Tome II

( h — r da.(i

-•( y-df—x.df )

1 (1 — ecosu)* fdx jj., dy , r,\

Maintenant, si dans cette équation on substitue pour df et df leurs valeurs déterminées précédemment, en remarquant que l’on a

x df — y dx — a* \J \ — e*. ndt , a*.( 1 — e cos «)*=/•* = x* -\-f ,

on trouvera

de=.da>.(i — N/^ë1)— (5)

Cette équation donnera la valeur de au moyen de celle de da> supposée connue. En remplaçant da> par sa valeur, on aurait, pour déterminer de, une formule directe ; mais il est plus commode de lui laisser cette forme.

On peut observer qu’en différenciant la première des équations (a), nous avons regardé n comme invariable ; la variation de cette constante introduirait dans l’expression précédente de d=. le terme — tdn; mais ce terme disparaîtrait dans l’expression différentielle de la longitude moyenne nt-\~ e qui serait en effet

ndt -f- tdn — tdn -f- de.

Il est donc inutile d’y avoir égard, puisque l’expression de cette longitude est la seule qui contienne la constante e dans les formules du mouvement elliptique, ou, ce qui revient au même, on peut supposer

que le moyen mouvement est exprimé par f ndt dans le mouvement elliptique et dans le mouvement troublé, la valeur de n étant, dans ce dernier cas , celle qui résulte des perturbations. Pour la dé-

terminer, observons que l’équation n = a • donne, en la différenciant, \

du —

-.an .a -.

En substituant donc pour d ^ sa valeur, on aura dn = — 5an.Ç^ . dx -4- djr^.

Cette équation donnera , en l’intégrant et en y ajoutant une constante, le moyen mouvement dans l’orbite troublée.

52. Rassemblons les différentes formules que nous venons de trouver. Si, pour simplifier, ou fait

v *-* îl y y -y y 7 i(2. IN

ce qui donne

rfR ryr dit /y dR t rj

— dï=mY>

dz

et que l’on substitue dans ces formules pour ^ ,

^ , les valeurs précédentes, et pour x et y , leurs vadz*

leurs en fonction de u , on aura •

({a — -irridu . a? sin 'du a3 V i-«*.cosm.Y,

de =m'.du.aV'T^t.cosu.{xY-Y'K)+mdu.a[/ i-e\rY,J edtt = m’du. a%\nu.{xY-yK)-mdu.a\/ i-e'.rS.^ ,

dt =(i -\ZT^ë').d*—2rridu.r.(x'X.+ y'Y), }(6)

771 dl£ 7

En joignant à ces équations la suivante , dn — "indu . a'n .sin u .X — Zmdu.a^nX/ i — «VcoswY, (7)

qui donne directement la variation du moyen mouvement, on pourra déterminer par de simples quadratures les altérations de chacun des élémens qui fixent les dimensions et la position de l’orbite de la comète, ainsi que la situation de cet astre à un instant donné. ‘ . ,

Dans les applications numériques des formules

précédentes, on sera obligé de déterminer les valeurs des différentes variables quelles renferment, correspondantes à une valeur donnée de l’anomalie excentrique u. On a, par le n» 3i, l’expression des coordonnées x, J, et du rayon vecteur r de la comète en fonction de u ; on pourra donc en déduire immédiatement leurs valeurs, et il ne restera plus qu’à calculer les valeurs simultanées des coordonnées x , r< z’ de la planète perturbatrice. Pour cela , observons que le grand axe de l’orbite de la comète ayant été pris pour axe des x, si l’on nomme y l’inclinaison dé^k’orbe de la planète sur celui de la comète, K la

Digitizactt

IOI

longitude de son nœud ascendant, comptée sur ce dernier plan, à partir delà ligne des absides, qu’on désigne de plus par l’angle que fait le rayon vecteur /avec la ligne des nœuds , on aura, par une construction très simple ,

x' = rJ cos v . cos A — r' sin /. sin A . cos y , y = r cos v . sin A •+■ r' sin v . cos A . cos y , s! =/ sin v' . sin y.

