XV

+x-(w- S-Vo-â=M> +x-(w- £•- ,'0-é)=M'>

o n aura les deux équations suivantes

i4 THÉORIE ANALYTIQUE

uu'.(m0/»'- m'n°) .x^fvu'. (mn°-m°n) . m — y'v.(m.n-m'n') . m°]

v m'p° ) .xy— [ vu' . (mp0-m0p) . m — y xs .{mp -m p).m°~\.^

Si l’on élimine entre elles l’inconnue z, on aura pour déterminer xt

A.uu'u".x — [vu'.(/n/i°— m°n).m' — v'u.Qran' — m'n).m°].M' 1

— [vu' . ( mp°-m°p ) . m—yv . (mp'-m'p) . /re°] . (M-L') J ' ^

De même en changeant dans cette équation xt en yt , ma ,m, m' en n° , n , n' , et réciproquement , et en faisant pour abréger

y'üA —

yv.£+y.(w.

YV.g+Y.(W. £ - ,'üÂ)=N',y

on trouvera pour déterminer ^ ,

A.uu'u".j(=[vu'.(/ren° — m°n).n — v'u.(h*i»'— /»'n).n°].N' i .

— [vu . (n°p — np°) . n — Vu. {np — np') . n°].(N-L). J ^

4. Nous voici donc parvenus à exprimer sous forme linéaire les six quantités x, y, z, x,, y,, zt, qui doivent servir à fixer l’orbite de la comete en fonction des quantités v, v* , u , et de quantités

toutes connues. Les valeurs de v, ü( v , u , sont, comme nous l’avons vu , données par des séries qui procèdent suivant les puissances ascendantes du temps et qui renferment de plus les trois indéterminées

r,s='-^ et Il faut donc connaître encore les

valeurs de ces quantités avant de pouvoir faire usage des formules précédentes. Or la première peut aisément se déterminer au moyen de l’équation (5) du n° 2; en effet, si l’on substitue dans cette équation pour f sa valeur en z donnée par la troisième des équations (a), qu’on compare ensuite lequation résultante à l’équation (5), on aura deux équations entre les deux inconnues r et z, d’où l’on pourra toujours conclure par l’élimination la valeur de chacune d’elles. Quant aux deux autres indéterminées s et ~ , nous donnerons le moyen de faire

disparaître la première de ces formules , et la seconde n’y sera pas introduite par la substitution des valeurs de v, u, v', v1 , lorsqu’on ne poussera les approximations que jusqu’aux carrés du temps, ce qui suffira dans presque toutes les circonstances; nous pouvons donc ne pas nous en occuper ici , et regarder les formules précédentes comme très propres à résoudre entièrement la question que nous traitons.

Pour développer ces formules, reprenons les valeurs deV et de U données n° 52, livre II. En ne poussant l’approximation que jusqu’aux quatrièmes puissances du temps t , on a

Ôr3

St 4

5si , 1 \ <4

En faisant successivement t =; — 6 et t = Ô', on aura

les valeurs des quantités que nous avons représentées par v, u, v' , u'. On trouve ainsi, en rejetant les termes inutiles,

fl -u 03 — 0 +6

et comme u"= vu' — v'u, on aura

s. (8' — 6). (8' -f fl)5

Pour donner à nos formules toute la simplicité quelles sont susceptibles d’acquérir, il convient d’exprimer les coordonnées X°, Y®, X', Y' de la Terre, qui se rapportent aux observations extrêmes, en fonction du temps, et des coordonnées X, Y relatives à l’époque où l’on compte t = o. Nous supposerons donc

X°=VX-f-UX,, X^V'X+.U'X,,

Y» = y Y + UY„ Y' = V'Y -f- U'Y,,

en faisant, pour abréger, X/ = <^, Y, = ^ et

en désignant par V, U, V', U' des fonctions semblables à celles que nous avons nommées v, u, v', u', et qu’on obtiendra en faisant successivement 1=. — S, t = B' dans les équations (m), après y avoir changé/1 en R et s en S ; on aura ainsi

— 2R3 2Rs’

Pour abréger, nous supposerons dans ce qui va suivre

ü"=Vu'— v'u, u;=Uuy^u'u.

Ijes valeurs précédentes donneront donc U=5+9 6rr+UlÜ+ 4^

et par suite

8'.(fl'+8) /.

Nous supposerons de plus

vu'+v'ü=v% Vü'+y,u=y'/, Uü,+ü'u=v;.

