CHAPITRE IV

Application de la théorie précédente aux comètes périodiques de 1682, de 1819 et de 1825.

4n. Le système du monde renferme aujourd’hui trois comètes dont le retour périodique est constaté. La plus anciennement connue est la comète de 1682. llalley , qui avait le premier remarqué son identité avec les comètes aperçues en i53i et 1607, par une évaluation approximative et purement conjecturale des altérations qu’elle devait éprouver dans la période suivante, èn vertu de l’action de Jupiter et de Saturne, annonça son relour pour la fin de l’année 1 ou le commencement de ij5ÿ. Clairaut tenta de soumettre à des calculs rigoureux cette importante question; il appliqua à la détermination des perturbations de cette comète la solution qu’il avait donnée du problème des trois corps, et après un travail immense qui embrasse trois révolutions delà comète, il fixa l’époque de son passage par le périhélie au 4 avril 175g. On sait que la prédiction du géomètre se réalisa à quelques jours près; et encore l’écart des résultats de l’observation et de la théorie aurait-il été diminué sans doute , si Clairaut eût employé dans ses calculs la

DU SYSTÈME DU MONDE. ,a7

valeur de la masse de Saturne , telle que nous la connaissons^ aujourd’hui, et s’il avait eu e'gard à l’action de la planète Uranus, dont on ignorait de son temps l’existence.

Les deux autres comètes, à 1 egard desquelles s’est reproduit de .nos jours le phénomène si remarquable de leur réapparition au périhélie après une ou plusieurs révolutions , parcourent des ellipses beaucoup moins allongées que la précédente. La première accomplit sa révolution en 1204 jours à peu près. Ce fut en 1819 qu’elle fut reconnue, pour la première fois, comme comète périodique. En examinant les élémens d’une comète qu’on venait d’observer au commencement de cette année, M. Arago remarqua qu’ils avaient une grande analogie avec ceux d’un astre de mctne nature aperçu en i8o5. La même observation fut faite, en Allemagne, parM. Olbers, qui reconnut en outre que cette comète avait déjà été vue précédemment en 1759 et 1789. D’après cela, le temps périodique de cet astre ne pourrait être que d’un petit nombre d’années. M. Enke, astronome de Gotha, entreprit de représenter par une orbite elliptique les observations de i8o5 et 1819, et les élémens qu’il détermina se trouvèrent avoir entre eux plus d’analogie encore que les élémens paraboliques ; alors il ne resta plus de doute qu’ils n’appartinssent à une même comète, dont la période était de trois ans et trois mois à peu près, et qui, dans l’intervalle de i8o5 à 1819, avait accompli quatre révolutions entières pour revenir à son périhélie. D’après la rapidité de cette révolution, on aurait pu considérer cet astre comme

«ne nouvelle planète ;,mais on a continué à le ranger parmi les comètes , tant à raison de ses apparences physiques que parce qu’il n’est pas visible pour nous dans toutes les parties de son orbite. Depuis cette importante decouverte, plusieurs géomètres se sont occupés de la détermination des dérangemens que cette comète a dû éprouver dans ses diverses révolutions depuis i8o5 jusqu’à 1829, époque de sa dernière apparition , et ils sont parvenus à représenter sa marche dans cet intervalle avec une précision à laquelle il paraissait difficile que la théorie pût atteindre. Mais le même succès n’a pas couronné leurs efforts lorsqu’ils ont tenté de remonter aux passages antérieurs à i8o5, et les orbites elliptiques résultant du calcul des perturbations n’ont pu que satisfaire imparfaitement aux observations de 1795 et 1786. M. Enke a pensé que pour représenter la marche de la comète dans cet intervalle, il fallait recourir à l’hypothèse d’un milieu élhéré dont la résistance altère insensiblement les élémens de son orbite, et cette idée a donné encore à la théorie de cet astre un plus haut degré d’intérêt. Sans doute si les corps célestes étaient soumis à cette nouvelle force perturbatrice dont aucun autre phénomène ne nous a révélé l’existence, son influence serait beaucoup plus sensible sur les comètes que sur les planètes, à cause du peu de densité de la matière qui les compose, de même que nous voyons à la surface de la Terre la résistance de l’air altérer d’autant plus les mouvemens des corps pesans , que leur densité est plus petite, mais les résultats des calculs qu’on a faits à cct égard , et

DU SYSTÈME DU MONDE. »2g

les hypothèses sur lesquelles ils sont fondés, nous paraissent, les premiers trop peu concluans, et les secondes trop arbitraires pour décider une pareille question , et ce n’est qu’après un grand nombre de révolutions de la comète de 1819 et lorsque sa théorie aura été suffisamment approfondie , .qu’un point aussi important de la Physique céleste pourra être établi avec quelque certitude.

