Reprenons maintenant l’équation (rn) à laquelle

nous sommes parvenus n° 14, savoir :

A . (A — C) .p» + £ . (B — C) . = fr — CA. O)

Cette équation étant une intégrale première des équations (a) , doit encore subsister dans le. cas où l’on a égard aux forces perturbatrices. Si on la différencie en y traitant h et k comme variables , on aura >' — - ■; i.-

A. (A — C),ptf/H-B.(B — C ) .qdq=kdk — £.C dh.

Pour abréger, faisons l% — Ch = 2K; en différenciant et en substituant pour dk et dh leurs valeurs, on aura

dKz=(k. ^ — C.d'Vydt. („)

Si l’on néglige les quantités du second ordre par rapport aux forces perturbatrices, et qu’on regarde V comme une fonction donnée des variables <p, 4, , 0, il suffira, dans l’équation précédente, de substituer dans V, qui est déjà du premier ordre, pour <p, -sjx , 0 , leurs valeurs indépendantes des forces perturbatrices; on pourra donc mettre <p, — a la place de <p, et et et y à la place de 4 et de 0. Or, on voit, d’après les valeurs de <p, et de 4/ données n° 55, livre Ier, que la différence <p/ — 4/ est égale à la constante g augmentée d’une certaine fonction de pf q , r, h, k\ et comme les valeurs de p, <7, r ne renferment aucune des trois constantes a, y, g> il s'ensuit qu’on aura

dv __ rfV dV dV dV dV

dg dtp * dot d^fs ’ tîy di *

DU SYSTÈME DU MONDE. ai5

D’ailleurs , en négligeant les forces perturbatrices , on a <p == nt -f- g ; par conséquent ,

dV dV

Quant à la constante k qui multiplie une quantité du premier ordre dans l’équation («), nous remarquerons que si l’on néglige les quantités de cet ordre, p et cj sont nulles , et l’on a r — n ; l’équation k * = A *p* -f- B*<y* -f- C*r* donne donc , dans ce cas , k = C». L’équation («) deviendra , par la substitution de ces valeurs,

dK — C.^-.ndt — C.d'Y = o.

nat

En observant que dY désigne la différentielle de V prise en ne faisant varier que le temps t introduit par la substitution de la valeur de <p , c’est-à-dire qu’autant qu’il est multiplié par la constante n.

La quantité K est donc constante , tant qu’on n’a égard qu’à la première puissance des forces perturbatrices ; voyons maintenant ce que devient la variation dK, lorsqu’on considère le carré de ces forces. Dans ce cas , il faut , dans l’équation (n) , substituer Cn -j~ Jk a la place de k, et Y -}- JY à la place de V , Sk désignant une quantité du premier ordre et J'Y une quantité du second j on aura ainsi , en négligeant les quantités du troisième ordre,

dK = S‘k.'^.dt + Cn.~,~.dt — C.d\J'V.

dg dg •

ai6 THÉORIE ANALYTIQUE

Nous avons trouvé, na 1 1 , en négligeant les quantités d’un ordre supérieur au second,

dV ,, , dV , rfV , dV . , rfV . . dV .

= Th ■ ' Sh + ~di - *' 1 + Tk • ' n + dè • + ~dy ■' **• ■

Dans les différences partielles de V, on peut substituer ni -f» é à la place de <p , et regarder -vJ. et 0 comme constans; il faut aussi avoir soin , en prenant la différence partielle de J V par rapport a g, de ne point faire varier la quantité g introduite par la substitution des valeurs de Sh, SI, etc. Si l’on différencie de

cette manière , et si 1 on observe que ^ , on

aura évidemment

d.w rf.«rv i v «.T

dg udt n

dV

L’éqûation (n), en remarquant que d.Skz=~^.dtf donnera donc simplement

dK = Sk.d.Sk,

d’où, en intégrant, l’on lire

K = i . Sk\

La quantité K sera donc toujours une quantité du second ordre. L'équation ( m ), en y substituant cette valeur, devient

Il en résulte que quelques variations qu’éprouvent dans la suite des siècles les valeurs de p et de q , ces

quantités resteront toujours du même ordre que cfA, c’est-à-dire de l’ordre des forces perturbatrices, et par conséquent insensibles.