Il sera facile, d’après les positions connues des orbites de la comète et des planètes perturbatrices, de calculer les constantes A et y qui entrent dans ces valeurs. Quant au rayon vecteur r' et à l’angle /, on observera que le temps écoulé depuis le passage au périhélie est donné, en fonction de u, par l’équation

t = a% .(u — e. sin u).

En joignant la valeur qui en résultera à l’instant du passage, on aura l’époque qui se rapporte à la variation supposée dans l’arc de l'anomalie excentrique u ; les tables astronomiques fourniront ensuite toutes les données nécessaires pour déterminer les valeurs correspondantes de /•' et de

53. Un des points les plus importans de la théorie des comètes est l’altération du temps périodique; elle dépend de l’altération de l’anomalie moyenne, et celleci se détermine aisément au moyen des formules précédentes.

En effet , si l’on nomme f l’anomalie moyenne de la comète, on aura, dans l’orbite elliptique,

Ç = fndt-{-e — u.

Cette e'quation conviendra encore au mouvement troublé, pourvu qu’on y regarde e et u comme variables et qu’on y substitue pour n sa valeur

n ■=. N -I- fdn,

N étant une constante qui représente la valeur de n, ou le moyen mouvement de la comète dans l’unité de temps, au commencement de la période que l’on considère, et fdn étant déterminé par la formule (7). On aura donc, en différenciant la valeur de par rapport aux constantes seulement ,

d £ — dt.fdn -f- dt — du ; d’où l’on tire, en intégrant,

f (lÇ= fdtfdn + fdè — f du.

Cette équation servira à déterminer la variation de l’anomalie moyenne; on peut la simplifier en faisant disparaître la double intégrale quelle renferme j en effet, on a

fdtf dn = tfdn — f tdn ; 1 c>

on aura donc

fd( = tfdn — f tdn fdt — f dce,

valeur qui ne dépend plus que de simples quadratures, comme celle des altérations des autres élémens de l’orbite.

Cela posé, on aura généralement pour l’expression

DU SYSTÈME DD MONDE. io3

de l’anomalie moyenne dans l’orbite troublée , après un temps quelconque t ,

Si l’on suppose que l’on commence à compter le temps t de l’instant du passage au périhélie , l’angle t — a sera nul pour cette époque, puisque, par cette hypothèse, on a £ = o en même temps que * = o. On aura donc simplement

Ç = Ni -{-fdÇ.

Soit T le temps qui s’écoule entre deux passages consécutifs de la comète à son périhélie , lorsqu’elle aura achevé sa révolution ; on aura

fd^z=. T/dn — f tdn -f- fde- — fda>. (8)

Les intégrales devant s’étendre depuis t — o jusqu’à i=T, l’anomalie augmente dans cet intervalle de 3Go° ; on aura donc , pour le même instant , *

*r = NT +/«, (9)

ir étant la demi-circonférence dont le rayon est V ... •! ’

1 unité.

Prenons, pour fixer les idées, la comète de 168a, revenue à son périhélie en 1 7^9, et dont il s’agit de fixer le prochain retour. On calculerait immédiatement l’instant de ce passage au moyen de l’équation (g) , si la valeur de la constante N, relative au périhélie de 1759, était connue; mais cette valeur ne saurait se conclure directement , comme celle des autres élémens de l’orbite, des observations faites pendant l’apparition de 1759, elle se déduit du temps qu à

»o4 THÉORIE ANALYTIQUE

employé la comète à faire sa révolution anomalis— tique de 1682 à 1 j5ç), et cette donnéê est affectée des pertubalions qu’a éprouvées cet astre durant cette période. Pour la déterminer, supposons que T soit 1 intervalle de temps qui sépare les passages de 1683 et de iy5g, et que N soit la valeur de n qui répond à 1 origine de cette période; à l’instant du passage au périhélie de i?5g, par l’équation (9), on aura

Les intégrales /"devant commencera l’instant du passage au périhélie de 1682, où nous fixons l’origine du temps t , et s étendre depuis t=o jusqu’à t = T; et les valeurs des constantes e , t , u> se rapportant aux observations du même passage.

