CHAPITRE PREMIER

Détermination approchée des orbites des Comètes.

j . Les comètes sont des astres qui diffèrent des planètes , non-seulement par leurs apparences physiques, mais encore par la marche irrégulière qu’ils affectent. Elles parcourent au hasard toutes les régions de l’espace , les unes dans un sens , les autres dans la direction opposée. Les plans de leurs orbites ne sont plus compris dans une zone étroite de la sphère céleste , ils peuvent avoir entre eux des inclinaisons quelconques; mais les comètes sont, comme les planètes, assujetties à la loi de la pesanteur universelle, et elles décrivent en vertu de ce principe des courbes rentrantes dont le Soleil occupe un des foyers. Probablement , et l’analogie nous porte à le croire, les orbes des comètes, sont, comme ceux des planètes, des courbeselliptiques ; mais ces ellipses sont très allongées, et leurs grands axes presque infinis, puisque nous n’apercevons ces astres que dans une partie de leur cours lorsqu’ils approchent du Soleil, et qu’ensuite ils disparaissent totalement à nos yeux armés de tous les instrumens que l’esprit humain inventa pour en prolonger la portée. Ce ne serait donc qu’une question de pure curiosité, intéressante sous le point de vue analytique,

mais peu importante aux besoins de l’Astronomie, que celle qui aurait pour but de déterminer les élémens de l’orbite d’une comète, d’après les observations faites pendant la courte durée de son apparition, si nous ne devions plus l’apercevoir dans la suite, et si elle avait abandonné pour toujours les limites de notre système planétaire. Mais il faut observer que c’est le seul moyen que nous ayons de reconnaître cet astre lorsque, après avoir accompli sa révolution, il reviendra vers le Soleil. Il ne faut pas en effet compter pour cela sur ses propriétés optiques; l’étendue du noyau , la chevelure , la disposition de la queue , l’éclat de sa lumière , toutes ces données varient à chaque instant de forme , de grandeur et d’intensité , à mesure que les comètes approchent du Soleil ou de la 'J erre , et les circonstances enfin dans lesquelles elles se trouvent changent à chaque révolution , parce que la matière si rare qui compose leur chevelure et leur queue se dissipe graduellement dans l’espace.

C’est donc en comparant les élémens de la comète que l’on observe , à ceux des comètes qui ont été observées précédemment, que l’on peut s’assurer si cet astre apparaît en effet pour la première fois, ou si ce n’est qu’une comète déjà connue qui revient à son périhélie. Il devient donc indispensable de calculer ses élémens. Newton le premier, dans son admirable ouvrage des Principes, a donné une solution de ce problème, fondée sur des considérations géométriques très ingénieuses. Halley, par des calculs immenses, l’appliqua à toutes les comètes connues de son temps. Ce travail porta son fruit , et ce grand astro-

nome reconnut le premier l’identité des comètes observées en i456, i53i, 1607 et 1682 ; résultat important , et qui valut un nouveau triomphe à la théorie de la pesanteur universelle, en montrant que la marche des comètes, si irrégulière en apparence, est aussi certaine que celle des planètes, et en mettant les géomètres à même de suivre le cours, et de prédire les retours futurs de ces astres, qu’on avait regardés jusque là comme des phénomènes à part, et en dehors de toutes les lois qui régissent les autres corps du système du monde.

La question que nous allons traiter intéresse donc non-seulement les géomètres comme un bel exercice d’analyse, mais encore les astronomes comme un point de théorie qui peut avoir d’importantes applications. Aussi beaucoup d’entre eux en ont fait l’objet de leurs méditations, et nous avons aujourd’hui pour résoudre ce problème plusieurs méthodes qui conduisent par des voies différentes à des résultats également satisfaisans. Deux de ces méthodes méritent surtout d’être distinguées, comme étant pour ainsi dire les types originaux sur lesquels la plupart des autres ont été construites ; ce sont celles que nous devons à Lagrange et à Laplace. Elles portent chacune le cachet particulier qui caractérise l’esprit de ces deux grands géomètres. Celle de Lagrange semble ressortir plus analytiquement du fond de la question, et sa simplicité n’exclut pas l'élégance ; celle de Laplace parait plus recherchée, et résulter plutôt de considérations fondées sur les observations que de la théorie. Elles ont l’une et l’autre de grands avantages.

