CHAPITRE U

Correction des élémens de l’orbite déterminés par ime première approximation.

18. Après avoir développé, avec tout le détail nécessaire , une méthode très simple pour arriver à une connaissance approchée des élémens de l’orbite de la comète, nous allons donner le moyen de corriger ces élémens avec toute la précision que les observations comportent. ,

Pour cela, on choisira trois observations éloignées entre elles, et au moyen des élémens résultant de la première approximation, on déterminera les trois anomalies t>°, r, v' et les rayons vecteurs r°, r, r', qui se rapportent respectivement à l’époque de chaque observation. Il su fiira, pour cela, de connaître à peu près la distance périhélie et l’instant du passage de la comète par ce point, et c’est en quoi consiste le principal avantage de cette méthode, qui n’emploie que detix des élémens de l’orbite pour les rectifier tous. Ou désignera par V et Y' les angles que comprennent entre eux les rayons r% r, r', en sorte qu’on aura Y= v- — v0,. e\.y'z=.v' — u"; .et en comparant ces quantités aux mêmes angles résultant de l’observation directe, de la comète, la différence sera l’erreur due à l’incorrection des élémens employés.

Les observations, il est vrai , ne font pas connaître immédiatement ces angles , mais on peut les déduire très aisément des données qu’elles fournissent. En effet, on a, par chaque observation de la comète, sa longitude etsa latitude géocentriques, c’est-à-dire relatives à la Terre; on en conclura aisément, par la Trigonométrie, ses longitudes et ses latitudes héliocentriques, c’est-à-dire relatives au Soleil. Pour cela, désignons par S le Soleil , par T la Terre et par C la comète , et soit C' la projection de C sur le plan dé l’écliptique. Si l’on considère la pyramide triangulaire interceptée entre ces quatre points, on aura d’abord STC'= long. Q — long, comète. En nommant, comme précédemment; b la latitude géocentrique de la comète, ce qui donne CTC'=ô, on en conclura cos CTS = cos SC'T . cos b. Maintenant , dans le triangle rectiligne CTS, on connaît les deux côtés TS = R. et CS = r qui sont les distances respectives de la Terre et de la comète au Soleil ; ou connaît de plus l’angle CTS opposé à /•; on pourra donc calculer Taugle SCT par la formule

sin SCT = — .sin CTS, »• *

uJéinoa si eb

loqhrirKT

et l’on en conclura le troisième angle CST du même triangle.

Cela posé, nommons A la latitude et <p la longitude héliocentrique de la comète : en considérant la pjrrartiide triangulaire CC'ST, on aura A = CSC' et l’on trouvera aisément

-•lOjnïT

. sin b sin CST r/c'r cos CST . \

sin A = — .— . — , et cos C SI 5= — (2J

L’angle C'ST étant donné par la dernière de ces formules , si l’on nomme A la longitude héliocentrique de la Terre, on aura

<p = A + C'ST. • * (5)

On déterminera, de cette manière , les latitudes et les longitudes héliocentriques de la comète pour les trois époques données; voyons comment on eu conclura les angles V et V'. Désignons par C“, C, C les lieux respectifs de la comète correspondant aux trois observations , par C;% C, , C/, les projections de ces points sur l’écliptique, et considérons le triangle sphérique formé par les deux lieux C , C°, et par le pôle de l’écliptique. On connaît dans ce triangle les deux côtés de l’angle au pôle qui sont les comçlémensdes latitudes héliocentriques Ü’SC0, et CSC, , ainsi que l’angle compris qui a pour mesure l’arc C°,C) décrit du centre du Soleil ; on aura donc pour déterminer le côté opposé C°C, que nous désigneront par U, la formule

■ i.:...: . i * ..i •!>..< ; .î .^.icqq uü

cos U = cos(<p-~p#).cos A cos sin A sin À° ; (h) de même en supposant C'C° = TP, on apra

cos 11'= cos (<p' — «p*). cos A* cos A'-f*sitt A*sin A^;>i

Les deux angles U et U', correspondant à ceux que nous avons nommés V et V' et que 'nous avons obtenus par les formules directes du mouvement elliptique , on aura , si les élémens employés sçnt

exacts,. ;,r.j V > i r.: -«.ô . .. . t :.»• , (>

V=U et V'==TJ', ,

Ml

Mais, comme ces élémensne sont qu’approchés, ces équations n’auront pas lieu rigoureusement, et pour que les valeurs de V et U, Y' et U' puissent être égales, il faudra faire subir quelques corrections à ces élé— mens. Soient efV, «TV' «TU et «TU' les variations correspondantes des angles V, V', U, U', on aura

VH-dNv=u-f <w, v'+<fv'=u'+<fu'.

Voici donc deux équations au moyen desquelles on pourra déterminer les corrections à faire à la distance périhélie et à l’époque du passage de la comète par ce point, pour satisfaire aux observations données; il ne s’agit que de développer ces équations.

19. Pour cela, reprenons lès formules du mouvement parabolique

cos jv

fUï:.: * = D* y/â • (tangi o -f- ï • tang3». !

Supposons que l’on fasse subir à la distance périhélie D, et à l’instant du passage par le périhélie, de très petites variations que nous désignerons par la caractéristique <f , en différenciant logarithmiquement les formules précédentes, on trouvera. -, ■. .. ; * : ,

’7: = qj+tang^. <JV,

- ) v ' ; ' fv. •• 1 - - / ;

On aura par ces équations les variations du rayon

vecteur et de l’anomalie correspondantes à celles que

subissent D et t. Il s’agit de déterminer maintenant les variations qu’éprouvent simultanément la latitude héliocentrique X et la longitude héliocen trique <p. En différenciant logarithmiquement l’expression de sin À trouvée plus haut, et en observant que les angles b et CTS ne varient pas , on aura

cf A = tang A . COt CST .J' . (CST) ;

en différenciant de même l’équation (a) on trouve

«f .(SCT) = — tang SCT.

el par suite

cT. (CST) = — J'. (SCT) = tang SCT.y;

on aura donc enfin

A = tang A . tang SCT . cot CST . ^ . (a)

La longitude <p dépend de la formule

cosTSC' = ;