II . cos . fiv -j- t’V -j- K) . dv , (p

i et ï étant des nombres entiers, H et K des constantes fonctions des élémens des orbites de la comète et de la planète perturbatrice.

Ces termes s’intégrent sans difficulté dans le cas où i' — o; ils ne sont plus intégrables généralement lorsque i' n’est pas nul ; mais quand la comète est dans la partie supérieure de son orbite, les termes de cette espèce sont considérablement plus petits que les précédens, en sorte qu’on peut presque toujours les négliger sans scrupule. Au reste, si l’on juge convenable de pousser plus loin l’approximation, on pourra le faire de la manière suivante.

Les deux équations ( n ) donnent

«■ ÿa'-ii — « )

laa THÉORIE ANALYTIQUE

Le terme qu’il s’agit d’intégrer devient, en .substituant cette valeur, ,-M

„ \/a(i — e‘) f'r’dd .. v , t

H. — . / — — . cos (w -4- * v -j- K).

Va\i — e") ,J f V '

Si, dans cette intégrale, on met pour — , sa valeur

a'*.(i — «'*)*.(! -f-e.cosv)* aa.( i — [i + e'.cos (*/ — *')]* *

et qu’on remarque que e' est une très petite quantité, il est clair qu’on pourra la développer en une suite de termes de cette forme

H' cos {h + ZV + K') . dv'.

Ce terme peut encore s’écrire ainsi :

y-./cos(^ + K/).d.sin l'v + ^-./ sin(/v -f- K'J.d.cos tv' ;

on aura donc, en intégrant,

H' ./cos . {lv + td + R') • dv' — y • sin . (lu + lv + K')

— yV-cos ( Iv + tv' -h K ').dv.

Si dans le dernier terme on substitue pour dv sa valeur, il devient

H7 Va( t — e‘) //W „ , „ , ,

Çe terme est beaucoup plus plus petit que l’inté-

grale

H' . /cos (lv -+- ZV + K') . dv\

, ia3

puisque - est supposé une très petite

le facteur est aussi très petit; car a.(i-e)

est la distance périhélie de la comète , et cette distance est beaucoup moindre que a' relativement aux trois planètes supérieures, les seules dont on ait ordinairement à considérer l’action. On pourra donc supposer l’intégrale H'./:os(/v K'), dv , à très

peu près égale à y . sin . Vv -f- K') , et négliger

l’autre partie de sa valeur. Si l’on voulait cependant y avoir égard, comme cette partie est absolument de même forme que l’intégrale H/cosi/'-f-tV-J-K).^, on pourrait la développer comme elle en une suite de termes semblables au suivant ,

H" ./cos. (5^ + K').^' ,

que l’on intégrerait par la méthode que nous venons d’indiquer, lin continuant ainsi , on diminuera à volonté l’erreur résultante des intégrales négligées, et l’on approchera d’aussi près que l’on voudra de la valeur de l’intégrale

H ./ :os (iV -f* tV -f- K) . dv.

Il ne s’agit donc, pour appliquer aux équations (F) la méthode d’intégration précédente , que de développer ces formules, ce qui ne demande plus que des subs- \

i*î THÉORIE ANALYTIQUE

titutions faciles. En joignant les valeurs de i a, if, i f, ip, iq qui en résulteront à celles qui se rapportent à la partie de R .indépendante de R/, on aura les altérations totales des élémens elliptiques de la comète dans la partie supérieure de son orbite.

5g. Voici donc, d’après les résultats précédens, la marche qu’il faudra suivre pour déterminer généralement les perturbations d’une comète et fixer à l’avance l’époque de son retour au périhélie. Prenons pour exemple la comète de 175g. Les observations faites pendant ses apparitions en 1682 et en 1759, ont fourni toutes les données nécessaires pour déterminer les élémens de son orbite à ces deux époques. Elles ne donnent point directement, il est vrai, la valeur du grand axe; celte valeur dépend , comme nous l’avons vu , des perturbations que la comète a subies pendant la révolution de 1682 à 1759; mais on peut , dans le calcul de ces perturbations , regarder l’orbite comme une ellipse dont le grand axe répond à la durée observée de cette révolution ; les quantités négligées seront de l’ordre du carré des forces perturbatrices. Partant donc des élémens de 1682 , on déterminera leurs altérations ainsi que celle de l’anomalie moyenne, pour les six premiers signes d’anomalie excentrique, c’est-à-dire depuis u = o jusqu’à u — 1800; pour les six autres signes, il sera préférable de fixer l’origine de l’angle u au périhélie de 1 759, et de remonter vers 1682 , en faisant u négatif et en employant les élémens déduits des observations de 1759. Dans le troisième et le quatrième quarts de; son ellipse, la comète étant beaucoup plus

DU SYSTÈME DU MONDE. ia5

éloignée des planètes perturbatrices que dans les deux autres, on pourra prendre cette seconde moitié de l’orbite pour ce que nous avons nommé la moitié supérieure , et employer avec sûreté les formules qui s’appliquent à ce cas. Dans les deux autres quarts on fera usage, pour calculer les altérations des élémeris de l’orbite, de la méthode des quadratures mécaniques. • *

On déterminera, par ce moyen,' le grand axe de l’orbite qui répond au périhélie de 1682, et l’on en conclura celui qui se rapporte au périhélie de iy5g. On recommencera ensuite les mêmes opérations depuis 1759 jusqu’au prochain retour de la comète au périhélie; mais comme l’époque de ce passage est inconnue, on pourra, pour plus d’exactitude, rectifier l’orbite de 3o en 3o degrés, en employant pour chaque signe les élémens de l’ellipse qui résulte des calculs précédens. Lorsqu’on aura ainsi déterminé les variations de l’anomalie moyenne et des autres élémens de l'orbite depuis u = o jusqu’à u= 36o°, on en conclura l’époque du prochain retour de la comète à son périhélie et les élémens de son orbite à celte époque.

THÉORIE ÀNALïTIQUE