CHAPITRE II

Du mouvement de la Terre autour de son centre de

gravité.

12. Hipparque parait être le premier, parmi les astronomes, qui ait remarqué que les étoiles ne sont pas fixes, relativement à nous, et que leur position rapportée au plan de l’équateur varie dans les différens siècles. En comparant ses propres observations à celles de Tymocharis, faites i55 ans auparavant, il s’aperçut que, dans ce mouvement, leur hauteur au-dessus du plan de l’écliptique restait la même, en sorte que leurs latitudes n’étaient point altérées, tandis que leurs longitudes, rapportées à l’équinoxe, augmentaient chaque année d’une quantité à peu près constante pour toutes les étoiles. Il conclut de là que la sphère céleste a un mouvement autour des pôles de l’écliptique, d’où- résultent les changemens observés dans les ascensions droites et les déclinaisons des étoiles, et l’invariabilité de leurs distances à ce plan, comme l’observation l’indique. Copernic, occupé toute sa vie à substituer aux mouYemens apparens des astres , leurs mouvemens réels et à redresser des erreurs nées des illusions de nos sens et d’un sentiment exagéré de notre importance, reconnut que les mêmes

Dü SYSTÈME DU MONDE. 199

phénomèmes pouvaient s’expliquer en supposant aux pôles de la Terre un mouvement circulaire de rotation autour des pôles de l’écliptique. Pendant ce mouvement, l’inclinaison de l’équateur à l’écliptique reste la même, mais ses nœuds, ou les équinoxes, rétrogradent uniformément de 5o" environ par an , d’où résulte par conséquent un accroissement égal des longitudes des étoiles rapportées à ces points. C’est en cela que consiste lé phénomène désigné sous nom de la précession des équinoxes.

L’hypothèse de Copernic suffirait donc pour expliquer de la manière la plus simple les variations observées par Hipparque dans la position des étoiles , et confirmées par tous les astronomes qui sont venus après lui. Mais les rapides progrès de l’Astronomie depuis l’inveution des lunettes firent bientôt découvrir de nouveaux phénomènes dans ces variations; il fallut , pour les expliquer, supposer divers mouvcmens à l’axe de la Terre, et c’est ainsi que Bradley fut conduit à la connaissance de leurs véritables lois.

Ce grand astronome , par la précision de ses obser- , vations, reconnut dans la position des étoiles une variation annuelle qu’il suivit pendant une période de dix-huit années , après laquelle elles lui semblèrent revenir à la même position. La coïncideuce de cette période avec celle du mouvement des nœuds de la Lune ïui fit penser que l’axe de la Terre avait, par rapport aux étoiles, un mouvement périodique dépendant de la longitude de ces nœuds ; et pour représenter en conséquence le vrai mouvement de

aoo THÉORIE ANALYTIQUE .

l’axe terrestre, il suppose que l'extrémité de cet axe prolongé jusqu’au ciel, se meut sur la circonférence d’uue petite ellipse tangente à la sphère céleste, et dont le centre, qu’on peut regarder comme

le lieu moyeu du pùle de l’équateur, est situé sur un petit cercle de la sphère parallèle à l’écliptique , et décrit annuellement d’un mouvement uniforme un arc de 63" sur ce cercle. L’observation fait connaître les dimensions de cette ellipse, et les lois du mouvement du pôle sur sa circonférence , d’où résulte dans l’axe terrestre cette espèce de balancement qu’on a nommée sa nutation.

