus ; la Terre, Mars, Jupiter, Saturne et Uranus. Ces valeurs résultent de la comparaison des formules de la théorie aux résultats de l’observation , ce sont les seules données que la Mécanique céleste emprunte à l’observation.

Masses des planètes, celle du Soleil étant prise pour

unité .

87. Nous avons deux moyens de déterminer les masses des planètes, soit par l’observation des élongations de leurs satellites pour celles qui sont accompagnées de satellites, comme on l’a vu n° 28, livre H, soit en comparant les inégalités quelles produisent dans leurs mouvemens réciproques en vertu de leur actiou mutuelle , déduites de Tobservation, à ces mêmes inégalités calculées par les for-

mules de la théorie. . Les inégalités séculaires seraient celles qui présenteraient pour cet objet les données les plus exactes , mais elles ne sont pas encore assez bien connues en ce moment, pour qu’on puisse les employer à cet usage ; on y supplée en recourant aux inégalités périodiques et en faisant concourir à leur détermination un grand nombre d’observations que l’on combine entre elles de manière à en tirer les résultats les plus probables. C’est par la réunion de ces moyens qu’on a déterminé les valeurs suivantes , qui nous semblent les plus exactes qu’on ait obtenues jusqu’ici des masses planétaires.

Mercure. . .

Vénus . . . .

La Terre. .

Mars .....

Jupiter . . . .

Saturne . . .

Uranus. . . .

ir

rri

rri ■

La plus importante de ces liasses par sa grandeur, et par conséquent par son influence sur les perturbations des planètes et des comètes, est celle de Jupiter. La valeur précédente diffère de celle que nou$ avons trouvée dans le n° 28, et que l’on a déterminée au moyen des élongations du quatrième satellite de

cette planète. Depuis quelques années , le calcul des perturbatibns des planètes secondaires Pallas, Junon, Vestaet Ce'rès, semblaient indiquer que cette masse avait besoin de correction , et faisaient désirer de nouvelles observations des élongations des satellites de Jupiter, d’où dépend la détermination exacte de leur distance moyenne au centre de la planète. En effet, celleâ dont on avait fait usage jusqu’ici sont dues à Pound, astronome contemporain de Newton, et encore ne les connaît-on que par leurs résultats rapportés dans la" troisième partie du livre des Principes. Aujourd’hui que nous possédons des instrumcns plus exacts et des méthodes plus correctes, il devenait nécessaire de reprendre ce travail. M. Airy, dont nous avons déjà eu l’occasion de parler, l’a entrepris ; il a fait à l’Observatoire de Cambridge une nouvelle série d’observations, et par leur comparaison aux tables des satellites déduites de la théorie de Laplace, il adéterrhiné la distance moyenne du quatrième'satellite au centre de Jupiter, qu’il a trouvée égale à 0,01257977. On aura donc en prenant pour unité la distance moyenne de la Terre au Soleil , et conservant les notations du n° 25 du second livre :

log a' = 8.0996728, log T == 2.5625977, , log T' = 1.2224306.*

Ces valeurs substituées dans l’équation (m) du mêrpe numéro donnent 10^q ^ pour la masse de

Dü SYSTÈME DU MONDE. 343

Jupiter, ou plus exactement pdur la somme des masses de la planète et de son quatrième satellite , la masse du Soleil étant prise pour unité. Cette valeur s’accorde d’une manière satisfaisante avec celle qui résulte des perturbations des petites planètes. En effet, Nicolaï , par le calcul des inégalités produites par l’action de Jupiter sur Junon pendant un temps donné, a- conclu que la masse de Jupiter était

de — Encke a déduit des perturbations de

Vesta la valeur pour cette même quan-

tité , et Gauss a trouvé la même valeur, ou une valeur à très peu près la même par le calcul des perturbations de Pallas. Enfin, comme on l’a vu a® 73, Eucke a déduit des équations de condition qui lui ont servi à déterminer le coefficient constant qui exprime la résistance de l'éther à l’unité de distance, sur la comète périodique de 1819, une masse

exprimée par la fraction ".Tout concourt donc

à démontrer que la masse conclue des observations de Pound , et qui a été adoptée par les géomètres depuis jNewton , a besoin de corrections, et il ne s’agit plus que de choisir entre les valeurs précédentes. Quoique la méthode fondée sur l’observation des élongations des satellites soit la plus directe et selon nous la plus exacte que l’on puisse employer pour détermiuer la masse de Jupiter , cependant comme les observations de M. Airy peuvent n’êlre point exemptes de quelques légères erreurs, et qu’il

annonce l’intention de les renouveler dans des circonstances plus favorables à ce genre de recherches, dans les années i834, i835 et i836, nous avons cru devoir, en attendant, admettre la masse déduite des perturbations de Junon, parce que c’est celle que les astronomes étrangers ont généralement adoptée, et que, d’ailleurs, le peu de différence qui existe entre elle et les autres valeurs que nous avons rapportées, fait que si elle avait besoin de corrections les résultats suivans n’en seraient que faiblement affectés.

