C.*+CB-A

d , [sinfl . (A/> sin <p -+- Bycosp) — cos8. Cr] dV dt ~~d^

^■4%ii?^^cos^-[cos9.(A/?sinft-b%cosft)-psin9.Cr].4'='~jjQ«

Ces équations sont identiques avec les équations ( f ) du n° i5, livre II, lorsqu’on suppose dans cellesci V=o, n=V, et qu’on y remplace les différences partielles de la fonction T par leurs valeurs ; on peut par conséquent intégrer ces équations par le même procédé , et comme elles ne sont qu’une transformation des équations différentielles (C), il est clair que leurs intégrales conviendront également à ces dernières, et réciproquement. Nous supposerons donc , conformément aux principes de la méthode générale d’intégration développée dans le chap. III du livre II, les équations précédentes, ou, ce qui revient au même, les équations (C) intégrées dans le cas où leurs seconds membres sont nuis, et nous avons vu n° 35, livre Ier, que cette intégration est toujours possible ; nous ferons varier ensuite les constantes introduites par l’intégration , de manière à satisfaire encore aux mêmes équations dans le cas où l’on considère l’action des forces perturbatrices.

Il est bon de remarquer ici que nous avons supposé dans le chapitre cité que D., qui représente l’intégrale de la somme des forces perturbatrices multipliées respectivement par l’élément de leur direction, est en effet une fonction toujours intégrable; mais cette condition , qui n’est remplie ni dans la question dn

»7a THÉORIE ANALYTIQUE

mouvement de translation , ni dans celle du mouvement de rotation des corps célestes , n’est nullement nécessaire et ne doit limiter en rien la généralité de cette analyse. Il suffit en eflfet , pour son exactitude, que les différences partielles de la fonction £1, qui représentent les forces perturbatrices, soient une fonction finie des variables <p, <\J,, 0, puisque ces différences partielles entrent seules dans les formules des variations dçs constantes arbitraires.

5. Reprenons les diverses intégrales auxquelles nous sommes parvenus dans le n° 35, du I" livre, savoir

A ap -f- B bq -f- C cr = /S, A a'p+ B b'q+ CcV= /S', Aa"p -f- M"q + C c'r= /3", Ap* -f- By* + Cr* == h, A y + By + CV = k*;

V/AB.Cdr

J B/i + (R-C;.Cr*j (— A*-f-AA+(C— Aj.Cr*}’

J, +g3= f *.(&■- A). l/ÂB.Crfr . ‘

' J (fts-C“r*). V\ A*-BA+(R.C).C»*){-**+AA4<C-A).C»* }

Ces sept équations n’équivalent qu’à six intégrales distinctes, et les quatre constantes /3, /3', /3';, k sont liées entre elles par l’équation de condition

Les Irois arbitraires /3, /£', /3" déterminent la position du pla u principal de projection , en sorte que si l'on appelle y son inclinaison sur un plan- fixe quel*

DU SYSTÈME DU MONDE. ' i73

conque, et a la longitude de son nœud comptée d’une origine arbitraire, on aura

tang a=— , tang y = .

La constante k est celle qui sert à compléter l’intégrale des forces vives; la constante l dépend de la position du corps à un instant déterminé ; enfin , relativement à la constante g-, nous observerons que 4, représente la longitude du nœud de l’équateur du corps, surle plan principal de projection, comptée à partir de l’intersection de ce dernier plan avec le plan fixe , n# 35, livre 1er. On peut donc, pour fixer les idées, supposer que — g est la valeur de cette longitude à l’origine du mouvement , puisqu’il suffit pour cela de le faire commencer à l’instant où l’intégrale de la valeur de 4/ s’évanouit.