Cette équation donnera la valeur de N relative au péçihelie de 1682, et Ion en conclura celle de N’, relative au périhélie de l'jSg, par 1 équation

N' = N +fdny

l’intégrale commençant,! comme les précédentes , à 1 instant du passage au périhélie de 1682, et devant s elendre depuis t = o jusqu’à t = T. t)n aura ensuite les valeurs du grand axe de l’orbite qui se rapportent aux mêmes époques par les équations

Soit maintenant T’ l’intervalle de temps inconnu qui s’écoulera entre le passage au périhélie de 1 759 et le prochain retour qu’il s’agit de déterminer. On

Oigitizsdt

DU SYSTÈME DU MONDE. io5

aura , pour cette époque ,

f(ÏÇ = tfdn — ftdn -f- fdi — fdco , ( i o)

et par suite ,

25T= N'T' fd^‘, (il)

les intégrales f commençant ici à ficstant du passage au périhélie de 1759, et s’étendant depuis / = o jusqu’à Z = T'; les valeurs des constantes e, «, u> qu’elles renferment étant d’ailleurs celles qui résultent des observations de la comète faites à la même époque.

L’équation (1 1), qui ne renferme que l’inconnue T', servira à déterminer sa valeur. Ou connaîtra ainsi l’intervalle de temps qui doit s’écouler entre le passage de la comète au périhélie effectué en 1 7 5g, et le passage suivant; on pourra par conséquent fixer d’avance l’époque de son prochain retour au même point de son orbite.

34. Toute la difficulté de la théorie des perturbations des comètes se réduit donc à intégrer les formules (6). Cette intégration, comme nous l’avons dit, n’est pas possible en général ; on ne peut l’effectuer que par le moyen des quadratures mécaniques. L’analyse fournit différentes formules pour cet objet ; nous allons présenter celle que l’on a généralement adoptée, et qui résulte fort simplement des premiers principes du calcul aux différences.

Soit y une fonction quelconque de x y et soient jr(.o^ jr(.0) JW. , f f')' ce que devient successivement cette fonction, lorsqu’on suppose x — o, x = a , x=s 2*. . . ., x—ia; désignons par AjrCo), etc.,

ioS THÉORIE ANALYTIQUE

les différences finies de ces quantités prises deux à deux, par A^-(o), Ay^ leurs différences secondes et aiusi de suite, en sorte qu’on ait

j,(0-yC<0 —

y»yO) =AyO), yî)y*) ==AjC-) }

yW)—yO— 0=Ay y — i

etc.

Ay(')-AyC<0 =4^(0),

Ay(O-AjO) = A^COj

AytO — AyO 1 ) A aj/ 0 ~ 1 ^

A’yCO-A’j/C») — Ay°)| AayCO-Aa^tO — A y CO ^

De ces équations on tire, par des substitutions faciles ,

yO — jy(°) —J— Ajv-C°) ^

y.*) yo 2^y») j ^y°),

yî) ==y°> 3Ay^ y s^y°) t A^0^,

etc. ;

d’où l’on conclut généralement

. A^W-j-eUr. (">)

formule qui sera très convergente, si les différences Ay°, Ayo), A3y*}, etc., décroissent avec beaucoup de rapidité.

Cela posé, on peut regarder^ = f(x) comme l’équation d’une courbe parabolique dont^* représente l’ordonnée et x l’abscisse ; cette courbe passera par les extrémités des ordonnées équidistantes ya\ y^t etc., et l’on aura d’autant plus de facilité pour

Uigitizçjlby C*OOj|

la tracer, que ces coordonnées seront plus rapprochées sera donc l’ordonnée qui répond à l’abscisse quelconque x = ia. et fywdx l’aire indéfinie comprise entre la courbe et l’axe des x. Si dans l’équation (m), on substitue pour i sa valeur ^ , on aura

+etc.