Enfin, c’est dans ces derniers temps seulement que le système du monde s’est enrichi d’une nouvelle comète périodique dont la révolution est de six ans trois quarts à peu près. Elle fut aperçue d’abord le 27 février i8a5, en Bohême, parM. Biela ; le 9 mars suivant, à Marseille, par M. Gambart, et le 10 à Alfona, par M. Clausen. Les élémens paraboliques conclus des premières observations de cet astre avaient une ressemblance remarquable avec ceux de deux comètes observées en 1772 et 1806. MM. Clausen et Gambart, qui paraissent se partager l’honneàr d’avoir fait simultanément ce rapprochement, tentèrent alors de calculer le mouvement de ces trois comètes en leur appliquant une orbite elliptique, et après quelques essais, ils trouvèrent, chacun de leur côté, une ellipse qui en représentait les observations assez exactement pour ne plus laisser aucun doute sur leur identité.

\Tel est letat actuel de l’Astronomie relativement au.v comètes dont la révolution est connue. Il n’est pas douteux que l’attention assidue qit’on apporte maintenant aux observations astronomiques n’en augmente encore le nombre dans la suite ; mais il est Tome II. 9

i3o THÉORIE ANALYTIQUE

à présumer que la découverte des comètes à longue période, comme celle de 1683, sera toujours très rare, surtout si l’on remarque qu’on n’observe ces astres avec assez de soin et assez de précision que depuis deux siècles. Les incertitudes dont les observations précédentes sont affectées doivent même souvent tromper les conjectures qu’elles ont fait naître; c’est ce qui est arrivé, en effet, pour la comète de i532, observée par Appien. Les rapports qui existent entre ses élémens et ceux d’une comète observée en 1661 , par Ilévélius, avaient fait penser qu’ils appartenaient à un même astre dont la révolution était de 138 années environ, et en conséquence on attendait le retour de cette comète vers 1789; mais elle n’a pas reparu. • ; , L

Nous regrettons que les bornes de cet ouvrage ne nous permettent pas de développer, dans toute leur étendue, les résultats de l’application de la théorie exposée dans le chapitre précédent aux trois comètes dont nous venons de tracer l’histoire ; mais du moins, en présentant le résumé de ces calculs, nous en indiquerons la marche avec assez de détails pour éviter tout embarras à ceux qui voudraient les vérifier ou les pousser plus loin, en considérant de nouvelles révolutions de ces comètes.

Détermination du prochain retour au périhélie de la comète de iy5g.

4i. Les premières observations un peu certaines qu’on aitdecette comètese rapportent à sou apparition

DU SYSTÈME DU MOKDE. i3»

en 1 53 1 ; elle repassa depuis à son périhélie en 1607, 1682 et 1759. Les durées de ces trois révolutions sont, comme on voit, très inégales. La première période, en effet, était de 76 ans et deux mois à<peu près, ou de 2781 1 jours; la seconde , de 27552 jours, et plus courte par conséquent de 4^9 jours que la précédente ; enfin , la dernière , la plus longue des trois , était de 27957 jours. 11 serait donc impossible de rien conclure sur les retours futurs de cette comète à son périhélie sans le secours de la théorie , et la détermiuation des perturbations qu’elle éprouve par l’action des planètes peut seule nous mettre en état de prédire l’instant de sa prochaine apparition.

Il faut, pour cela, commencer, commenous l’avons vu n° 3g, par déterminer le moyen mouvement diurne de la comète au périhélie de 1 759 , ce qui exige que l’on calcule les altérations qu’ont subies les élémens de son orbite pendant la période de 1682 à 1759. Les seules planètes dont l’action sur la comète ait pu être sensible dans cette révolution 9ont Jupiter, Saturne et Uranus. Les mêmes planètes ont encore influé sur son mouvement dans la révolution subséquente; mais dans l’année 1759, la comète s’étant beaucoup approchée de' la Tetre, il est devenu indispensable d’avôir'é^ird à cette nouvelle planète dans le calcul des perturbations , et l’on verra, en effet, qu’il en résulte une diminution de quelques jours dans la durée de la période que nous nous proposons de déterminer. Nous n’aurons donc à nous occuper, dans ce qui va suivre, que de l’action perturbatrice de ces quatre planètes : les calculs qui en