Les intégrales (cl) suffisent pour déterminer à chaque instant la position du corps par rapport au plan invariable , en sorte que si l’on désigne par <p, et 0„ relativement à ce plan , les angles que nous avons nommés <p et B par rapport au plan fixe , on connaîtra par les formules précédentes les valeurs des angles <p(, 4,> 7 et a> et l’on déterminera celles

des trois angles <p , 4» 9, par les formules du n° 35, livre Iw.

Cela posé, concevons que l’on veuille étendre les intégrales précédentes aux équations (C), où l’on considère l’action des forces perturbatrices. Les trois arbitraires jS, /3', /S", ne seront plus constantes; le plan principal de projection que nous avions considéré

I74 théorie analytique

comme invariable n° 35, livre cité, cessera de l’être, mais il conservera toujours la propriété d’être à chaque instant le plan par rapport auquel la somme des projections des aires décrites par les ray.ons vecteurs des élémens du sphéroïde, multipliées par les masses de ces élémens, est un maximum; les quatre constantes h , k,J, g, deviendront également variables, et l’on déterminera les variations de ces différentes quantités par la formule générale (D), n® 18, livre II.

Pour cela, il est nécessaire d’exprimer préalablement ces constantes en fonction des variables indépendantes du problème et des quantités s, u, v, qui sont, comme on sait, des fonctions de ces variables et de leurs différences premières. Dans la question qui nous occupe, comme dans celle du mouvement de translation , les variables indépendantes sont au nombre de trois : nous avons pris les trois angles <p , •vp, G, pour ces variables; nous avons désigné, pour abréger, par <p', 4', G' les différentielles 4 1 divisées par dl, et par T la moitié de la force vive du sphéroïde; on aura par conséquent, n° 1 3 , livre II,

S—dï''

Nous avons trouvé, n° 4, pour l’expression de T,

X = Ap' + Bg'-f-Cr»

on aura donc, en vertu des valeurs de données dans le même numéro,

dT dl dV • do' *

jt =Cr,

u=(Ap. sin <p4-Bç. cos<p). sin0 — C r. cos0, i- = — A p . cos <p -h B^r . sin <p ,

d’où l’on tire

a / • A\ sin 0

A^=(w+^cos 0). — i^coscp,

B q =(«-Mcos0). ^ + i,si»p,

Si dans les expressions des constantes (2, j8", on

substitue ces valeurs, et qu’on remplace en même temps les quantités a , b, c,a', b', c', a", b ", c", par leurs valeurs données n° 28, liv. Ier, on trouvera

j3 rril'j + WCOsG). — OCOsd/,

' sin 6 T

/3' = (^-f-«cos0). ^-f-^sin^,

En mettant pour j8, 0', /3", leurs valeurs dans les équations (/), on exprimera les constantes et et y en fonction des mêmes variables. On pourrait exprimer de même les constautes h et h en fonction des six variables <p, 0, s, u , 0, mais il sera plus simple de

les regarder comme déterminées par les équations (d) et (e), en y considérant les quantités p, q, r, /3, 1 3', jS" comme des fonctions données de ces variables. Enfin, on substituera sous le signe intégrai s à la place de O dans les deux dernières équations (d), et en supposant les intégrations effectuées, 011 pourra regarder les six constantes h, k, a, y, l, g, comme

T76 théorie analytique

exprimées en fonction des six variables <p, 4, 0, s, u, v. Il ne restera donc plus qu’à substituer leurs différentielles partielles prises par rapport à ces quantités dans la formule générale

. . da db da db da db du db du db da db

ds dtp dp ds du * rAj' d^/' du du * dQ dO'dv*

pour avoir les valeurs des quinze symboles ( A , a), [k, y), etc.