Multiplions cette valeur par dxe t intégrons-la depuis x = o jusqu’à x = a , l’expression résultante sera celle de l’aire comprise entre les ordonnées y° ety*3; on trouvera

De même , pour l’aire comprise entre les ordonnées y0) cty(,J, on aura

et ainsi de suite.

En prenant donc la somme de tontes ces valeurs , on aura pour l’aire totale comprise entre les ordonnées y^' ï3 etjr(n),

fydx = a. . [y*03 -f-jc a) . ....

+ ^.[A/w -f- A/03 -f- A/c*3. . ,-f- Ay*-0]

— . [A'/"3 + A Y0 + Ay3 ...-{- A'; c"^,)]

-f- etc.

io8 TnÉORtE ANALYTIQUE

On a d’ailleurs

Aj**5 +A7rtl> W 0

A ‘/W-f-A'/W+A’j W. . .-f-A^'— >=AjW— A?*», etc.

L’expression précédente devient donc ainsi fjdxz=a. . [J 1 >+ J w

— n-ÜAr*0 — Ar<0]

+ — . oy-î — a/°î]

i ii:; 1

,2Q [ASrco — Arw] + ^.[4-/-- a/->] — etc.

La détermination des différences A/w, A*/w, etc., qui entrent dans cette formule, dépend des quantités te., tandis qu’on n’est supposé avoir calculé ces ordonnées quedepuis^w jusqu’à 7rW. Ce serait un inconvénient pour la pratique, mais on peut l’éviter en donnant une autre forme à cette expression. Pour cela, remarquons que des équations (k) , on tire

A/(n) = Aj0*-0 + A*jc*-l) -f- a3/("-3) + etc., AyC*)= A*^(»-»)-f- 2.A3j(.m~ 3)-j~ 3. A^’-4)+etc., Ayc»)— Ay*-3)-f- 3. °-f-2 . 3. As^*— w-f-etc. etc.;

d’où l’on peut conclure généralement

. A'+‘ 1 ) . A^C’-i-O+etc.

Si l’on substitue ces valeurs, qui ne dépendent plus que des quantités ja, y“~l, etc., dans la formule (G) , on aura

J}dx = a . Q . . +J*T'

-^.[Ay-o+Ayj]

— etc.

‘Le premier terme de cette série représente, comme il est facile de s’en convaincre, la somme -des petits trapèzes compris entre les ordonnées

somme qui approchera d’autant plus de l’aire de la courbe parabolique , que les ordonnées seront plus rapprochées, et leurs variations plus petites.

35. Pour appliquer la série précédente à l’intégration des formules (6), représentons par P du la variation différentielle de l’un quelconque des élémens de l’orbite de la comète, et regardons P comme l’ordonnée de la courbe parabolique dont l’anomalie excentrique u est l’abscisse. On fera varier u de degré en degré ou de deux degrés en deux degrés, etc. , selon qu’on le jugera convenable, et l’on détermi-

nera les valeurs correspondantes de P qu’on dé— signera par P(o), P0), Pc0, etc., et l’on aura par la formule (P) la valeur de /P du correspondante à un arc donné d’anomalie excentrique. On pourra presque toujours s’arrêter au premier terme de cette formule , les autres termes ne donnant qne des corrections de l’ordre des quantités négligées. Le seul cas où il deviendrait nécessaire de considérer ces termes, est celui où la comète approche beaucoup de la planète perturbatrice, ce qui rend

très grande la fraction ÿ3, et par suite la valeur de

P. Mais alors il sera encore plus exact, pour que les ordonnées P ne subissent pas de trop grandes variations, de diminuer l’intervalle qui les sépare et de faire croître l’anomalie excentrique de demi-degré en demi-degré, ou de degré en degré , etc., selon les circonstances.