Ainsi , l’observation devança, sur ce point , la théorie, et tous les phénomènes qui dépendent des déplacemens de l’axe delà Terre étaient parfaitement connus avant qu’on cul tenté d’en approfondir les causes. Képler avait avoué l’inutilité de scs recherches à cet égard, et c’est à Newton qu’il était réservé de nous montrer comment ils se lient, par la loi delà pesanteur universelle, aux autres phénomènes du mouvement des corps célestes, avec lesquels, jusque là, ils ne semblaient avoir aucun rapport. 11 fit plus, il essaya d’en déterminer les lois par la théorie. Considérant la Terre comme Un sphéroïde renflé à son équateur, il la suppose composée d’uue sphère dont le diamètre est l’axe des pôles , et de l’excès du sphéroïde terrestre sur cette sphère disposé sous la forme d’un anneau autour de son équateur. Il regarde ensuite chaque molécule de cet anneau comme un astre adhérent à la Terre et qui fait sa révolution autour d'elle oq vingt-quatre heures, et de là il couclut que l’aç-.

aoi

tion du Soleil sur chacun de ces astres , et par conséquent sur l’anneau entier , devait produire le même effet que celui qu’il produit sur la Lune , et faire rétrograder les nœuds de son orbite sur le plan de l’écliptique. Le mouvement rétrograde se communique à la Terre entière, à cause de l’adhérence de l’anneau à la sphère qu’il entoure, et il s’ensuit que l’intersection de l’équateur terrestre et de l’écliptique , ou la ligne des équinoxes, doit avoir, par l’action du Soleil, un mouvement rétrograde comme les observations l’indiquent; mais, quelque ingénieux que soit cet aperçu, il y avait encore loin de là à une théorie approfondie et complète des lois du mouvement de l’axe terrestre. Newton lui-même se trompa en voulant les en déduire par des considérations purement rationnelles, et l’analyse, ce puissant auxiliaire de l’esprit humain, pouvait seule montrer,dans cette question délicate, l’accord parfait de la théorie et de l’observation ; mais il fallait auparavant en reculer les limites. D’Alembert eut la gloire d’y réussir, et la solution qu’il donna le premier du problème de la pré-, cession des équinoxes doit être regardée comme une des plus belles conceptions de son génie inventif, si l’on considère l’insuffisance des moyens qu’offraient alors pour cet objet l’Analyse et la Mécanique.

D’Alembert explique par la théorie les divers mouvemens de l’axe terrestre, par rapport aux étoiles, et montre que la nutation observée par Bradley en est une conséquence immédiate. Il détermine le rapport exact des deux axes de la petite ellipse que décrit le pôle, et la loi de sou mouvement sur son el-

2oa THÉORIE ANALYTIQUE

lipse. En comparant ensuite ses expressions de la nutation et de la précession aux observations, il en conclut le rapport de la masse de la Lune à celle du Soleil; mais il observe, en même temps, qu’il suffirait d’un très petit changement dans ce rapport , pour altérer considérablement les lois de ces phénomènes. Enfin , il donne, d’après le§ mêmes expressions, la loi de décroissement de densité des couches de la Terre el détermine son ellipticité.

Tels sont les principaux résultats de la théorie établie par d’Alembert. L’Analyse , en se perfectionnant, a depuis permis de la présenter d’une manière plus simple et de l'étendre à des points qui n’avaient point été abordés par ce géomètre.

Le premier de tous, par son importance , est la détermination des mouvemens de l’axe instantané de rotation de la Terre dans l’intérieur du globe. Cette question , comme il est aisé de le concevoir , est pour le moins aussi intéressante pour nous que celle qui a pour but de déterminer les mouvemens de cet axe, par rapport aux étoiles , la seule dont d’Alembert se soit occupé. En effet, si l’axe de rotation variait dans l’intérieur de la Terre, chacun de ces mouvemens déplacerait son équateur, et toutes les latitudes géographiques en seraient, à la longue, sensiblement altérées ; il y a plus,’ les mers, troublées dans leur équilibre, suivraient les mouvemens de l’équateur , et descendant vers la partie de la Terre qui s’est abaissée sous elles, laisseraient dans la partie opposée de nouvelles régions à découvert. Les observations, il est vrai, montrent bien que l’axe terrestre n’est soumis à au-

Dü SYSTÈME DU MONDE. ao3

cune variation sensible dans l’intervalle d’un jour et même de plusieurs années ; mais s’il était sujet à quelque inégalité à longue période du genre de celles que nous avons nommées inégalités séculaires, les observations astronomiques, qui ne comprennent encore qu’un assez coui't intervalle de temps, ne suffiraient pas pour rassurer sur les conséquences de ces variations , et ne sauraient rien nous apprendre sur leur marche. C’est donc à la théorie seule qu’il -était réservé d’éclairer cette grande question , et M. Poisson est le premier qui l’ait traitée avec tout le soin que sou importance exigeait.

