di • dt

- 2 . -TT. al.

—r . dt,

dg

dV j co s y

' jj %Clt “ " 7 •" ah h sia y

dy =

i rfV ,

i sin y' dy' 7 cosy .£.*+

i sin y ’ <%

/t $in y " da.

dl.dt.

Ces équations serviront à déterminer les variations que produit sur les six constantes arbitraires qui entrent dans les équations du mouvement de rotation , l’action des forces perturbatrices.

8. Ce qu’on observe d’abord en considérant les formules précédentes, c’est la singulière analogie qu’elles ont avec celles qui déterminent les variations des élémens elliptiques des orbites planétaires. Ou voit en effet que pour les rendre identiques avec les formules (o) du n* 4T > livre II , il suffit de

changer dans ces dernières, ^ en — h, <p en y, et de

prendre , au lieu de l’angle a , son supplément. Ce résultat remarquable tient à ce que les constantes dont nous avons fait choix ont une signification semblable dans les deux problèmes. Ainsi , dans le

mouvement de translation — -, et dans le mouve-

ment de rotation h , sont les constantes qui équivalent à la force vive du système. Dans ce dernier cas, y est l’inclinaison du plan principal de projection sur un plan fixe , et la longitude de son nœud comptée sur ce plan à partir d’une ligne fixe; de même dans le mouvement de translation <p est l’inclinaison sur un plan fixe du plan de la trajectoire , qui est évidemment le plan principal de projection, et a la longitude de son nœud comptée sur ce plan, seulement cet angle n’est pas compté dans le même sens dans les deux cas , d’où résulte la différence de signe qu’on remarque dans les formules qui dépendent de la variation de cet angle ; l est la constante ajoutée au temps t, et provient de ce que les équations différentielles du mouvement ne renferment, dans les deux questions , que l’élément de cette variable ; k représente l’aire décrite pendant l’unité de temps, sur le plan principal de projection par le rayon vecteur de chacun des élémens du corps en mouvement, multipliée par la masse de cet élément. Enfin, la constante g représente des quanti tés analogues dans les deux cas.

Ainsi donc les expressions des variations des constantes arbitraires sont identiquement les mêmes dans

le mouvement de translation et dans le mouvement de rotation, et les perturbations qu’éprouvent les corps célestes dans leurs mouvemens, soit autour du Soleil, soit autour de leur centre de gravité, se trouvent ainsi exprimées par les mêmes formules , comme elles dérivent de la même cause. Cet important résultat n’est pas sans doute ce qu’offre de moins remarquable la belle méthode que nous avons employée pour déterminer toutes les inégalités des planètes. Cette méthode, qui réunit dans une même analyse les deux principaux problèmes du système du monde, a de plus l’avantage de présenter sous un même point de vue les différens effets que produisent dans les mouvemens de ces corps leurs attractions mutuelles. On voit que ces effets, qui, au premier aspect, paraissent avoir si peu d analogie entre eux, se bornent à faire varier par degrés insensibles les arbitraires du mouvement; de sorte qu’en introduisant ces arbitraires ainsi corrigées dans les formules du mouvement qui aurait lieu, abstraction faite des forces perturbatrices, on aura celles qui conviennent au mouvement troublé, et l’on pourra déterminer ainsi , de la manière la plus simple , la valeur des variables qui doivent fixer à chaque instant la situation du corps que l’on considère. Nous ne craignons pas de l’affirmer, cet ingénieux procédé d’analyse , par sa généralité et par la clarté nouvelle qu’il répand sur toutes les parties de la mécanique céleste, est la plus belle conception dont se soit enrichie la théorie du système du monde, depuis les immortelles découvertes de Newton. Ce grand géomètre nous avait montré quelles sont les

forces pi’incipales qui donnent le mouvementaux différens corps du -système solaire ; Lagrange nous a appris à calculer l’effet plus compliqué des forces perturbatrices, et peut être il a posé la limite où devait s’arrêter l’esprit humain dans ces sublimes recherches.

9. On peut donner aux formules (P) différentes formés en substituant aux constantes h, /, k, g , a, y , de nouvelles arbitraires, et en exprimant leurs différentielles au moyen des différences partielles de la fonction V, prises par rapport à ces mêmes quantités. Remarquons d’abord que g désigne dans ces formules, l’angle compris à l’origine du mouvement entre les intersections du plan principal de projection avec le plan fixe et avec le plan qui contient les deux premiers axes principaux du corps; dg est donc l’accroissement de cet angle pendant l’instant dt, mais l’intersection du plan principal de projection avec le plan fixe est mobile, et cos y.dx exprime son mouvement pendant l’instant dt projeté sur le premier de ces plans. En désignant donc par co la longitude de l’intersection de l’équateur du corps avec le plan principal de projection , cette longitude étant comptée sur ce dernier plan à partir d’une ligne fixe, on aura

dco — dg — cos y . da.

En considérant d’ailleurs Y comme fonction des arbitraires co et a , on trouve

dV d\ dV /</V\ dV

dg^~ dm’ d* — \d.) C0S y ‘ d. ’

Les trois dernières formules (P) deviendront, ainsi

igo

THÉORIE ANALYTIQUE da =* da. = —

, rfV dt'dk>

dt

ks'm y ^ £sin y ‘ dm

dV dy * dW

En joignant ces expressions aux trois premières équations (P), les variations de toutes les arbitraires se trouveront exprimées par des formules qui ne contiennent qu’un seul terme , ce qui contribue à les simplifier. Si le corps tournait rigoureusement autour de son troisième axe principal , le plan principal de projection coïnciderait avec son équateur; les deux dernières formules précédentes suffiraient donc pour déterminer dans ce cas les mouvemens de ce plan. C’est ce qui a lieu , comme on le verra , relativement à la Terre.

Enfin, si l’on suppose

loi

p=.l&xiay . sina, on trouvera

q = tang . cos a,

rfV