36. On pourrait déterminer, par cette méthode, les variations des élémens de l’orbite elliptique pendant une révolution entière de la comète ; mais nous avons vu que lorsque cet astre est dans la partie supérieure de son orbite, et que la comète s’éloigne beaucoup de la planète perturbatrice, la partie la plus considérable de ses perturbations pouvait s’exprimer par des formules analytiques qui n’exigent plus que des substitutions numériques, ce qui facilite beaucoup le calcul de ces perturbations. Développons donc dans l’hypothèse précédente les variations des élétnens de l’orbite.

Reprenons la valeur de R ,

in

» » xx' -f yÿ + «'

Si l’on suppose la distance r de la comète au Soleil très considérable par rapport à /■', distance de la planète perturbatrice à cet astre , on pourra réduire l’expression précédente en série convergente, par rapport aux puissances descendantes de r, et l’on aura , n° 29,

R = ni • [) 4- (**' +jf +zz) (p — pjj] + R',

R' représentant une suite de termes dont le plus

tf* *

élevé est de l’ordre

L’avantage qu’il y a à décomposer ainsi R en deux parties, c’est que la fonction R' est essentiellement

très petite lorsque le rapport - est une très petite

fraction, tandis qu’au contraire R conserve toujours une valeur finie, quel que soit l’éloignement de la

comete, a cause du terme —1ï <îul ne dé-

pend que de la distance de la planète au Soleil. Il en résulte qu’on peut, dans une première approximation, négliger tout-à-fait la seconde partie de R ; les formules (6) deviennent alors intégrables par ellesmêmes, en sorte que la partie la plus sensible des perturbations des comètes peut toujours être expri-, mée analytiquement par des formules finies , lorsque la comète est dans la partie supérieure de son orbite. Dans l’approximation suivaute , on considérera la

i « 2 THÉORIE ANALYTIQUE

fonction R/f mais il suffira le plus souvent de s’arrêter aux premiers termes, de son développement.

Faisons donc d’abord abstraction de R'; si l’on désigne par la caractéristique d de* différentielles uniquement relatives aux coordonnées de la comète, on aura

d'R = m! . Qf . i + (x'dx +/<*,) .(-L -1 )+ {xx>+ J'jV-tQ

On peut, dans cette valeur, remplacer ^ par

** ~ Z-Z. Z. Z. nar 'LjL " J - l’pr—

de ’ de r* ’ r'3 p de * de » er reur que l’on commet étant de l’ordre du carré des forces perturbatrices. On trouve ainsi

dR=m'.d.Ç; + +

Si l’on substitue cette valeur dans la formule (il, n° 3o, et qu’on Tintègre, on aura

J» = + d“‘*+ W) -f-const.

Si l’on détermine la constante que cette équation renferme par la condition que Sa soit nul au point de l’orbite où l’on a commencé à considérer séparément les deux parties de R, l’expression résultante sera celle de l’altération du grand axe après un temps quelconque , compté à partir de ce point, due à la partie de R indépendante de R'.

On peut obtenir, d’une autre manière, la valeur de Sa. En effet, si l’on différencie, par rapport à la

DU SYSTÈME DU MONDE. n3

caractéristique , qui aura ici la signification que nous lui avons donnée n° 29, l’équation

1 2 dx' -f- dy' -f- dz*

a r dt*

On aura

£a zfr ndxd.fx -J- zdyd.t'y

ôF ~T “ ~ ' d/’

Nous avons trouvé , dans le numéro cité , par l’intégration directe des équations différentielles du mouvement troublé,

cTx = -3 . m’x -f- m!x' , J/ =-j . m'j + m'y ,

<Tz = j . ni z -f- m'z'.

En substituant ces valeurs et leurs différentielles dans l’équation précédente , on aura

ou bien en remplaçant — par sa valeur ^ — i , « 2 , , , /I . xx'+jry', , dxdx -|- dydy\

On voit que cette expression coïncide avec celle que nous avons déduite directement de la formule (1),

en supposant dans celle-ci const. = — ^ m'a, la constante arbitraire étant déterminée , dans ce cas, de manière à satisfaire aux équations