résulteront exigeraient des développemens très étendus; mais comme ils ont été laits avec beaucoup de soin par M. Damoiseau, et que nous avons eu récemment l’occasion de les reprendre en entier et d’en vél’ifier l’exactitude, nous nous bornerons ici à indiquer la marche et les résultats de ces calculs, et nous renverrons, pour les détails, au Mémoire de M. Damoiseau, qui a mérité le prix que l’Académie de Turin avait proposé en 1812 sur ce sujet, et qui est imprimé dans les Mémoires de cette Académie , pour l’année 1820.

42. Dansle calcul des perturbations qui se rapportent à la révolution de 1682 à 1759, nous regarderons l’orbite de la comète comme une ellipse dont le grand axe répond à la durée observée de cette révolution, que nous supposerons de 27937 jours. En nommant donc

2 a cet axe, et N = le moyen mouvement diurne

qui lui correspond , on aura

Les autres élémens de l’oi;bite qui se rapportent tant au périhélie de 1682 qu’à celui de 17 5g, résultent directement des observations faites à ces deux époques. Nous supposerons, pour partir des mêmes données que M. Damoiseau ,

DU SYSTÈME DU MONDE. i33

En 1682.

Instantdu passage au périhélie 1682. i5"fl-,24oo2(*) Rapport de l’excentricité au demi

grand axe, 0.967629

Lieu du périhélie 3o2°53'

Longitude du nœud.- 5i.i6

Inclinaison de l’orbite 17 .56

Sens du mouvement, rétrograde.

En 1759.

Instant du passage au périhélie 1769 . 1 3""', 08976 Rapport de l’excentricité au demi

grand axe 0.967554

Lieu du périhélie 5o3° 8'

Longitude du nœud ascendant 53.38

Inclinaison de l’orbite 17 .40

Sens du mouvement , rétrograde.

Pour apporter dans les calculs le plus de précision possible , il sera bon d’employer, dans la première moitié de la révolution de 1682 à 175g, les élémens de l’orbite relatifs au périhélie de 1682, et dans la seconde , les élémens qui se rapportent au périhélie de 1759.

Il ne s’agit plus maintenant, pour déterminer le prochain retour au périhélie de la comète de 1 759 , que de substituer, dans les formules du chapitre

(*) Le temps est partout exprimé en jours moyens comptés île minuit au méridien de Paris.

i34 THÉORIE ANALYTIQUE

troisième, les valeurs numériques précédentes, à la place des quantités qui les représentent, ainsi que celles qui se rapportent uniquement aux planètes perturbatrices, et qui seront données par les tables astronomiques. Lorsqu’on aura ainsi déterminé les altérations différentielles qu’éprouve chacun des élémens de l’orbite par l’action des forces perturbatrices, on aura, par la formule (P), les altérations totales de ces élémens , correspondantes à une variation donnée de l’anomalie excentrique. Dans l’application de cette formule,, on fera varier l’anomalie excentrique de degré en degré pour Jupiter ; mais comme les autres planètes que nous considérons exercent sur la comète des actions beaucoup moins sensibles, nous écarterons davantage, dans ce cas, . les ordonnées de la courbe parabolique, et nous ferons varier cette anomalie de deux degrés en deux degrés pour Saturne et de six degrés en six degrés pour Uranus.

43. Pour donner un exemple de ces calculs, proposons-nous de déterminer les altérations des divers élémens de l’orbite résultant de l’action de Jupiter sur la comète pendant la période de 1682 à iy5g, et correspondant à un arc donné de l’anomalie excentrique. Par les tables de Delambre, on aura

Anomalie moyenne de qp au montent

du périhélie de la comète en 1682. 291° 17'

Lieu de l’aphélie.. 189.16.46"

Longitude du nœud 97 . 1 3 . 54

Inclinaison de l’orbite 1 . 19. i5.

En considérant le triangle intercepté sur la sphère celestc, par l’écliptique et les orbites de Jupiter et de la comète , on trouvera aisément , d’après les données précédentes ,

Lieu du nœud ascend. de jp sur

l’orbite de la comète 54° ia' io"

Lieu du nœud ascend. de la comète

sur l’orbite de 54.10.37

Inclinaison mutuelle des deux orbit. 18.52.29;

d'où l’on conclura d’abord

A... ni0 19' 10", >... i8°52' 29".

