C8 THÉORIE ANALYTIQUE

cette intégration n’altérera pas la forme de la série.

Nous donnerons dans la suite l’expression du développement de V ainsi effectué; il suffira pour le moment d’en concevoir la possibilité. On verra alors

que les différences partielles de V sont de l’ordre

L étant la masse de l’astre attirant et r' sa distance à la molécule dm ; il est facile de juger par là l’influence de l’action des forces perturbatrices.

On peut observer encore que les différences partielles de V sont de l’ordre de l’aplatissement du sphéroïde que l’on considère. 11 est évident en effet que , si le corps était sphérique, la fonction V se réduirait à une quantité indépendante des angles <p, 0; et

comme la figure des corps célestes est peu différente delà sphère, cette circonstance contribue encore à rendre très petits les seconds membres des équations (C). Il suit de là que l’on doit regarder généralement comme très petites les forces qui troublent le mou» vement de rotation des corps célestes.

4. Si l’on multiplie les équations(Ç), la première par p, la seconde par q , la troisième par qu’on les ajoute ensuite, et que dans le second membre des équations résultanteson substitue pour/7, q etr, leurs valeurs tirées des équations (a), on trouvera

A pdp 4- R qdq+ C rdr — . dtp -f ^ ^ • dl (b)

Le second membre de cette équation serait une différentielle complète, si les astres qui agissent sur Iq sphéroïde étaient fixes; mais comme ils changent dq

position, la fonction V contient, outre les variables 4 , 0 , les variables x , v , z , qui dépendent du mouvement de ces astres ; soit donc

la caractéristique d se rapportant uniquement, aux variables <p, 4> relatives aux déplacemens des trois axes principaux du sphéroïde. Eu intégrant l'équation ( [b ), on aura

[A/?*-}- By’-f- C r*= const. + 2 .fd'Y. (c)

Cette équation renferme le principe des forces vives: nous avons fait voir en effet, n#33, livre I*r, que la fonction Ap*-\-Bq%-\-Cr* exprimait la force vive du sphéroïde dont les trois momens d’inertie principaux sont A, B, C, et dont V/7” “1“ <7* + r* est la vitesse de rotation autour de l’axe instantané.

Si l’on suppose donc

T V±V±Cr*

l’équation (c) devient

T — f . d'y = constante.

En appliquant à cette équation l’analyse du n* i5, livre II, on en tirera trois équations analogues aux équations (c) du même numéro. En effet, p, q, r étant donnés en fonction des variables <p, 4» ® et de leurs différentielles par les équations (<i), on peut regarder T

i7o THÉORIE ANALYTIQUE

comme une fonction de ces variables, et si pour abréger on fait ^ = <p', jjr = 4^ f en différenciant

on aura

rfT , , , rfT rfT . rfT , rfT , . . a i'

dÿ- ** + dï ■ + rf7 • rfj + -^+51 rfâ

rf+'

rfT

rfT rfâ '

rfT

===-J-p-dp+dï'd'l+-dr Les équations (a) donnent

dr.

/ï == -4^' . siri 0 . sÎekP — 6'.cos<p, y ÿ = <\J/ • s*n® • cosp + fl' . sin<p, [ (a) r= <p' — 4'.cos0. ^

Si après avoir différencié ces valeurs, on les substitue dans le second membre de l’équation précédente, et qu’on compare ensuite les coefficiens de dtp', dy etc., cette équation donnera

rfT rfT rfT

dp’ dr ’ rf4'

. . . rfT , . .

rfT

dq'

rfT . rfT rfT rfT rfT rfT

— . — —coip. d^ ^—(l-dp~P'~dqy

rfT

rf4

rfT r „ / . rfT , rfT\ .

rfJ=L \S'n? ^ + cos«I). ÿ+smS.

La valeur précédente de T donne d’ailleurs

rfT

. rfT n rfT „

:hP> ^ = *=c'”

les équations (c) du n° i3, livre II, deviennent donc ainsi