leur application numérique est facile, et leur usage est aujourd’hui justement adopté. Comme l’illustre auteur de la Mécanique céleste a pris soin lui-même d’indiquer les nombreux perfectionnemens que l’expérience a introduits dans sa méthode, et qu’elle est suflisamment exposée dans cet ouvrage, nous présenterons ici sous des formes analytiques nouvelles une méthode qui dérive fort simplement de celle de Lagrange , mais qui évite une partie des inconvéniens que celle-ci entraînait dans les applications, et que ce grand géomètre aurait sans doute donné le moyen d’aplanir, si, toujours plus occupé des vastes questions de la théorie que des embarras de la pratique , il n’avait dédaigné d’adapter ses formules à quelques calculs numériques.

•On sait qu’il suffit en général de trois observations pour déterminer toutes les circonstances du mouvement d’une comète. Cette question est même susceptible d’une solution rigoureuse; mais les équations finales auxquelles elle conduit sont tellement compliquées, et d’un degré si élevé, qu’il serait absolument impossible d’en faire usage; aussi a-t-on pris le parti de recourir aux méthodes d’approximation. Celle qu’on a généralement adoptée est fondée sur la supposition que les observations qu’on emploie sontpeuéloigne'es l’une de l’autre , ce qui permet de traiter comme de très petites quantités les intervalles de temps qui les séparent. On peut alors, au moyen de trois longitudes et de trois latitudes observées , déterminer tous les élémens de l’orbite, savoir : l’excentricité, la longitude du périhélie, et celle de l’époque, l’inclinaison,

la longitude du nœud, et le grand axe. Ce dernier élément est le seul qui puisse laisser de l’incertitude, parce qu’il faudrait, pour le déterminer exactement, connaître la durée d’une révolution de la comète , ce qu’on ignore presque toujours : mais on peut remarquer que lorsque la comète est près de son périhélie, et c’est alors seulement que nous l’apercevôns, l’ellipse quelle décrit se confond sensiblement avec la parabole qui a son sommet en ce point, et qui est décrite du même foyer, en sorte que le mouvement apparent de l’astre et les résultats de l’observation sont les mêmes que s'il avait lieu sur cette courbe. On suppose par cette raison, pour faciliter le calcul des élémens, que l’orbite est parabolique. La solution du problème contient alors une équation de plus que d’inconnues, et l’on peut en profiter pour choisir, entre les diverses combinaisons de ces équations, celle qui doit conduire à des résultats plus exacts. Lorsqu’on est parvenu de cette manière à une première connaissance approchée de l’orbite, en employant trois nouvelles observations séparées par des intervalles de temps plus considérables, on rectifie les élémens que l’on a obtenus de manière à satisfaire le plus exactement possible à l’ensemble des observations connues. Plusieurs méthodes ont été imaginées dans ce butj celle que nous exposerons ici mérite d’être adoptée définitivement par les astronomes qui s’occupent de ces recherches , et qui doivent désirer d’éviter les longueurs de calcul et la perte de temps , que les autres méthodes occasionent trop souvent.

Après ces notions nécessaires sur la solution générale du problème, nous allons en développer l'analyse; nous donnerons ensuite des exemples numériques qui faciliteront l'application de la méthode que nous exposons.

2. Soient x, y , z les coordonnées de la comète dans son orbite autour du Soleil, rapportées à un plan fixe que nous supposerons être celui de l’écliptique ; soit r=v/saH-j»+ z* sa distance au Soleil.

Soient X et Y les coordonnées de la Terre dans

l’écliptique, et R = \/X*-f- Y* sa distance au Soleil ou son rayon vecteur.

Enfin désignons par £, », £ les trois coordonnées de la comète rapportées à trois axes passant par le centre de la Terre , et par / = »*-f- £* la dis-

tance de la comète à la Terre, en sorte qu’on ait

Soient maintenant a la longitude géocentrique de la comète, et b sa latitude ; soit A la longitude de la Terre dans le même instant; il est aisé de voir qu’on aura

X = R.cosA, Y=R.sinA, £ = y .cosa .cosb,

» = f . sin a . cos b , £ = y . sin b.

