Tome II

Sx-*-- j.m'je*— m'x' é=o, Syr—^.irij — m'yzxxo,

1 cTz — f./n's — mV — o.

L’ëquation »* = — 3 donne, en la différenciant par rapport à S ,

Sn = — -.-.cTa.

En substituant donc pour Sa sa valeur pre'ce'dente, on aura v . 1 .•

In — m'n- 3m' an J

xx-f yj'' t dxdr

de

d.Ydy\

Cette valeur, augmentée d’une constante, donnera l’altération du moj’eq mouvement duc à la partie de R indépendante de R'.

Déterminons, d’une manière semblable, la variation de l’excentricité et du périhélie due à la même partie de R.

La quatrième des équations (C), en remplaçant f et c' par leurs valeurs et négligeant le carré de z, donne

f * dy.jxdy —ydx)

J r ~r df

En différenciant, par rapport à la caractéristique S , celte équation > on aura , :

jy~— x*r ~~ r^x ydx )

dt*

, rfy. (xd. iy — -yd.ix -f- dyïx — dxJy) H ^ ~ »

DÜ SYSTÈME Dü MONDE. n5

et en substituant dans cette e'quation, pour J'x, Sy,

<fz, leurs valeurs précédentes, elle donnera

^ , rdy .{xds — ydx') y.{xy’—x y) , df .{xdy—ydx)

tf=Zm 1 3? + r5 + ft'

, dy.(xdy—ÿdx+xdy — ydx')\

•V 1+ — ée — y

Si l’on ajoute une constante arbitraire au second membre de cette équatiod , et qu’on la détermine par la condition que «T/7 soit nul à un point donne de l’qrbite, l’équation résultant^ donnera l’altération de J à. partir de ce point, due à la partie de R indépendante de R'. Cette valeur doit être identique avec celle qui résulterait de l'intégration directe de l’expression de df, n° 3o; c’est en effet ce qu’il est facile de vérifier en la développant dans l’hypothèse précédente ,

et en observant qu’on peut y substituer — ^ ,

— SF a ,a Place de ? et dc et - ^ jL.

à la place de £ et de ^L.

Si l’on substitue pour ~ sa valeur

f -\r- dans l’expression de «f/, elle devient

jr ±j (xy' — xy> df\xdy—yix)

if=m.y+-+y. ? + — — 57-

, dy . ( xdy — y'dx -4- x dy — ydx')~ |

+ ■ dt' J’

En changeant, dans cette formule , x en f, x' en y', et réciproquement, on aura , pour déterminer l’alté-

ration de f due à la partie de R indépendante de R',

x. (xy' — jr'y) dx' . ( xdy — ydx)

r1"1 dt%

dx . ( xdy ' — y dx -+- x' dy — ydx ' )~|

Connaissant les variations de f et de f \ on aura celles de e et de co , par les équations

cPe = df et e«Tû> = «T f .

* Considérons les variations de l’inclinaison et du nœud de l’orbite due à la même partie de R. En la différenciant , on a

P»— ^ jt03

Si l’on substitue cette valeur dans les valeurs de de' et de* , n° 5o, et qu’on néglige les termes de l’ordre du carré des forces perturbatrices , on trouve

de = m'.yz. (~ — ^)-dlK de" = m' .xz' . Çy3 Ar^.dt.

Remplaçons , dans ces équations , p » ^ \ par .

d‘x d‘y dld . , , , .

— , et intégrons les équations

résultantes, nous aurons

jy = ;

,\ at \ J • « . -

kes valeurs de J'c et de Je' étant ainsi connues, on aura celles de J'p et de J'y , dues à la partie de R inde'pendante de R' par les équations

te' ft __ te'

q ' \Zâ7(ï^7?)’

et il sera facile d’en conclure les altérations correspondantes de l’inclinaison et du nœud.

En retranchant les valeurs de d'à, dn, df, df, de', de*, à un point donné de l’orbite, de leurs valeurs à un autre point donné, on aura les altérations dans l’intervalle, de a, n, f, f, c', c *, dues à la partie de R indépendante de R'.

5y. On pourrait exprimer, par une formule semblable aux précédentes, la variation de la longitude de l’époque due à la même partie de R ; mais cette formule est inutile à la détermination de l’altération de l’anomalie moyenne, qui peut se faire très simplement ‘de la manière suivante : supposons que l’on fixe l’origine du temps au poiut de l'orbite où l’on commence à diviser en deux parties la fonction R, et nommons N le moyen mouvement de la comète en ce point , c’est-à-dire la valeur de n qui résulte des perturbations précédentes ; on aura, après un temps quelconque t , compté du même point ,

fndt — f— J'e — d&> = Nf “1— fd'n • dt -f* J e — — J'en,

En désignant par d'n la variation de n due à la partie de R indépendante de R', on aura donc , pour détermina,' l’altération correspondante de l'anomalie

moyenne,

SÇ = fS'n.dt-\- Se. — S'a).