Mais dans ces quantités nous n’aurons besoin que de considérer les termes du troisième ordre ; on trouvera ainsi

d’où l’on tire

11 ne s’agit plus que de substituer à la place de X°, Y°, X', Y' et des quantités v, n, Y , etc., leurs valeurs dans les fonctions que nous avons désignées par L, L', M, M', N et N'. *

5. Nous considérerons d’abord le cas particulier où ToMe II. 2

les observations sont supposées faites à des intervalles de temps égaux, parce que les formules qui résultent de cette hypothèse acquièrent une grande simplicité, et qu’on peut d’ailleurs y ramener le cas général en calculant trois observations équidistantes par des interpolations faites entre les observations données.

Si l’on remplace X°, X' , Y® , Y' par leurs valeurs , les expressions de L et L' deviennent

Dans le cas particulier où fl = 0', on a

et ü/= o. Si pour abréger on fait ~ ^ = a, on

aura par conséquent

L== — Ô3ffX, L'= — 03crY.

On trouverait de la même manière

1 TTl TTL I \ fît

Si dans cette équation on met pour V, V', U, U', v, v', u, v' leurs valeurs et qu’on néglige les termes du cinquième ordre et des ordres supérieurs , on trouve aisément

On aurait semblablement

Si Ton substitue pour L et 1/ leurs valeurs dans l’équation (5), qu’on remplace ensuite z par sa valeur dans les deux premières équations (4) , on aura

,r=X-f--^. [(n°p' — ni p°) . m.\ — (m°p' — m'p°) . m . Y], J = Y + ^ • [(»°//— n>°) . n.X—(m0p'—m'p0 ) . », Y],

Les trois équations(6) , (7), (g}, en substituant pour L , L', M, M', N, N', leurs valeurs, donneront de même

x =x J — V) • m°+(n9p — np°) . m'] . x|

( — [(ni p — mp') .m°-j-(m°p — mp°) . m'] . Y j

^ \[(n’p — np) . n°-f (n°p — np°) . n'] . x)

y< oa * ) ( »

f — [(m'p — mp') . n°4- (m°p — mp ”) . n'] . Y J

r — fl [[(«> — np').p°-f-(n°p — "P°) -P'] -X

’ — [{m’p—mp') .pa-\-(m°p — mp°) .p'] . Y

Si l’on remplace# maintenant dans ces formules les lettres m°, n° , p°, m, n, p , m', n', p' par les valeurs quelles représentent , et que pour abréger on fasse

c° = tang b . sin (A — « ) — tang ^ • sin(A a) , )

C = tangi' .sin (A— a0)— tangi0. sin (A — «'),KC) C = tang b° . sin (A — a) — tang b . sin(A — fl0},)

D=tang£>* . sin(a'-fl) 4- tangfr . sin(a°-a )+tang&' . sin(a-«°) , (D) ce qui donne

A — — cos b* cos è cos b' . D ; qu’on substitue pour X et Y leurs valeurs X = R • cos A , Y = R . sin A , on trouvera apres des réductions faciles

Rri1 aD ‘

, C cos a ,

Rr«*

.Csinn,

Rrf1

. Ctang£ ,

Rcr$

.(C°cosn°-

-C'cosa'),

Rirâ

aï)

. (C° sin fl° -

- C'sina'),

R<rt>

. (Otang b*~

— C'tangZ»') ;

formules d’une simplicité remarquable. En leur joignant l’équation (3) du n° 2 , on aura tout ce qui est nécessaire à la détermination des valeurs des six

quantités x ,y , z, xt , J ,, zr 6. Si l’on substitue dans la troisième pourz sa valeur

psin b, et pour <7 la quantité quelle représente , cette formule donnera

R«SC /i 1 \ , x

p~^Dc ^î’Vr3 RV' ^

En faisant donc, pour abréger,

L Bl»C zDcosft*

on aura pour déterminer les inconnues p et r les deux équations

F —h.fe — 55), / Qÿ

r* =R* — p.(2R cosC)+p*. ;

On pourrait éliminer entre ces équations l’une des inconnues qu’elles renferment; en substituant, par exemple, dans la deuxième à la place de p sa valeur, on parviendra à une équation finale du huitième degré en r, mais qui s’abaissera d’elle-méme au septième. Cette équation, résolue par approximation, donnera la valeur de mais il est plus commode dans les applications de conserver les deux équations (B) , et de déterminer simultanément la valeur de p et de r par la méthode ordinaire des fausses positions. .

Quand les valeurs de p et de r seront connues , on aura aisément celles des six quantités x, y ,zy cct tyiX z/ par les formules (A) , et l’on en conclura celles des élémens dé l’orbi te par les formules du n° 29 , livre ll.