Legrand axe est donné par l’équation

Si l’on suppose que l’orbite de la comète est une parabole, on aura ^ = o, et 1 équation précédente deviendra

On aura ainsi une nouvelle équation qui pourra servir à déterminer le rayon vecteur r ou à vérifier les valeurs obtenues par les formules précédentes. Il sera bon de l’employer à la place de l’équation (io), parce qu’elle a l’avantage de ne pas contenir la quantité D qui est très petite du troisième ordre par rapport à l’intervalle de temps 6 , comme nous le ferons voir plus bas, de sorte que les erreurs des observations peuvent avoir sur elle une influence sensible. Pour la faire disparaître de même des formules (A) „ je remarque que l’équation (io) donne

R#0 ( . cos b

aD ~ CÔ ’

Les trois premières équations (A) deviendront donc ainsi

x = X ■+• y.côs b*cos a ,

J ■ J — Y -j- p.cos i.sin a ,

Z 5= f.sin b,

valeurs qui coïncident d’ailleurs avec celles du n° a* et les trois dernières donneront

X, === X, -f- cos a0 — C'cos a')t j

y, = 4- • (C° sin a0 — C' sin a') , >(i3)

3/ = . (O tâng b* — C' tang b') . \

Si, pour abréger, on suppose

F = ^.(C°cos *• — C' cos a!),

G= ^.(C-siHeo-C'sina'),",

.H=*^L* . (Otang b°~ Ctang b') , ; les valeurs précédentes deviennent

Si l’on élève au carré chacune de ces valeura, et qu’on la substitue ensuite dahs l’équation ( 1 1) , on aura

?=XvfYvh2f .(FX+GY)+r.(F*+G*+H*)f («5) ■

Cette équation, jointe à 1 équation

/■* = R* — p.(2Ïlcosc) ■+• p* , (16)

que l’on obtient en ajoutant de même les carrés des valeurs de oc, y, z, servira à déterminer les deux inconnues f et r. < - r* •! ■ • ...r ;i:

Si entre ces deux équations on éliminait r ou f, l’équation résultante serait du sixième degré ; mais , comme nous l’avons dit, il vaut mieux, pour les ap* plications, laisser ces équations sous cette forme , et les résoudre par les méthodes ordinaires d’approximation. î • : •

a4 THÉORIE ANALYTIQUE

Pour diriger les premiers calculs , remarquons que la seconde de ces équations peut se mettre sous cette forme ,

/•* = R1 sin*,C -f-(p — R cos c)* ;

par conséquent r est toujours plus grand que R sin c. Désignons par S la valeur minimum de la fonction qui forme le second membre de l'équation (i5) , (valeur

qui répond à la supposition de f =

fraction * sera plus grande que S ; on aura donc à la

fois r > R et r < Il suffira, avec ces limites, de

quelques essais pour satisfaire aussi exactement qu on voudra aux équations (x5) et (i6).

Lorsque les valeurs de r et de f seront connues , on aura immédiatement celles des six quantités x,jr, z , Z,, au moyen des équations (12)

et (i3); et c’est un des principaux avantages de. la méthode que nous venons d’exposer, quelle réduit au plus petit nombre possible les équations qu’on est obligé de résoudre par tâtonnement , de manière que les inconnues qui y entrent une fois déterminées , le§ autres inconnues du problème s’en déduisent d’une manière facile par des formules rigoureuses, . j ' ■ t 8. 11 ne nous reste plus, pour faciliter l’usage des formules précédentes, qu’à montrer comment se calculent les différentes quantités connues quelles renferment ,' et qui dépendent , soit des lieux du ,Soleil dans lecliptique , soit des données l’observation^

Commençons par les premières. Les tables du Soleil feront connaître le rayon vecteur R, et la longitude de cet astre pour l’instant qui répond à l’observation moyenne. Si de cette longitude on retranche deux angles droits, on aura la longitude correspondante de la Terre ou l’angle A. Quant aux quatre quantités X , Y, Xx , Yx , qui dépendent du mouvement de la Terre dans son orbite, les deux premières se calculent sans difficulté, puisqu’on a

X = R . cos A , Y = R . sin A. ( h )

Soient maintenant, pour une époque quelconque, peu éloignée de celle de l’observation, e l’excentricité de l’orbite terrestre et a> la longitude de son périhélie; désignons par v la longitude héliocentrique de la Terre , par r son rayon vecteur, et par x et j ses deux coordonnées rectangulaires. L’origine de ces trois dernières quantités étant au centre du Soleil, on aura . . ,

x — r . cos v , y = r . sin v , d’où l’on tire, en différenciant ,

dx dt~~ ‘

dé -

r a cl T

smt,. — -J- COSf.^ ,