r dt d
ia.
et par conséquent
Les trois constantes /3, /3', /3* ne renfermant pas la variable <p , il s’ensuit que si la lettre b représente une fonction quelconque de ces arbitraires, (/, b) sera nul; on aura donc ainsi
(Z, Æ)=o, (Z,ct) = o, (Z, 5') = o.
Passons enfin au calcul des cinq combinaisons (g , h), ( g, k), {g, cl), (g, y), {g, l) qui renferme la constante g.
La dernière des équations (d), en substituant s à la place de Cr, devient
k. (s* — Ch). t/AB .ds
(&*—«’) V' [C£a— t3CA-f-(B-C).s:'][-Gfc“-f-AC/i-f-((J— A)..y*}
Si l’on suppose l’intégration effectuée, cette équation donnera g en fonction de 4/> s > b, k, en sorte qu’on aura
g = — fonet- (Æ, k, 5).
En la différenciant , on a d’ailleurs
dg k(s'-Ch) dt ds ds ~~ ~ C. (A* — «“) * da‘
On obtiendrait les différences partielles de g, par rapport à h et à k, en différenciant sous le signe intégral par rapport à ces constantes.
Cela posé, on aura relativement à une constante quelconque b,
Nous omettons le terme (A:, i) . parce que £ devant
représenter l’une des quatre constantes a, y, h, l, ce terme est toujours nul.
Pour former la quantité (4, , b), il est nécessaire de connaître la valeur de 4/ en fonction des variables <p , 4 , 9 , s , u , v. Or nous avons trouvé n° 35 , liv. II,
cos 6 = cos^< . cos 0/ — sin y . sin0/ . cos 4, sin (4 — «) • sin 0 = sin 4, • sin 9r
On a d’ailleurs, n° 35, livre II, •
k . cos y — fi" = — k, et k. cos0y= Cr~s ;
les deux équations précédentes donneront donc
cos^ = — — r-
£*. cos$-f- us . , fc.sin(4 — «).sin# — , sin4, = • — -
Si l’on différencie la valeur de cos 4/» par rapport aux variables s , u, 0 qu’elle renferme, et qu’on substitue dans le résultat pour sin 4/ > sa valeur, on trouvera
44, u ~h « cos S
ds (A* — s') . sin y. sin t . sin (4 — *) *
c?4, * 4- «cos ê
du t% . sin3 y . sin fl . sin (4 — «) ’
dt sin>'.sio(4 —
par conséquent
u -f- s . co si n» , s + u cos t db
{k‘— «‘j.sinj/.sinJ.sin^-» ' <iq> , .sin9.sin(4-«) ’^4'
i db
sin y . sin (4 — “) dy ‘
Substituons maintenant successivement dans (g, b) et (4,, b) à la place de la lettre b , les quatre constantes h , k , a, y.
On trouve aisément
dh ds dh dh , . .
Tv = -*-dt' 54 = °’ ^ = -a-(PC0S*-*s‘n*}i par conséquent
ik . (Ji — ci*)
(4/!^) iiliyiln(4~oj'|V
Les équations (g) donnent
— = Ap . sin <p + Bg . cos <p , sm 0
k . sin y ■ sin(4— *)=& ■ sin4— £ . cos4= —A p cos p+B? sin <p.
L’expression de (4,> ^') > au nioycn de ces valeurs et en observant que k * — s*=A*y9 + B’^*, se réduit à
,, „ aA.(AP»4-Bvn afe.(A — cr»)
Si l’on substitue cette valeur daus l’expression de (g, h) , on aura
DU SYSTEME PU MONDE. i83
Si l’on combine la constante g avec chacune des trois constantes /3 , /3', j3", et qu’on observe qu’en vertu des équations (h) , on a
— ^ — = /3sm4+ /3 cos4 ?1 ■.
sin
on trouvera sans peine /8
(4, 0 = = n&ï • <4, « = rér; > <4- « =
La constante A’ étant regardée comme une fonction de /3 , /S', /3' donnée par l’équalion
on a
r sin2 5, »
par conséquent,
;; < ...tll : \
. -J ■ t : \ rjl. . • ' > »
La constante y étant donnée par l’équatiou
tang y :
on aura
(4„»=(+^.$+(4,. n%= Æf-
dP k sin* y ’ fc"
par conséquent.
(4,*) = raV
Enfin, la contante a, étant déterminée par l’équation
i84 THÉORIE ANALYTIQUE
' ' tanga = -^,
on aura
(4>*)=<' h.P>%+à,,PYu
dff
COS* a /& 0@\
i sin* y* v3' j8'V
c’est-à-dire
Ces valeurs substituées dans la formule ( k ) donneront, en remarquant que les constantes /3, /S', ne contiennent pas la variable <p ,
te,A) = — i, = , &>«) = <>•
Il ne nous reste plus à former que la combinaison (g1, /) ; mais au lieu de substituer la constante / à la lettre b, dans la formule (A:) , il est plus simple de considérer cette constante comme fonction des variables s, t et des constantes h, k; on aura ainsi,
valeur qui, en observant que (g, h)= o, (g, A)= — r, (g, 5) = — se réduit à
/ t// rf/
\g> l)=— dî‘ds~~ dk'
D’ailleurs £•= fouet. (5, -\f,y, h, k) -, et comme s, k ne contiennent pas la variable <p , on a
Dü SYSTÈME DU MONDE. i85
dg dg dh
dg> = Jh'dQ*
par conséquent,
- p. dh dl dg , dl dg dl
Kg> l)— Tfy’ds * dh^dk “ 3'dh dk>
, a dh dl
en observant que ^
Pour avoir les différences partielles il faut
différencier , sous le signe intégral , par rapport à h et a k , les valeurs de ces deux constantes ; on aura ainsi
dg Ç kdt , r A.k. (s* — Ch) . dl
dh~J W=?+Z’J (P-/s).[CP-ACP^-C).«a]
, , r BP (P — Ch).dt
+ V (**—«*) . [CP— BCA + (B— C).P] ’
valeur qui peut se mettre sous cette forme
dg , r C k.dt , r C k.dt
dh CP-ACÀ+(A.-C).P V CP-BCA+(B-C).P'
En différenciant de la même manière , par rapport à k , la valeur de l, on trouve
dl p C kdt r C kdt
dk J CP— ACA-KA— C).«* J CP— BCA+(B— C).P‘
Ces valeurs, substituées dans l’expression de (g, Z), donnent
7. En réunissant les valeurs des quinze quantités que nous venons de calculer, on trouve
Toutes les autres sont nulles, en sorte qu’on a
(h,k)= O, (h,y) = o, (A, a) = 0, (7i,£) = o, (Z, A) = o, (Z, y) — o, (Z, «) = o, (Z, #) = o, (*»>)= O» (A,a) = 0, fe,*)=0.
Au moyen de ces valeurs, il est aisé de conclure, en vertu de la formule générale^)) , n° 18, livre II,
dh = dl — dk — dg = daz=.
dV
