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et par suite

dm *1 * dp P dq ’

(TV sin* d\ cos«

dy cos*^ " dp cos“ y

dt dV

P t da *

t.cosfy ' dq

dt dV

dV 1 dq*

biî»Gon ri! :

t. cos ’ y dp *

formules qu’il est avantageux de substituer aux deux dernières équations (Q) , lorsque y est un très petit

angle.

10. Il nous suffira maintenant de développer chacune des formules (P), pour en voir résulter tous les phénomènes que cause, dans le mouvement de rotation des planètes , l’action des forces perturbatrices ; mais comme la situation initiale du corps , sa figure et ses dimensions ont sur ce mouvement la plus grande influence, il serait inutile d’examiner d’une manière générale ces formules , comme nous l’avons fait dans le problème de la translation des corps célestes , et nous déterminerons séparément les inégalités du mouvement de rotation de la Terre et de la Luné, qui sont les seules planètes pour lesquelles l’elat de l’Astronomie ait permis jusqu’ici de comparer sur ce point la théorie à l’observation. Cependant, parmi les arbitraires du mouvement de rotation, il en est une dont la variation donne lieu à des remarques importantes c'est celle qui entre dans l’équation des forces : vives nous allons par cette raison la considérer ici en particulier, n La- première des formules (P) donne, pour déterminer la variation de la constante h , l’équation

dli — 3.^ . dt.

On peut faire prendre à cette expression une autre forme. En effet, l étant la constante qui est jointe au temps t dans les expressions finies des variables <p,

0, il est clair que si l’on regarde Y comme une fonction donnée de ces variables , on aura

dl '

dV : dt :

dV dtp j dV dj> | dV dl ' chp' dt + df dt + da'üi'

par conséquent

dh = + ï*^)

ou bien simplement

dh=2.crY, (l)'

Tüiiii(

en désignant par la caractéristique d', la différentielle de Y prise en y faisant varier lé temps t introduit par la substitution des valeurs des coordonnées <p, 4> 0 du corps dont on considère la rotation, et en regardant comme constant celui que cette fonction peut contenir à raison du mouvement des astres v.attirans. '.a.-; : i;.i< q ; > sfu

On doit observer d’abord que cette formule peut s’obtenir directement et indépendamment de celles qui déterminent les variations des autres constantes; elle résulte immédiatement, en effet, de la quatrième des équations (d), différenciée par rapport aux variables et aux constantes qu’elle renferme, pour avoir égard aux forces perturbatrices, en observant qu’on a , n° 4 ,

kpdp -f- B qdq -f- C rdr = d'\ .

La même remarque s’applique au mouvement de translation , et en général au mouvement d’un système de corps, quelle que soit leur liaison entre eux, puisque l’équation des forces vives a lieu dans toute espèce de système qui n’est sollicité que par l’action mutuelle de ses différentes parties et par des forces dirigées vers des centres fixes. Nous allons maintenant

DU SYSTÈME. DU MONDE. ,g3

démontrer une propriété importante qui résulte de la formule ( k ), et qui consiste en ce que la constante h , devenue variable par l’action des forces perturbatrices, ne peut contenir le temps t que sous la forme périodique, lorsque la fonction perturbatrice V ne le contient que sous cette forme.

En effet, lorsqu’on n’a égard qu’à la première puissance des forces perturbatrices, ce qui permet de regarder comme constantes les arbitraires qui entrent dans V, si cette fonction ne contient le temps que sous les signes sinus ou cosinus, il est clair qnb la différenciation relative à t fera disparaître tous les termes indépendans du temps , ou qui le contiendraient simplement à raison du mouvement des astres attirans ; et par conséquent, l’intégration ne pourra donner, dans la valeur de h, aucun terme non périodique ou de la forme N t qui croisse avec Je temps t. , ' ; ’ - .

Il existe cependant une circonstance où ce résuli tat cesserait d’avoif lieu et qu’il est important d’examiner, parce que le système planétaire en ofTre un exemple. Pour cela,) supposons la fonction V développée en série dont les diôérens termes soient de cette forme ,

H et K étant des fonctions des arbitraires h k etc. • l’angle nt étant le moyen mouvement de rotation du sphéroïde autour de son centre de gravité et l’angle

n'tle moyen mouvement de l’astre attirâut, t et i' des Tome II.

t94 THÉORIE ANALYTIQUE

nombres entiers quelconques. Il est aisé de voir que ce ternie produira, dans dh, le suivant

aH u in . (int J— i'n't K) ; : . .

srn v ' '

et en l’intégrant, il en résultera un terme périodique dans A, à moins que l’on n’ait int— i!rit~o , ce gui exige que les coefficiens n et n soient commensurables entre eux. Or , ce cas particulier a lieu; dans 4e mouvement de rotation de^ la Lune, altéré par i’action de la Terre. Le moyen: mouvement de rotation de la Lune est exactement égal à son moyen mouvement de révolution autour de la Terre ,■ et ce rapport singulier produit, comme on le verra, le phénomène de sa libration.