Il a montré, par une savante analyse, que l’action du Soleil et de la Lune n’introduisait dans l’expression des variables qui fixent la position de l’axe terrestre dans l’intérieur du globe , aucune inégalité à longue période que la suite des siècles puisse rendre sensible , même lorsqu’on a égard à la seconde puissance des forces perturbatrices. 11 en est de même de l’expression de la vitesse de rotation de la Terre autour de cet axe. Il en résulte que cette vitesse est constante , et que les pôles de rotation et l’équateur terrestre sont inaltérables à la surface de la Terre.

Nous confirmerons , d’une manière nouvelle , ces deux résultats importans; nous examinerons ensuite les mouvémens de l’axe terrestre par rapport aux étoiles, et nous déduirons des formules exposées dans le chapitre précédent , les équations très simples d’où dépendent les lois de sa nutation et de la pvécession des équinoxes.

La durée de l’année , qui se mesure par le retour

ao f THÉORIE ANALYTIQUE

du Soleil au même équinoxe ou au même tropique, serait constante si le mouvement des équinoxes était uniforme, mais ses inégalités doivent le faire varier dans les difTérens siècles. Cette longueur est plus courte lorsque le mouvement s’accélère ; c’est ce qui arrive actuellement, et la durée de l’année tropique est de nos jours moindre d’environ io" qu’au temps d’IIipparque. La même cause, jointe aux variations de l’obliquité de l’écliptique et de la précession des equinoxes, introduit des inégalités dans la durée du jour moyen solaire, et leur détermination serait importante si elles pouvaient devenir sensibles, parce que toutes les tables astronomiques étant calculées dans l’hypothèse d’un jour moyen constant , les longitudes et les latitudes qu’on en déduirait ne s’accorderaient bientôt plus avec celles qui résultent de l’observation directe. Il était donc important de s’assurer par la théorie de l’invariabilité du jour.moyen solaire, et nous verrons, en effet, que ces inégalités ne s’élevant pas à quelques secondes en plusieurs millions de siècles, leur considération est à peu près inutile aux astronomes.

Enfin, pour compléter l’exposition analytique des phénomènes de la précession et de la nutation , nous réduirons en nombres les formules qui les déterminent , en employant les données les plus exactes q ue nous ayons sur les masses des planètes , et nous les comparerons ensuite à quelques observations anciennes, qui , par leur accord avec les résultats de Ces formules , montreront la précision de la théorie.

Les phénomènes de. la précession et de la nuta-

tion dépendant de la figure et de la constitution du sphéroïde terrestre , il en résulte qu’on peut, au moyen de l’observation de ces phénomènes , établir le rapport qui doit exister entre les lois de la densité et de l’ellipticité des couches de la Terre. On verra que l’ellipticité qui en résulte s’accorde très bien avec celle qu’on a conclue des observations du pendule à differentes latitpdes et des autres phénomènes qui en dépendent. Les lois de la précession indiquent de|plus une diminution dans la densité des couches du sphéroïde terrestre , en allant du centre à la surface; résultat qui s’accorde avec les expériences de Cavendish , sur l’attraction des montagnes, et avec les principes de l’hydrostatique qui exigent que si la Terre est supposée avoir été originairement fluide, les parties les plus denses soient en même temps les plus rapprochées de son centre. L’admirable concordance de tous ces phénomènes si étrangers l’un à l’autre , montre évidemment qu’ils ont tous pour principe la même cause, etl’on doit la regarder comme la preuve la plus irrécusable de la loi de la pesanteur universelle.