Nous avons prouvé, d’une manière générale , dans le n° 1 x , que les inégalités séculaii’es que renferment les valeurs de p et q sont de l’ordre des forces perturbatrices; nous voyons ici que dans le cas particulier où l’on considère le mouvement de rotation de la Terre, toutes les inégalités périodiques que ces quantités contiennent sont aussi du même ordre, d’où l’on doit généralement conclure qu’elles ne peuvent être sujettes à aucune espèce d’inégalités qu’un long intervalle de temps puisse rendre sensibles.

• 17. Nous n’avons, il est vi’ai, considéré dans la va-

leur de dk que les termes dépendans du carré des forces perturbatrices; mais il est aisé d’étendre la même analyse , et les conséquences que nous en avons tirées, à toutes les approximations suivantes. En effet , désignons en général par J', Y les termes de la valeur de Y qui sont de l’ordre i -f- 1 , par rapport aux foi’ces perturbatrices; par A les ternies du même ordre de la valeur de k, en sorte qu’on ait

d.fi+tk = ±4^.dt.

dâ

L’équation («), en ne considérant que les termes de l’ordre 1- f-i, donnera J i- v

dK = Cn . . dt — C . <r . K V

dg

•j- J" ,£ . d . ih .d, -4- k . d ,

”f- f .d.i i+,ki

Il est aisé de prouver, comme nous l’avons fait n° 16, que l’on a , généralement, quel que soit i,

Cn.^l-.dt = C.d'.W.

dg

L’équation précédente, en vertu de cette relation, donnera donc, en l’intégrant ,

K = ÇJ' tk . eT £ Jt . d| , Ar . . . . -j— a .

On voit que tous les termes du second membre sont de l’ordre i+i , que par conséquent la valeur de K n’augmente pas par l’intégration, et quelle reste toujours du même ordre que sa différentielle.

Concluons donc que l’axe de rotation de la Terre coïncidera toujours, à très peu près, avec son troisième axe principal, et que les pôles et lequateur répondront, dans tous les temps, aux mêmes points de sa surface.

18. Considérons maintenant la vitesse de rotation de la Terre; si l’on nomme f cette vitesse, f fdt sera le nombre de degrés que décrit dans le temps t l’un quelconque des méridiens du sphéroïde terrestre; il en résulte que si f contenait un terme proportionnel au temps t, l’intégrale /fdt eu renfermerait un croissant comme le carré du temps, et la longueur du jour en serait à la longue sensiblement altérée. Il est donc extrêmement important d’examiner, avec le plus grand soin , la valeur de df, et de démontrer qu’elle ne renferme aucune inégalité séculaire susceptible de s’abaisser au premier ordre, par la double

intégration que subit cette quantité dans l’expression fdtfdf.

On a, par ce qui précède,

? = VV + f 4- r*-

Nous venons de voir que pet q n’auront jamais de valeurs appréciables; la vitesse angulaire de rotation de la Terre sera donc toujours, à très peu près, égale à r, et si elle subit quelques altérations, elles ne proviendront que des variations auxquelles cette quantité peut être assujettie. Nous allons donc examiner quelles sont les inégalités que doit contenir l’expression de r.

Reprenons , pour cela , l’équation A p* -j- B q* -f- Cr* = h.

Si l’on différencie cette équation en y faisant varier à la fois les variables et les constantes qu’elle renferme, on en tirera

A pdp -f- Bqdq -f- C rdr = 7 . dh. (p)

Si l’on néglige les quantités du second ordre par rapport aux forces perturbatrices, les différentielles dp, dq , dr étant déjà du premier ordre, on pourra, dans cette équation, supprimer les deux premiers termes, puisque p et q sont de l’ordre des forces perturbatrices ; faire r—n dans le troisième, et substituer pour dh sa valeur donnée par la formule (/). On aura ainsi

dr = ±.ê.y; (,) :