1 1 . Démontrons que le résultat précédent subsiste encore dans la seconde approximation , où l’on tient compte des termes dépendans du carré des forces perturbatrices En effet, pour avoir égard à ces termes, il faut à la place des constantes h , k, l, g , y', a., substituer ces arbitraires augmentées de leurs variations déterminées par l’intégration des formules (P); .on aura ainsi

dV .. , dV , dV . , , d\ . , dV . , dV . ^V= dhM+ 1iM+ T*-**’

et , en ne considérant que les termes de l’ordre du carré des forces perturbatrices > , .. ;*; ..

• >,li /BTjj ‘jb ‘

Substituons, d^ftsTexpression précédente de «TV, pour

Cl • J! .

DU SYSTÈME DU MONDE. tg5

Jh, Jl, Jh, etc., leurs valeurs, on aura

1 Asm y \ay J ag * dg J dy J

Pour avoir la différentielle d' . JY, il faut différencier cette expression par rapport au temps t contenu dans les valeurs de tp -f - cf<p, 4 + <^4 r 6 + c^ô» c’çst-à-direqu’il faut, i°. différencier totalement les quantités renfermées sous les signes intégrales, ce qui revient à efïàcer les signes f, et alors cette expression seréduità zéro ; 20. différencier seulement par rapport au temps t contenu dans les valeurs des variables <p , 4> les quantités hors du signe f. L’expression de JY est composée de termes de la forme

; . , V AfBdt.— Bf A-fU, : - ,

A et B pouvant,- par l'hypothèse, se développer eii une suite dé termes de la -ferme Hsm\; (il -j- ft K) ,

dans-lesquels ^ iK.sont, des fonctions des constantes hf k, l, etc. , et ft des angles qui ^roviénïr nent des mouvemens des astres attirons. Soit donc U . cos (ft -f- mt -f- K), «n terme quelconque de A, et soit H'cos(/t -j- mt 54? K') .le terme correspondant de B qui a le même argument, il faudra que l’on combine ensemble ces deux termes pour avoir dans d’ . (A .J Bdl — B .fkdt) des quantités non périodiques.

ig6 THÉORIE ANALYTIQUE

Or , on trouve ainsi

B./Ad*) =

— X C-sin(/<+mf+K) , sin (/ É-f/nt-f K”)

quantité qui se réduit à zéro.

Il suit de là , par conséquent , que si l’expression de V est périodique, la valeur de cT/j ne contiendra que des termes semblables, du moins tant qu’on n’aura égard, dans les approximations, qu’aux premières et secondes puissances des forces perturbatrices.

On voit que le résultat auquel nous sommes parvenus dans le chapitre VIII, livre II, sur l’invariabilité des giands axes des orbites planétaires, n’était qu’un cas particulier d’une propriété générale dont jouit la variation de là constante arbitraire qui entre dans l’équation des forces vives.

Dans le mouvement de rotation, h représente la force vive du corps en mouvement, et l’on a /

fyr • > \ - Ap* -f- B q% -j- C i* = h.

tes trois quantités p , q, r, sont les vitesses de rotation du corps autour des trois axes principaux qui se croisent à son centre de gravité, en sorte que si l’on nomme f la vitesse du corps autour de son axe instantané de rotation et a, b, c lès angles qu’il forme avec les trois premiers axes , on a , ,;r\ «lut f. - = - /> / W Of M

pz=zf.CQ$a, qz=f.cosb, r===/.co&c? / ,

,,ci

DU SYSTÈME Dü MONDE, l’équation des forces vives deviendra donc ainsi

p* . (A cos* a + B cos* b -f- C cos* c) s= h.

Le second membre de cette équation ne contenant aucun terme croissant, comme le temps t, le premier ne peut renfermer non plus aucun terme pareil , et comme tous les termes du premier membre sont de même signe, il s’ensuit que chacun d’eux n’est composé que de termes périodiques.

On peut conclure de là que la vitesse de rotation et la position de l’axe instantané ne sauraient être affectées d’aucune inégalité croissant comme le temps , et que l’action des forces perturbatrices ne peut y causer que des altérations alternatives dont la période dépendant du mouvement du sphéroïde autour de son centre de gravité, ou de celui des astres attirans dans leur orbite, sera toujours assez courte.

Il faut remarquer ici que nous n’avons pas eu égard, dans la valeur de V, aux termes qui proviennent de la variation des élémens des orbites des astres attirans; il faut donc restreindre, en ce sens, la généralité des résultats précédens.

Après ces résultats généraux, applicables à tous les. corps du système solaire , nous allons examiner en particulier les mouvemens de rotation de la Terre et de la Lune. On verra qu’ils présentent tous deux des phénomènes extrêmement imporlans qui , quoique très différens, peuvent se déduire directement des formules que nous venons de développer.