Si l’on différencie cette expression et qu’on y substitue pour d.Se — d.Sa, sa valeur donnée par l’équation (4) , n° 5 1 , on aura

d.tÇ = S<n.dt

d.ïe. sin w.(2-«*-e cosu) — p

d.^W.(i-ecosw)*

, équation qu’on peut écrire ainsi :

/'e.sin?f.(2-ea-?cos u) <iV ( i - e cos u)

■e cos m)*~ |

, n . Il (îcosa+e) . ,, sin u \ .

+ ( — - 4-<îe.— — + zef'*. — J.ntA.

En observant que l’on a, n° 3i, ndtz= du.(i-ecosu), nous avons trouvé plus haut

Se = SJ, eSo> = Sf.

Si l’on désigne par nil ce que devient la valeur de Sn donnée par la formule ( g ), au point de l’orbite d’où nous comptons maintenant le temps t, il est clair qu’on aura

S' n = Sn — nil.

Les valeurs précédentes de Sn, SJ , S'f dônnent d’ailleurs cette relation très simple,

i'n . 2cosu-f-e ... 2 sin k .

fxdy~ ydx'-\-y' dx-x'dy\

tt ; J

‘équation qu’il est facile de vérifier en remplaçant Sn, Sf, Sf, par leursT valeurs et en comparant

dans les deux membres les coefficiens de x' , y , et ^ après les avoir préalablement exprimés en fonction de u.

L’expression de d.J'Ç deviendra donc, en y substituant pour <T'«, «Te, eS'ca leurs valeurs , et en l’intégrant ensuite

j,, m,f Æ | m.(xy — xy) «t/.sin u. (a — e*- «cosa)

.(1 — e co, s u)*

-f- const.

On aura l’altération de l’anomalie moyenne , depuis un point de l’orbite jusqu’à un autre point donné, due à la partie de R indépendante de R', en retranchant la valeur de «T£ au premier de ces points de sa valeur au second.

38. Considérons maintenant les altérations des élémens de l’orbite dépendantes de R'. Lorsque la comète se trouve dans la partie supérieure de son orbite, R' étant une très petite quantité , les valeurs de ces variations sont aussi très peu considérables. Si pour les obtenir, on substitue R' à la place de R dans les formules (r) et (2), ce changement n’altérant en rien leur forme , il est clair qu’elles s’intégreront encore par la méthode exposée n° 34. Mais dans le cas où la comète s’éloigne beaucoup de la planète perturbatrice, et où il est avantageux de partager ainsi R en deux parties, ces formules peuvent se développer en suites convergentes, et l’on obtient leurs intégrales par une méthode d’approximation beaucoup

plus expéditive que celle des quadratures mécaniques.

Pour le faire voir, reprenons la valeur de R', n“ 39,

5(jr sS+yy+zx-lr'*)3

■etc.

Si l’on différencie cette valeur par rapport aux variables x, jr, z, et que pour abréger, on fasse

p 3 r* i5 (xx +y/+zz' -{/')' 35 (xx+yy'+zj'-y*)3

p. 3(**'+y /+**-{*") ï5 (xx' +yÿ+zz-\i'‘)% etc r* 2 ’ r7 ’

il est aisé de s’assurer qu’on aura ^=ro'.(Px+PV), ^=»'.(Py+Fy'), ^=m'.(P*+PV).

Substituons ces valeurs dans les formules (x), (2), (5), après y avoir changé R en R', nous aurons

da = — 2 m'a* . [P . (xdx +ydy ) -J- F . (x’dx +y'dy)’\ , df = ni' .Y .[x'y—xy' ) . dy+m . (xdy—ydx) . (Py -f P'y') ,

df'= m' . F.( r y — x/) . dx+rn (ydx — xdy) . (Py+ P y' ) , I

r' ^ — ^-zandt. [P. (x*4- y’ ) + P'- (xx'-yy ')] ,[

dp =5

.Y.yz.dt.

•.F.xs'.d/.

Si l’on remplace dans ces formules P et P' par les

Dü SYSTÈME DU MOPiDE.

séries que ces lettres représentent; qu’on substitue ensuite pour x , y, z, et;. /■ leurs valeurs

x = r cos v . y = r sin v, z = o, r = — ^

7 J 7 7 i -f- e cos v

et pour .r', j', z', r', leurs valeurs données , n°52, en fonction des sinus et cosinus de v'; qu’on observe que par les formules du mouvement elliptique, on a

r'dv — dt. V7«-(i — e%)> |

r'*dv = dt . V*), K

il est évident que chacune des expressions précédentes pourra se développer en une suite de termes de cette forme