Ces valeurs substituées dans les équations (x) donneront

x = R . cos A -f- f . cos a . cos b, 1 jr = R . sin A -J-/ . sin a .ces b A (2) z = / . sin b. j

Chaque observation fournira trois équations semblables; si l’on ajoute ensemble les carrés de ces équations, on en tire

r*= Ra-f- aRf • cos(A — a) . cos b -j- />* ,

équation que donne d’ailleurs immédiatement le Triangle rectiligne formé par le Soleil , la comète et la Terre. En effet , si l’on nomme c l’angle entre le Soleil et la comète, ou ce que les astronomes appellent son élongation , R et f seront les côtés qui comprennent cet angle , et r le côté opposé ; on anra donc

r*=R* — 2R/> . cosc-J- f*. (3)

Or l’angle c a pour mesure l’hypoténuse d’un triangle sphérique rectangle dont b et i8o°— -A-f-a sont les deux autres côtés ; on aura donc

cosc = — cos (A — à) . cos b,

et les deux valeurs de r* sont par conséquent identiques.

Les observations font connaître les deux angles a et b ; l’angle A et le rayon R se calculent par les tables du Soleil; les équations (2) renferment donc encore quatre incontlueS, x , y , z et f> , et ne peuvent suffire par conséquent pour les déterminer. Il faut, pour y parvenir, faire quelque hypothèse sur la nature de l’orbite que décrit la comète ; la plus simple est de supposer cette Orbite parabolique. Dans ce cas, on peut, n° 3a , liv. H, exprimer les coordonnées de la comète relatives à une époque quelconque, ensériesordonnées

DU SYSTÈME Dü MONDE. g

par l'apport au temps, et ne dépendant que de six quantités supposées connues, qui sont les trois coordonnées de la comète à une époque donnée et les trois coefliciens différentiels de ces coordonnées. Si l’on substitue donc ces valeurs dans les équations (a), elles renfermeront sept inconnues , savoir, les six quantités dont nousvenonsde parler, et l’indéterminée /; maischaque observation donnant trois équations semblables , si l’on choisit trois observations faites à des intervalles de temps connus, il est clair que les neufs équations qui en résulteront ne renfermeront plus que neuf inconnues, et su diront par conséquent pour en déterminer la valeur. On aura même, en y joignant l’équation du mouvement parabolique, une équation de plus que d’inconnues, et le problème pourra être, avec ces données, complètement résolu.

Prenons donc trois observations séparées par des intervalles de temps 0 et 0' assez courts pour que les séries ( k ) du n* 32, livre II, soient convergentes. Prenons pour l’époque cl’où nous comptons le temps t, et qu’on est libre de choisir arbitrairement, celle qui répond à l’observation moyenne; désignons par x , y, z les coordonnées de la comète à cet instant, rapportées au centre du Soleil , et par x^'—, yt=^t

2,= leurs trois coefficiens différentiels; désignons

par x° ,y°, z°, les coordonnées de la comète qui répondent à l’époque — 0 de l’observation qui a pré-

cédé, et par x' , y' , a' celles qui répondent à l’époque t=0' de l’observation suivante. Si l’on développe par

la méthode du numéro cité , ces six quantités suivant les puissances de G et de G', on aura pour les déterminer des expressions de cette forme

x®= vx -f- ux, , x'= v'x 4- u'x( ,

y°= yy + u r, , y = v> -f- u ’jr, ,

z®= vz -j- tj z/ , z' = v's + u'z,;

les lettres v, 0,7', u', exprimant des fonctions ordonnées par rapport aux puissances de G et de G', qui renferment en outre le rayon vecteur r et les

quantités s — r^ et ^ relatifs à l’époque t=o. Les

valeurs de v, u, v', u' se détermineront en faisant successivement tz= — G et t=Q' dans les fonctions que nous avons représentées par V etüdansle n® 32,liv.II, 3. Cela posé, soient a°, a, a' les trois longitudes géocentriques de la comète, b* , b, b' ses trois latitudes, et />°, f, y'ies distances de la comète à la Terre dans chacune des trois observations. Soient de plus A0, A, A' les trois longitudes héliocentriques de la Terre, R°, R, R' ses trois rayons vecteurs correspondans , et enfin X°, Y®, X,Y, X', Y' ses coordonnées rapportées au centre du Soleil, et relatives aux mêmes instans , en sorte qu’on ait

X°= R° cos A®, X= R cos A, X'=R'cosA',

Y0 = R® sin A®, Y = R sin A, Y'=R'sinA'.

