CHAPITRE PREMIER

Intégration des équations différentielles qui déterminent les mouvemens des corps célestes autour de leurs centres de gravité.

' 1. Reprenons les trois équations (B) que nous

avons trouvées n° 5, livre II, pour déterminer le mouvement des corps célestes autour de leurs centres de gravité :

A^+(c-B)-?r==s- (>• ■%)■ dm » )

B <9> rP=s- (z- S“x-S)- dm ’

Csr+(B“A)*/,?“S-0C* r-d£) dm- )

Dans ces équations, A, B, C représentent les trois momens d’inertie principaux du corps, respectivement relatifs aux axes des x , des^ et des z; en sorte qu’on a

A=S B=S.(x1-f-z,).dm, C=S

Les trois quantités p, q, r déterminent à chaque instant la position de l’axe instantané de rotation par rapport aux axes principaux, et Ta vitesse de rotation

DU SYSTÈME DU MONDE. i63

autour de cet axe ; en sorte que si l’on désigne par et,

£, y , les trois angles que forme respectivement l’axe instantané avec les axes des x, des^- et des z, on a

cos a— — - — ? — , cos£= . . . 9 , cosy= -■ r . ,

\/p'+q'+r * Vp'+q'+e* yV+îH-r*

et exprime la vitesse de rotation au-

tour du même axe.

Enfin n représente la somme des masses des corps agissans du système , divisées respectivement par leur distance à l’élément dm du corps attiré; le signe intégral S se rapportant au même élément et aux quantités qui varient avec lui, et devant être étendu à la masse entière du corps attiré.

Les trois équations (A) suffisent pour déterminer à chaque instant les mouveraens du corps m par rapport aux trois axes principaux qui se croisent à son centre de gravité; mais pour connaître sa position absolue dans l’espace, il faut déterminer encore la position de ces axes mobiles par rapport à trois axes fixes, ce qui exige l’intégration des trois nouvelles équations suivantes :

dtp — cos ô.ckj, = rdt, \

d9 = si ntp.qdt — cos Q.pdt, > (a) sinâ.^4 == cos tp.qdt -f- s\n<p.pdt. )

Dans ces équations , 6 représente l’inclinaison du plan des xj sur un plan fixe, 4 est l’angle que forme l’intersection de ces deux plans avec une ligne fixe menée dans le second, et <p l’angle compris entre cette in tersection et l’axe des x. Ainsi , les angles 9 et 4 déterminent

ia position du plan des xy, que, pour abréger, nous appellerons désormais l’équateur du corps, et l’angle <p fait connaître la position de l’axe des x dans ce plan.

2. On peut faire subir aux seconds membres des équations (A) plusieurs transformations qu’il est bon de connaître, parce quelles nous seront utiles par la suite. r

Supposons, comme dans len°5, livrell, \=S.Udm, et ne considérons, pour simplifier, que l’action d’un’ seul astre L; si l’on nomme x\y\ z' les coordonnées de cet astre, rapportées, ainsi que les coordonnées x, y, z, de l’élément cfrw aux trois axes principaux qui se croisent au centre degravité du sphéroïde, on aura

y __ q hdm

1/ {ÿ^-x y+(S—jry+ (z'^Tzÿ *

Les trois coordonnées x',y , z' ne dépendant que de la position de l’astre L, et le signe intégral S ne portant que sur lelément dm et les quantités qui varient avec lui, l'équation précédente donnera

,dn\

" dy y li'

s/zÿ^W'^-2^y

' dx dz) X dz Z dx dn

dn\

dz ,d\

jdV

S'(“'<r ^ dx j j dx' ~ dÿ-

Les équations (A) deviennent par conséquent

Kde + (C-B g).*, '

+ (A -Q.).rpM={x'di - z"£).dt, ‘

Crf,-+

DU SYSTÈME DU MONDE. i65

Les trois quantités p, q, r sont données en fonction des angles <p , ^ , 6 et de leurs différentielles au moyen des équations («). Pour introduire les mêmes variables dans les seconds membres des équations pré-** cédentes, transformions les coordonnées af , y' , z', qui se rapportent ?ux axes mobiles des x, des y et des z eu d’autres coordonnées x, y, z, relatives à des axes fixes ; prenons pour plan fixe des x et des y le plan de l'écliptique à une époque déterminée, et pour axe des z une ligne perpendiculaire à ce plan. On aura d’après les formules du n° 3i , livre I®r,

x'r=x.(cos8.sin4'.sinp-j-cos4'-cosp)-f-Y. (cos8.cos$isinç-sm4>cosp)

— z . sin 0 . sinip,

y' =x.(cos0.sin4-cos^-cos4-sinî>)-f-Y.(cosS.cos4.cos<p-+-sin4'-sinip)

— z . sin 6 . cosip ...

z = x . sin 0 . simè -b Y . sin 8 . cos4 + ft . cos 0.

Si l’on substitue dans l’expression de V, à la place des coordonnées x' ,y , z', leurs valeurs, elle devient dra fonction des angles <p, •*[/, 0 et des variables x, y, z , x ,y , z, et comme ces dernières sont indépendantes de ces angles, en prenant la différentielle 4®

V par rapport à <f> , -v}/ , 0 , on aura

dV . . dV , . , dV dV , dV , . dV

iÂ d3= di'-d x + dÿ-** + Tr*y

en désignant par d'x' , d'y' et d'd les différentielles des coordonnées x' ,y' , z' prises en ne faisant varier* que les trois angles <p, -v}, et 0. Si dans cette équation on remplace d'x', d'y d'z' par leurs valeurs ainsi déterminées, et qu’ensuite on compare de part et

d’autre », les eoefficicns de dq>, de ds\ et de dâ, ou trouvera dV’.. •• t

dV , dV, . dv dp^y ' dx'^* ' dÿ' dV „ f , dV , 'dV Hé dv

y , dv ; dv\ , / , dv , dv\

sinH*’^e'-d?) + cos

dV ( , dV . » dVN . . / . dV , dV\

SI = «• 6. (* • - y • ^ ) + sm fl.cos^. (* . - s . ^ )

... dV , dV\

+ «n8.sin

d’où il est aisé de conclure

y dx'~

dÿ'~

dp ’

,dV

, dV