6. Pour suivre ici la même marche que dans la recherche des variations des élémens elliptiques, commençons par déterminer les valeurs des quantités (A- , a), (A , y) ,{a,y ) , (A , A) , (A, a), (h, y) , où n’entrent point les lettres / et g; et, afin de simplifier ce calcul , formons d’abord les trois combinaisons (/3, /3'), (/S, 0"), (/S', /3"); on trouvera sans peine

Si l’on regarde a et y comme des fonctions de /3, /0', /3", données par les équations

tanga =

ta„g >».üî££,

on aura

rf/S'

D’ailleurs, A étant une fonction de /3, /3', /3", donnée par l’équation A*=/S*-{-/8,, + /S,;*, on a

et par conséquent ( k,fs) — o ; on aufrait de même {k, (à') = o, (A-, /3') = o, d’où l’on conclura

La valeur précédente de tang y donne cos y =s -j- • ■

en observant donc que (a, Æ) est nul par ce qui précède, on aura simplement

7 ■ r . . îütjrio !

jjc.'lsfipb on ,0 , '• ! 1 ' : I I . jquti iio l iü

Si l’on combine la constante h avec les trois constantes /3 , /3', /S* ,A on trouver^ ' — ''

- {h> {htft'ï'T 70) ÆOSr*.^?;»! nO

En effet, la constante /3", par exemple, ne contenant que la variable u, la formule (C) nb 18, livre II, donnera ■ bnov'é el I ry’în.

'dfcjîdftiiiQJ Jioqq//!

M ai je »;i '‘TnTjoIiSb -b 'iij-jIbv i»il Tome IL 1 2

Or, la constante h est fonction de p , q , r, et les valeurs ( ces quantités ne contiennent pas la

dh ,

— = o, et par conséquent

(h, /S) — o. On peut en conclure par analogie que (h, /3') et ( h , (à*) sont nuis pareillement ; il est facile d’ailleurs de le vérifier en calculant directement leurs valeurs. .

11 suit de là que si l’on regarde k, a, y comme fonctions de /3, jô', /3', on aura

variable 4,:> on a donc

- V,q ** rXhf.*) =.<>■> (/b >)==°- ti

Formons maintenant les quatre combinaisons (Z, h), (/, k ), (Z, fi), Cl, y) qui renferment la constante Z sans contenir la constante g'. ; • ^ '

La sixième des intégrales ( d ), en mettant s à la place; de O sous le signe intégral , devient 5 * — *•{ . j c), t r ^ c' * . " \ ’•

t/AB.CiZs

V [C-t*- BC/i-f-(B-C).s“l . [-C/<“-t-AC/i-f-(C-A).s*]'

Si l’on suppose l'intégration effectuée , cette équation

-d/onpe-àx I ir‘l ’j-j I L> ‘J tu v<:IOJ 1.1 r I : ; ; 1 ; rj u, ;( |r’

l — — t-*? foncti P.-J hi;;>

m;\'£ {fis Jf ^ __ /(y ' v

On aura ainsi j t=j y et pour avcrir les différences

ds ds dt uiA‘J a

lni;:iuj2io’> apq - 6UÜ«.- ’ "»g-, -• -

partielles .^rr , -j-., u sumra acdinerencier sous le signe

, FI vml . # '.lav-i) u. . ui s! tu . / ::l -:P

intégral le second membre de l’équation, (4T) par rapport aux constântea./i et k. ,,,

La valeur de Z-né cdntenant que la variable s, en

DU SYSTÈME DU MONDE. i79

la combinant avec une constante quelconque b, et en faisant d’abord abstraction des constantes h et k quelle renferme, on aura

Pour avoir égard aux constantes h et k , il faudrait ajouter au second membre les deux termes

(h,t).di+(k,b)4L.

’dk

Mais on peut s’en dispenser, parce que b devant représenter l’une des quatre constantes h, k, *, y, ces deux termes sont toujours nuis.

Substituons d’abord la constante h à la place de b} on a

% = * % + aB? ’ 2Cr* %'

Or , les valeurs de Ap , Bq, Cr donnent

A|=B?- Bg=-v. câ=0i

on aura par conséquent dh

dq>

— a. (B A) . p<fr==* — 2 . C — ,

en vertu de la troisième des équations (A). On aura donc, en observant que C ^