En supposant de plus pour abréger :

m° = cosa®cosi®, «®= sin a* cos b*, p* — sin b* , m =cosa cos£, n — sin a cos b, p z=sinb, m = cos a cos b', n' = sin a' cos b' t // = si» b' .

Les équations (2) donneront pour les trois observations faites aux époques où l’on compte t — o, lz= — 0, * =0'le système d’équations suivant :

Pour la première époque ,

x = X-i-mf, j

z=pf, '

Pour la seconde ,

vx -f- ux t = X° 4- mcf",

vz -f- vZj =p°f° ;

Pour la troisième ,

v'x + v'xl = X' + m'f,

Il ne s’agit plus que d’éliminer entre ces équations les inconnues quelles renferment pour avoir les valeurs de celles de ces inconnues qui sont, nécessaires à la détermination de l’orbite de la comète. Or nous avons vu n° 34 , livre II , qu’il suffisait pour cela de connaître les trois distances f°, f, f et les trois rayons vecteurs correspondans r°, r, r'; en éliminant donc des neufs équations précédentes les six inconnues x,y, z , xnX**zt on parviendra à trois équations finales entre f°, f, /, au moyen desquelles on déterminera leurs valeurs. Celles de r*, r, r' seront données chacune par une équation semblable à l’équation (3) que fournira

- applic

chaque observation, et l’on pourra par conséquent résoudre ainsi complètement la question. C’est de cette manière que Lagrange a traité le premier le problème de la détermination des orbites des comètes d’après trois observations ; mais cette méthode , qui semble d’abord la plus simple, est sujette dans les lications, surtout quand on veut pousser un peu loin la précision , à quelques difficultés qu’il nous a paru convenable d’éviter, ce qui est aisé en choisissant pour déterminer l’orbite de la comète les six quantités x, y , z , xt , y t , zt, au lieu des six quantités /»% />, , r°, r, /•'. Nous avons vu en effet qu’au moyen de ces valeurs l’orbite pouvait être parfaitement fixée de grandeur et de position, et que c’étaient même les données les plus commodes qu’on pût choisir pour cet objet; nous prendrons donc ces quantités pour les inconnues dont il s’agit de trouver la valeur, et nous éliminerons des équations précédentes les distances p°, f> , f qui ne feraient qu’embarrasser notre marche. Nous parviendrons de cette manière à la solution la plus simple et la plus exacte peut-être qu’il soit possible de donner du problème qui nous occupe. Si des équations ( a ), ( b ), (c) on élimine les trois incounues f°, f , p', on aura

mz=p. (x — X), nz—p.{y — Y), .

me . (vs -f - vzt) —p° . (vx -f- vxt — X°) , /

. «°. (vz -f- uz,) =p°. (vj + xsy, — Y8), ^ (4) m'.(v'z+ v'z)=p'.(\'x-\-v'xt— X') , \

Si dans ces quatre dernières équations on substitue

DU SYSTÈME DU MONDE. i3

pour xety leurs valeurs en z, qu’on élimine ensuite xt et yt entre les équations résultantes, qu’on fasse vu' — v'u = u', et que, pour abréger, on suppose

X' U — XV+Xü"= L, Y'u — Y°u'-(- Yu"=L',

on aura les deux équations suivantes

du' . (jrip0-m°p) . z/=[vu' . (m°p-mp°) p'-v'v . ( m'p-mp') .p0'] .

uu ' .(n’p° -n°p'). z, — [vu' . (n°p - np°) .p' -vu. (np -np’) -p0}-

Si de ces équations on tire les valeurs de z et de zt , et que pour simplifier on fasse

ù==~0.[(mop—mp',).(np0 — n°p’) — (mp° — m°p').(n°p — ///>")] = (rn'n — mri) . p° -j- (m°n — mrn°) .p -f- (mn° — m°n) . p',

on trouvera

Au "z = (rip° — n°p’).p . L — (>rip° — map').p . L' , (5)

^.uy,ü".a,= [vu' . (n°p-np°) .p'-v’v. (n'p-np') ,p°~\ .L }

— [xv .(m°p-mp°)p'-v'v. (m'p-mp' ).p°~\.U . Ç '

Si l’on élimine entre les six équations (4) les quatre inconnues x, y , y t , z/ , et que pour abréger on fasse

XuX,