i3. Pour traiter dans toute sa généralité la question du mouvement de la Terre autour de son centre de gravité , nous supposerons d’abord qu’aucune force accélératrice ne trouble le mouvement de rotation résultant de l’impulsion primitive qu’elle a reçue, et nous verrons quelles ont du être, dans ce cas, les circonstances initiales du mouvement, pour que les résultats de la théorie s’accordent avec les phénomènes observés. Nous considérerons ensuite l’action pertur-

batrice du Sbleil' et de la Lune , et nous déterminerons les altérations qu’elle doit produire dans les mouvemens de l’axe de rotation de la Terre, soit dans l’intérieur du sphéroïde, soit relativement aux étoiles.

Les intégrales (cl), n° 5, s’appliquent évidemment au cas que nous allons considérer, et les résultats qui s’y rapportent pourraient sien tirer directement; mais il est plus simple de les déduire des équations différentielles dont ces intégrales dérivent. Reprenons donc les trois équations (A) ; en faisant abstraction des forces perturbatrices, c’est-à-dire en regardant comme nuis leurs seconds membres, on aura

Adp 4- (C — B).çr.dt = o, )

B dcj -f- (A — C ).rp.dl = o, r (a)

Cdr -f-(B — •&).?(] .dt = o. '

L’axe instantané de rotation de la Terre s’éloignant toujours très peu de son troisième axe principal , comme les observations l’indiquent , /? et <7 sont de très petites quantités dont on peut, sans erreur sensible, négliger le produit dans la dernière des équations précédentes , ce qui d’ailleurs est d’autant plus permis , que la figure de la Terre étant à très peu près celle d’un sphéroïde de révolution, la différence B — A des deux momens d’inertie B et A est aussi une fort petite quantité. Cette équation se réduit ainsi à dr— o, d'où l’on tire r—n, n étant une constante qui représente ra vitesse moyenne angulaire de rotation de la Terre autour de son troisième axe principal. Si l’on substitue cette valeur dans les

Dü SYSTÈME DU MONDE, deux premières équations (a) , on aura

Adp+(C — B) .nq.dt—o, Bc?<7-{-(A. — C) .np.dt—o.

On satisfait à ces deux- équations, n° 34» livre Ier, en prenant

p = K..sin g) , q = fK.cos(ra'f -f-g) ,

K et « étant deux constantes arbitraires , et n' et i deux quantités données par les équations

AB

Déterminons les mouvemens de l’axe de rotation dans l’espace. La seconde des équations (a) du n° i, donne

dè

— = q sm <p — p cos <p.

Si l’on néglige, comme nous le faisons , les quantités très petites du second ordre , par rapport à p et à qi il suffira de substituer pour <p, dans cette équation, sa valeur indépendante de ces quantités. La première des équations (a) donne, dans ce cas, dtp = ndl , et par conséquent (p = nt~j- l, l étant une constante arbitraire. L’équation précédente , en y mettant pour p et q leurs valeurs, deviendra donc ..n

dt 2

sin -f — 1 ■ . sin(nt—Ti' A«) ;

d’où l’on tiré, en intégrant,

A+R;(l'~4j • cos(rti+n'/-f /+i)— ^^l.cos(nt-n' t+l-tl ,

h étant une constante arbitraire.

Il suit de celte analyse , que si la constante K avait une valeur sensible, les pôles feraient à la surface de la Terre des oscillations d’une étendue arbitraire, dont la période dépendrait des momens d’inertie du sphéroïde terrestre, et serait, d’après les données que l’on a sur les valeurs de A , B , C , d’environ deux années. L’angle 0 changerait aussi de valeur durant cet espace de temps ; il aurait de plus des inégalités dépendantes de l’angle nt, c’est-à-dire qu’il varierait même dans le court intervalle d’une journée : or , les observations les plus précises n’ayant jamais fait apercevoir dans la hauteur du pôle aucune variation de ce genre , il en faut conclure que K est insensible, et que, par conséquent, on peut supposer que les oscillations de l’axe terrestre qui dépendent de l’état initial du mouvement sont depuis long-temps anéanties, et qu’il ne subsiste maintenant que celles qui ont une cause permanente.