Les masses de Saturne et d’Uranus sont celles qui résultent des équations de condition qui ont servi à la construction des tables de Bouvard. Cette manière de les déterminer doit être préférée ici à celle qui serait fondée sur les élongations observées des satellites de ces deux planètes, parce que , vu leur extrême difficulté , les observations de ces élongations sont encore beaucoup moins certaines que celles des satellites de Jupiter. Il ne faut pas se dissimuler cependant que selon M. Bouvard la masse de Jupiter,

déterminée de la même manière, serait de — - — =, , 7 1070, 57

valeur qui diffère peu de celle que l’on déduit des

observations de Pound , n? 28, livre II, mais qui

ne peuvent nullement concorder avec les résultats

des perturbations des petites planètes, ou avec la

valeur qui résulte des nouvelles observations de

M. Airj. Il est donc très probable que les masses de

Saturne et d'Uranus , données par M. Bouvard, ont

également besoin de corrections, et nous savons que

cet astronome s’occupe en ce moment pour cet objet d’une nouvelle révision des équations fondamentales de ses tables.

La masse de la Terre a été déterminée par la formule ( n ) du n° 28, livre II, dans laquelle on a supposé

log sin P =f log sin 8r/,6o = 5,5i()3564*

Ces valeurs , qui paraissent plus exactes que celles qui sont rapportées dans le numéro cité , ont donné :

Quant aux masses de Mercure et de Mars , lorsque leur action sur les autres planètes n’était pas encore suffisamment connue , on les avait déduites d’une hypothèse empirique sur la loi de leur densité. On avait observé, en comparant les masses de la Terre , Jupiter et Saturne à leur volume , que les densités de ces trois planètes sont à très peu près en raison inverse de leurs moyennes distances au Soleil ; et , en étendant par hypothèse cette loi aux trois planètes Mercure, Mars et Jupiter, il avait été facile d’en conclure leurs masses en supposant connus leurs diamètres, qui sont donnés en effet par l’observation. Mais l’arbitraire de cette hypothèse, qui s’écarte beaucoup, comme on sait , de l’exactitude relativement à Vénus et à Urantis, joint à la difficulté que présente l’observation des diamètres planétaires , laissait beau-

coup d’incertituder dans cette détermination, et il était à désirer qu’on fixât les masses de ces deux planètes par des moyens plüs directs. C’est ce qu’a fait Delambre relativement à Mars , dont il a déterminé la masse par les effets qu’elle produit dans le mouvement de la Terre. La comparaison d’un très grand nombre d’observations du Soleil , faites par Bradley et Maskeline , aux formules des perturbations four-

nies par la théorie , lui a donné pour la va-

leur de cette masse. Mais Bessel, après avoir discuté de nouveau les observations employées par Delambre,

et c’est la valeur que nous avons adoptée. Quant à la masse de Mercure , on a conservé celle qui résulte de l’hypothèse, précédente sur la loi de densité des planètes , tout en reconnaissant son incertitude; mais on doit observer que la petitesse de cette masse fait que son incorrection ne peut avoir aucune influence sensible sur la détermination des inégalités planétaires. En nommant a eta' les distances moyennes respectives de Mercure et Jupiter au Soleil , D et IÉ leurs diamètres ,metm' leurs masses, on aura , selon l’hypothèse

précédente, pour la masse de Mercure ni = — m’ .

En supposant, d’après les observations, les diamètres moyens de Mercure et Jupiter vus à la moyenne distance de la Terre au Soleil respectivement de 2i",(>o et 62(i,"o4, en substituant ensuite à la place de a et a les valeurs que nous donnerons plus bas, onlrouve.

a jugé que cette quantité devait être réduite à

d’après la masse adoptée précédemment pour Jupiter, la valeur de m que nous avons rapportée.

