HH

r — 2C an . (»«+/). * C0S * K/ g]i

quantité du second ordre, puisque H et H' sont dù premier.

Le premier terme de la valeur de dr ne produit donc , dans la vitesse r, aucune inégalité du premier ordre indépendante de l’angle ni -f- e.

Nous avons fait voir, n° n , que tous les termes de la valeur ’de dh pouvaient être mis sous cette forme :

d'.ÇM.fNdt—N.fMdt).

Soit II cos (int -f- (£-{— un terme quelconque du développement deM, et soit H'cos(i»H”Ze-l- /’Q-f-g''), le terme du développement de N qui contient le même multiple de l’angle nt-{-£. On aura , en vertu de ces deux termes seulement ,

en rejetant l’inégalité périodique dépendante del’angle Il en résultera , dans la valeur de dr, le terme

dr= icT(sy/).(.W/-) • cost (/'-/)< + e1- - ff] •

.et en intégrant , on aura

HH't

quantité du même ordre que le produit Hll'.

Enfin, le dernier terme de la valeur de dr étant une différentielle exacte, on aura, en l’intégrant,

« AP‘ + Dg*

quantité du second ordre, puisque p et <7 sont du premier.

20. On peut conclure de ce qui précède, que si l’on néglige les quantités du second ordre , par rapport aux forces perturbatrices, l’expression de r ne contient que des inégalités périodiques dépendantes de langle nt- f-ê et de ses multiples: de sorte que si sa valeur rigoureuse renferme des termes multipliés par les sinus ou les cosinus d’angles croissant avec une grande lenteur, leurs coefficiens sont au moins du second ordre. La vitesse de rotation de la Terre n’éprouvera donc, dans la suite des temps, que des variations du même ordre , et l’on pourra toujours regarder son mouvement comme uniforme. En effet, la vitesse de rotation de la Terre autour de son axe instantané étant, n° 1, f + r% , l'intégale

V/7* + <7“ +*** ,dt exprimera le nombre de degrés décrits par la Terre dans un temps quelconque t; et si l’on développe le radical suivant les puissances de p et g , on aura

J' V P*+ 9* + r*.dt=Jrdt-{-{.

Or, les inégalités séculaires que renferme r étant toutes du second ordre , il s’ensuit quelles ne peuvent s’abaisser qu’au premier dans la valeur de l’intégrale frdt. De même, puisque les inégalités que contiennent p et q sont toutes de l’ordre des forces perturbatrices, comme nous l’avons démontré n° 16,

sj JL et — renferment des inégalités séculaires , elles

sont du second ordre et ne pourront s’abaisser qu’au

premier dans les intégrales J'^ .dt ,

Les inégalités séculaires dont peut être affecté le mouvement de rotation de la Terre sont donc toutes de l’ordre des forces perturbatrices; on peut, par conséquent, en faire abstraction sans erreur sensible, et considérer ce mouvement comme parfaitement uniforme.

2 1 . Concluons donc, enfin, que l’action du Soleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre ne produira jamais dans la 'position des pôles a sa surface, aucun déplacement appréciable, ni aucune variation sensible dans la vitesse et dans l’uniformité de son mouvement diurne de rotation ; résultats importans qui assurent à jamais la stabilité des latitudes terrestres et l’invariabilité du jour sidéral.

On verra, dans le chapitre suivant, que ces mêmes astres, qui sont impuiasans pour produire aucun dérangement dans la position de l’axe terrestre dans l’intérieur du globe, font varier au contraire, d’une manière très sensible , sa position dans l’espace, en sorte qu’il ne correspond pas , dans tous les siècles , aux mêmes points du ciel ; d’où résultent , comme

nous l’avons dit, les phénomènes de la nutation et de la précession des équinoxes. On peut se rendre raison de cette différence, en remarquant que les oscillations de l’axe instantané de rotation , par rapport au troisième axe principal de la Terre , dépendent simplement des quantités p et q , tandis que les mouvemens de ce dernier axe, par rapport aux étoiles , dépendent des angles 0 et *>J, qui résultent , comme on le voit par les équations [a) , n" i, d’une double intégration des valeurs différentielles de p et q. On conçoit donc comment ces quantités, d’abord insensibles , peuvent ensuite devenir considérables par les très petits diviseurs que l’intégration leur fait acquérir.