i4; Comme les valeurs que nous avons trouvées, n# 34, livre Ier, pour p et q, ne sont qu’approchées , il pourrait rester quelque doute sur l’exactitude du résultat précédent ; mais il est facile de la démontrer d’une manière tout-à-fait rigoureuse par les considérations suivantes. En intégrant directement les équations

(ah* nous, avons obtenu, n° 35, livre Ier, ces deux in- V /* £ tegrales y

A p'-\- B q' 4-Cr*= h , < A y 4- B Y + C V ss k*.

DU SYSTÈME DU MONDE. aog

Si, après avoir multiplié la première par C, on la retranche de la seconde , on aura

en représentant, pour abréger, par D* la quantité constante CA — k%.

On voit, par cette équation , que si les valeurs de p et q sont supposées très petites à un instant quelconque , la constante du second membre sera aussi très petite; les quantités p et q demeureront donc toujours peu considérables, puisque chacune d’elles sera moindre que la constante D. Par conséquent, si ces quantités n’ont que des valeurs inappréciables, comme cela a lieu à l’époque où' nous sommes, où peut être assuré qu’elles resteront éternellement insensibles; on aura, dans tous les temps,

P y' A .(C — A) * V V/BÎ(C — Bj ’ '

et l’axe de rotation de la Terre coïncidera toujours à très peu près avec son troisième axe principal.

Ce résultat suppose tous les termes du premier membre de l’équation (/n) de même signe, ce qui exige que C soit le plus grand ou le plus .petit des momens d’inertie relatifs aux axes principaux qui se croisent au centre de gravité du corps. C’est, en effet, ce qui a lieu pour la Terre , sa figure étant celle d’un sphéroïde aplati vers ses pôles, l’axe autour duquel elle semble tourner, à très peu près, est le plus pé'lit de ses trois axes principaux, et par conséquent celui auquel se rapporte le plus grand moment d’iner- Tome II. . t

2lo THÉORIE ANALYTIQUE

tie. Dans le cas contraire, on ne pourrait rien conclure de l’équation (m) relativement aux quantités p et q ; mais on voit aussi qu’alors les sinus et cosinus que renferment les valeurs de p et q se changent en exponentielles; elles pourraient donc croître indéfiniment avec le temps, et l’équilibre du globe terrestre en serait à la longue entièrement bouleversé.

Nous n’aurons donc plus à nous occuper désormais que de l’action des forces perturbatrices sur le sphéroïde terrestre : nous examinerons dans les chapitres suivans leur influence sur les déplacemens des pôles à la surface de la Terre, sur les variations de sa vitesse de rotation, et enfin sur les mouvemens de ses axes principaux autour du centre de gravité. Ces différentes questions renferment des résultats extrêmement importans pour la théorie du système du monde. Des deux premières dépendent la permanence des latitudes géographiques; l’inv?riabilité du jour sidéral , cette donnée si précieuse pour tous les calculs astronomiques ; enfin , la stabilité même de l’univers. La dernière comprend tous les phénomènes relatifs aux mouvemens de l’équateur, par rapport aux étoiles, c’est-à-dire la précession des équinoxes et la nutation de l’axe de rotation de la Terre. On verra la solution de ces questions, qui avait exigé jusqu’ici tous les efforts de l’analyse la plus compliquée , résulter de la manière la plus simple et la plus complète des formules générales que nous avons développées dans le chapitre précédent ; ces formules, comme nous l’avons dit, s’appliquent également au mouvement de la Lune troublé par l’ac-

DU SYSTÈME DU MONDE. ai i

tion de la Terre ; mais les conséquences que nous allons en tirer ne doivent pas s’étendre à cet astre , à cause du rapport commensurable qui existe entre le moyen mouvement de rotafcion de la Lune et le moyen mouvement du centre de la force perturbatrice. ......

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