Ainsi donc les valeurs des masses planétaires que nous avons adoptées , celles de la Terre et Mercure exceptées , résultent de la comparaison des observations aux formules analytiques des perturbations, et elles sont toutes déterminées par conséquent d’une manière uniforme et symétrique. Les masses de Jupiter et de Saturne , dont l’effet est si considérable sur les inégalités des planètes, laissent encore quelque incertitude ; de nouvelles observations dés élongations de leurs satellites permettront bientôt , sans doute , de déterminer ces masses avec plus d’exactitude qu’on ne l’a fait jusqu’ici , et l’accord des valeurs données par des méthodes si différentes en sera la plus sûre vérification. >.

88. Nous avons donné dans le chapitre Y du livre 11 les formules qui servent à déduire des observations les élémens des orbites planétaires. On peut et» général regarder les élémens ainsi obtenus comme une approximation qu’on rendra de plus en plus exacte à mesure que le temps fournira un plus grand nombre d’observations, et développera les diverses inégalités dont les môuvemens planétaires sont affectés. Le meilleur moyen d’y parvenir est de comparer, ainsi que nous l’avons dit pour la correction des masses , nu très grand nombre d’observations choisies à cet . effet aux longitudes et aux latitudes déduites des tables planétaires calculées avec -le* élémens de l’orbite relatifs à la première approximation. En donnant ensuite à ces élémens une correc-

tion indéterminée , qu'on supposera assez petite pour qu’on puisse négliger les puissances supérieures à la première, on égalera les variations qui en résulteront dans l’expression de la longitude et de la lati tude aux différences que l’on a trouvées entre les lieux observés et les lieux donnés par le calcul. On formera ainsi autant d’équations qu’il y a d’observations employées ; en les combinant ensuite par la méthode des moindres carrés , on obtiendra les valeurs des indéterminées qu’elles renferment , qui satisfont le mieux à l’ensemble des observations. A l’aide de ces données , ou corrigera les premiers élémens des orbites , et l’on parviendra ainsi aux résultats les plus exacts que puisse fournir sur cet objet , dans l’état actuel de l’Astronomie, le concours de la théorie et de l’observation. C’est de cette manière

qu’on a trouvé les valeurs suivantes :

Moyens mouvemens sidéraux des planètes pour une année julienne de 365 jours \ > ou valeurs de n , if, etc ,

Mercure

Vénus

La Terre

Mars * .

. . . nm = 68go5 1,12

Jupiter^

Saturne.. . .

Uranus

-f rvtik&t'tïtr- ü

lorsqu’on emploiera

les valeurs précédentes pour

n, n' , etc., le temps t désignera l’intervalle écoulé depuis l’instant que l’on a choisi pour époque exprimée en années juliennes et en parties de cette année.

De là , en prenant la distance moyenne de la Terre au Soleil pour unité , et en observant que les temps des révolutions des planètes sont en raison inverse de leurs moyens mouvemens, dans le même espace de temps, on a conclu par la troisième loi de Képler, n° 2 , livre II , les distances moyennes suivantes des planètes au Soleil.

Distances moyennes des planètes au Soleil , ou demigrands axes de leurs orbites.

Mercure ......

Vénus

La Terre

Mars

Jupiter. ......

Saturne

Uranus

Longitude des époques en 1800 , ou valeurs de e, e' , etc.

Mercure..!... e = 1 io° i5' 17 w, 9

Vénus ' é = i45.56.52, 1

La Terre «" = 100. 25.3a, 6

Mars ......... êm = a3a .49-5o , 5-

Jupiter....... é” = 81. 5a. io,3

Saturne . eT = ia3.o5.29,4

Uranus- tfi = 173.30.16,6

35o THÉORIE ANALYTIQUE .

Rapports des excentricités aux moyennes distances ^ ou valeurs de e , e', etc., pour 1800.

Mercure . . . . .

Vénus. ......

o,oo6855i

La Terre . . . .

0, oi685559’j

Mars : .

Jupiter ’. . . . .

Saturne

Uranus

eT1

Longitudes des périhélies

en t

800, ou valeurs

etc.

Mercure ....

. ) Ifr

Vén i .....

■ La Terre. . . .

Mais

? Jupiter. . i7 .

Ù>iy

Saturne. ... .

Uranus. . .'. .

6ùyi

Inclinaisons des otbites à l’écliptique en 1 8uo y ou

valeurs de <p , <p', etc .

Mercutëè:. **. j <p •= 7°oo/ 9f/ *.• Vénus . i * . 4 j • <p' — 5.2,5.29,

La Terre. 4><., . r (p" - = 0.00*00' ...

