SP

sera

l’arc du moyen mouvement du Soleil en un jour, par lequel on doit multiplier le temps , c’est-à-dire qu’il faudra ajouter au logarithme de 0, exprimé en jours moyens, le logarithme constant 8,2355821.

g. La forme des valeurs précédentes de X, et de Yy, permet de faire subir aux formules (i4) et (i5) quelques modifications qui rendent leur usage encore plus commode. En effet, si l’on suppose

P = ^ . [C°sin (A — a») — C' sin (A — a')] , Q = ^ . [C°cos (A — a?) — C'cos(A — a')] , H = ?ÿ.[C“tangê’C'tangê'],

les valeurs de xn y ,, z/ , pourront prendre cette forme

xt = X, -f- (P sin A Q cos A) . p, j/ = YJ — (P cos A — QsinA). p , z, = H.p.

En substituant dans ces expressions, à la place de X, et Y,, leurs valeurs données par les équations (/), on aura

P-€ jp— L«in A+[Q.g — e.sin(A— *)].cos A, J

y, — — (v ■ « — + [Q • t~~e • S'n( A— *)3 . sin A . K 1 7)

*, = Hf- )

Si l’on élève an carré ces valeurs, et qu’on les ajoute, l’équation (i i) deviendra

-I-a^^P.^ÿl*4Q esin(A-*)]]+f*.(P,+Q*+H‘). (18}

Cette équation, jointe à, la suivante ,

r*=R* — ^.(aR cos c) + /*, (19)

donnera la valeur des inconnues , d’où dépend la détermination des six quantités x , y, z, xf , y t , z,.

C’est à ces dernières formules qu’il convient de s’arrêter, comme étant les plus simples que l’on puisse employer pour les applications numériques.

Les quantités P et Q sont, comme on voit, aussi Yaciles à former .que les quantités F et G que nous avions introduites dans les formules (14) et (1 5), et leur emploi offre l’avantage qu’il dispense de faire un nouveau calcul pour déterminer X, et Y,. Au reste, comme ces formules ne diffèrent entre elles que par leur forme , ce que nous avons dit sur l’usage des premières s’applique identiquement aux secondes.

Enfin, pour faciliter autant que possible les opérations du calculateur , nous remarquerons que , comme on est libre de choisir à volonté la ligne d’où l’on compte les longitudes sur le plan de l’é-

cliptique , on peut prendre, pour cette droite, le rayon mené de la Terre au Soleil à l’époque de l’observation moyenne ; on aura la longitude de la cqmète, par rapport à cette ligne, en retranchant l’angle A. de chacune des longitudes a0, a, a'. On déterminera , au moyen de ces longitudes factices , les valeurs de x, y, z, x/y yn zt, et il suffira, pour en déduire les élémens de l’orbite relatifs l’équinoxe vraie, d’ajouter l’angle A à toutes les longitudes qui en» résulteront. Or, l’hypothèse précédente donne A = o , et par conséquent , sin A = o et cos A = i . Les valeurs des six quantités x, y y z, xt, y t, zt, se réduiront ainsi à cette forme très simple.

x = R -f- f . cos (A — a), cos b , y — — f . sin (A — a) . cos b,

z = p . sin b , x'= [Q.p — e.sin(A — a)],

Quant aux fonctions que nous avons désignées par C°, C, C', D, et aux quantités F, G, H, ou P, Q, H qui s’en déduisent , il est visible quelles ne changent pas de valeur par la transformation précédente, et qu’elles pourront servir, dans tous les cas, de quelque manière qu’on les calcule.

10. Voici donc, en résumant ces-différens résultats, la marche la plus simple à suivre pour déterminer, d’après trois observations équidistantes, l’orbite d’une comète. Connaissant les trois longitudes a0, a, a' et les

trois latitudes correspondantes b°, b, b' de la comète , ainsi que la longitude A de la Terre dans son orbite , et le rayon vecteur R, relatifs à l’observation moyenne, on commencera par calculer les trois quantités C°, C , C' par les formules (C) , et l’on déterminera , par leur moyen, les trois quantités P, Q, II. On formera ensuite les équations (18) et (ig), et en les résolvant par .approximation , on aura les valeurs de r et de f , à l’aide desquelles on trouvera celles des six quantités z, xlt yt, z/f par les formules ( 1 7)

.ou (20). Ces quantités, une fois connues, les élémens de l’orbite seront donnés par les formules du n*2g, livre II.

Il ne faudra pas perdre de vue, lorsqu’on fera usage des formules précédentes, qu’elles ne sont exactes qu’aux quantités près de l’ordre ô3, et que par conséquent les intervalles de temps doivent être assez courts pour que les séries ( m ) soient convergentes , sans cependant être trop resserrés , parce que, dans ce cas, le mouvement géocentrique de la comète étant trop petit, les erreurs des observations ont une plus grande influence sur les résultats. En prenant généralement des observations dont les deux extrêmes soient séparées par un intervalle de temps qui n'excède pas dix à douze jours, on satisfera à la première condition sans tomber dans l’inconvénient d’opérer sur des observations trop rapprochées.

1 1 . Puisque le problème de la détermination de l’orbite parabolique des comètes contient en général plus d’équations que d’inconnues, il est clair qu’on pourra donner, pour le résoudre, une infinité de méthodes

en combinant de différentes manières ces équations entre elles. Toutes ces méthodes donneraient des résultats également exacts, si l’on pouvait compter sur les données fournies par l’observation ; mais comme leur précision n’est jamais rigoureuse, il faudra, parmi les combinaisons qu’on peut faire des équations primitives du problème, choisir celle qui emploie le moins de ces données , et qui , par conséquent , est plus exempte que les autres des erreurs des observations. Il est bon, pour éclairer cette question, de faire quelques remarques sur la signification des quantités que nous avons désignées par D, C°, C, C'. Considérons, pour cela, le triangle sphérique formé par les arcs de grand cercle qui joignent les lieux de la comète dans les trois observations données ; soient C°C , C°C' , CC' , les trois côtés de ce triangle, et désignons par C', C, C° les angles respectivement opposés. Les trois quantités m°, n°, p° représentent les cosinus de l’angle que fait le rayon f° mené de la Terre à la comète avec les trois axes coordonnés; les quantités m, n, p et m! , n',p' représentent les mêmes cosinus, relatifs à la seconde et à la troisième observation; on aura donc par les théorèmes connus ,

cos (C°C) = m°m -f -n°n-i-pap , cos (C°C') = m°m! n°n -\-p"p cos (CC') = mm pp' )

ou bien , en remplaçant dans ces équations rn°, n •, p°, etc. , par leurs valeurs n° 3,