Si de la longitude de l’aphélie de Jupiter, on retranche l’angle 54° 10' 37", la différence sera la quantité qu’il faut ajouter aux anomalies vraies de cette planète, comptées de l’aphélie, pour avoir sa longitude comptée du nœud ascendant de son orbite sur celle de la comète; cet angle sera donc ainsi de i35°6'9".

Cela posé , on aura pour déterminer les coordonnées de la comète rapportées au plan et au grand axe de son orbite, ainsi que le temps écoulé depuis le

passage au périhélie de 1682, les formules suivantes :

x— 1 8.0 1 86 . cosu — 1 7.43532 , y = 4-54747 • sin w, t = (444/, 6307 1 ) - (u — o . 967629 . si n u) ;

et pour déterminer les coordonnées de la planète perturbatrice, rapportées au ipême plan et au même axe, on aura

j 36 THÉORIE ANALYTIQUE

x' — (o . 365567) ./ cosv — (0.881476)./ sia /,

j' = — (o . g3 1 568) . r'cos / -f- (0 . 344° 18)./ sin /, z' '= (o.3235oo).r'sin /.

Ces formules donneront les valeurs des coordonnées x , y, x', y, z' et du temps t correspondant à un arc quelconque d’anomalie excentrique compris entre o et 1800. Supposons qu’il s’agisse de déterminer ces valeurs relatives à l’époque qui répond au dixième degré de cette anomalie, en faisant u— io°, dans les premières formules, on aura d’abord

On calculera ensuite le lieu de la planète relativement à la même époque.

On aura, par lés tables de Delambre, en n’ayant égard qu’à l’équation du centi’e et à la variation séculaire ,

Anomalie moy. T£ au périh. 291 0 1 7'

Mouv. m. p. io° d’ano.exc. 2.24

Ano. moy. 7C pour l’ins. don. 293.41 /. . . 5.3o63g

Équation du centre +4-^

Anomalie vraie de "l£ 298.36

Const. àajout.auxanom.vr. i35. 6

Si dans les formules qui déterminent les coordonnées de la planète perturbatrice, on substitue ces valeurs, on trouvera

A l’aide de ces valeurs et de celles de x et y , on formera aisément les suivantes :

Il ne s’agit plus maintenant que de substituera la place de x, y, X et Y leurs valeurs numériques dans les formules du n° 82, après les avoir réduites en nombres. Reprenons d’abord la formule (7) qui détermine l’altération du moyen mouvement, rri désignant ici la masse de Jupiter ; on aura

et cette formule, en y substituant i° ou 0.017455 à

la place de du, et multipliant tous les termes par

36o x 36oo 1 .j . 1 j * j

365 2~5638~ Pour *es ret“ure en secondes , deviendra

dn = (o", 7 5668) . sin u . X — (o", i85g2). cos u . Y .

Si l’on fait les mêmes substitutions numériques dans les formules qui donnent les altérations du périhélie et de l’époque, et qu’on réduise en secondes tous les termes , on aura

du> = (1 5*, 77075) .y . (xY — yX) — ( 1 5",8o456) . /X ,

de — du= — (o . 2.5i'ï>&).doû — (6*, 7 2585).r.(xX-f7yY).

Au moyen de ces formules, en faisant io°, on trouve

dn = -f-o*ooo5868i , tdn = -f- 0*0 16975, dcù = — 0,089833, di — ek>=+o,o586 {6.

44- On pourra calculer, de cette manière, les valeurs successives de dn, da>,di , depuis o jusqu’à 180 degrés d’auomalie excentrique ; en partant ensuite des élémens de 1759, et faisant u négatif, on calculera les mêmes valeurs depuis u—o° jusqu a u= — 1790; ou substituera ensuite ccs quantités dans la formule (P), et des résultats ainsi obtenus on formera le tableau suivant :

Résultats de l’intégration par quadratures des altérations différentielles du moyen mouvement , du périhélie y et de V anomalie moyenne , présentant les altérations totales de ces élémens , depuis 1682 jusqu'à 175g.

Planèt.

/dn.

T fdn.

f tdn.

fdlfdn.

fdu.

fdt—f de».

+o.oi3i38

+ i4io9"3a + i5G,o5 + 339,39

+20-8"Sç) + 36«,68 + 94.9»

Total..

-f-o.36ogi7