Mara.f ,**;*•.* <p"' = i.5o.. 6,

Jupiter c. 4 <*.. . r, <p,?s =1.18.53. ; i, Saturne^ %k£i *r jpT v ~ 2 *. 29 3$ • «> £ Urâuus *r ,*:M- cr <PTI* =. . ,4A* 3$ : :.'î » I

Longitudes des nœuds ascendans sur L’écliptique dç iSoo j ou valeurs de a ,0! , etc .

^ Mercure a ,= ^05rj’^' . , .

Vénus et' .= 74.52.39

La Terre. . * „ ctu = 0.00.00

Mars....*.. a,n = 48-00.26

Jupiter .. . cl" = 98. 25. 45

Saturne aT = m.56. 7.

t üranus aTI = 72.59.21

Toutes les longitudes qui précèdent sont comptées à partir de l’équinoxe moyen du printemps de 1800, en prenant pour époque le minuit qui sépare le 3i décembre 1799 du iBr janvier 1800. On doit se rappeler encore que conformément à ce qui a été dit n° 24 j livre II, la longitude du périhélie est égale à la distance du périhélie au nœud, augmentée de la longitude du nœud à l’instant que l’on a choisi pour époque.

L’action mutuelle des planètes fait varier insensiblement les élémens de. leurs orbites et altère à la longue, par conséquent, les valeurs précédentes;

nous déterminerons plus loin ces altérations* , . ;

D’après la théorie des variations séculaires, les moyens mouvemens n , n' , etc., ainsi que les demigrands axes ay a', etc., qui s’en déduisent, devraient être invariables^ et l’on devrait, par Conséquent; retrouver dans tous les siècles les mêmes valeurs pour ces quantités. Mais nous remarquerons que lorsqu’on

déduit des observations les longitudes moyennes nt + éi rit + etc., les termes ni , rit9 etc. , qui croissent avec le temps, contiennent, outre la partie qui dépend du mouvement moyen , une autre partie dépendante du terme proportionnel au temps que renferme l’expression de la longitude des époques c, é y etc. Or, cette dernière partie est nécessairement variable, et nous en donnerons plus loin l’expression. Il résulte delà que les valeurs de n, ri, etc., qui précèdent, ainsi que celles de a , a', etc., données directement par les observations, et sans qu’on en ait déduit les parties dépendantes de la variation des époques, ne sont pas rigoureusement constantes , et sont sujettes à quelques légères variations dépendantes de Faction mutuelle des planètes. Au reste , les valeurs que nous avons rapportées sont celles que Laplace avait adoptées, et nous les avons conservées à cause des nombreuses quanti tés déj à déterminées par M. Bouvard /auxquelles elles servént de base dans la théorie des perturbations planétaires , et dont il eût fallu sans cela reprendre en entier le calcul. Ces valeurs ont subi depuis quelques altérations,' tant par les raisons que nous venons d’exposer, que parce que les nouvelles tables astronomiques ont permis de les déterminer avec plus de précision. On trouvera à la fin de ce volume ces nouvelles valeurs ; les différences quelles offrent avec celles qui précèdent ne sont pas de nature à altérer d’une manière sensible les résultats qui en sont déduits. . • u

A l’aide des valeurs précédentes de a , a! , etc. , et des formules données dans le chapitre 11, on a cal-

DU SYSTÈME DU MONDE, culé les quantités suivantes :

Mercure et Vénus (*).

«■si -p = 0.53516076, log« = g. 73848431 ;

d’où l’on a conclu

log b\ = o. 33i63355,

ensuite

, ,»i iL.tp ft

mê v

togi^ = 0.3368948,

log&i^ = 9.7811613,

io#r

= 9-3gi97>3,

bx tes 7.7817091,

<fl)

dbV

db ,

log

= g.6io6g35, log « = g. 893309a,

a. = 9-7578569, « ~dt~ ~

(*) La plus grande partie de ces quantités avait été calculée par M. Bouvard , et rapportée dans le tome III de la Mécanique céleste. Je leur ai joint celles qui étaient nécessaires à la détermination de nouvelles inégalités reconnues dans lé mouvement des planètes. On ne rapporte ici que les valeurs logarithmiques , parce que l’on en fait beaucoup plus usage dans le calcul des perturbations planétaires que des valeurs en nombres.

Le signe — derrière un logarithme indique que le nombre auqjuel il se rapporte est négatif.