CHAPITRE V
Mouvemens de Taxe de rotation de la Terre dans T espace , ou nutation de Taxe terrestre et précession des équitioxes.
22. La position, par rapport au plan principal de projection, de l’axe de rotation de la Terre ou du plan qui lui est perpendiculaire , et qu’on nomme V équateur, dépend des deux angles 0, et 4/> dont l’un détermine l’inclinaison de 1 équateur sur le plan de projection qui serait invariable sans l’action des forces perturbatrices, et l’autre, la longitude de son nœud, comptée sur ce plan, à partir d’une ligne fixe; l’angle <ç, détermine la longitude du même nœud , comptée sur l’équateur. Lorsque les valeurs des angles ®/> 4» ?, sont connues, on détermine celles des angles analogues 0 , 4» ?» qui se rapportent à un plan fixe quelconque , au moyen des trois équations suivantes :
cos 0 = cos y cos 0, — sin y sin 0, cos 4/,
sin (4 — a) = sin (<p, — <p) =
sin sin 4 sin t
sin y sin sJ/ sin 6
Dü SYSTÈME DU MONDE. 227
Pour déterminer les angles 0/ et <p, , nous avons les deux équations
sin Qt cos <p, = —
sin 0, sin^srr —
Ap
d’où l’on tire
L’angle 0( est du même ordre que les déplacemens des pôles à la surface de la Terre, et si l’on fait abstraction des forces perturbatrices, on aura 0/ = o, et les trois équations ( h ) donneront
0=>> 4 = a> <pz=z<p, — 4/-
Ainsi donc, sans l’action des forces perturbatrices, l’inclinaison 0 de l’équateur sur le plan fixe serait constante, et la longitude 4 Je son nœud ne changerait pas ; mais l’attraction du Soleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre fait varier d’une manière très lente les angles 0 et 4 > et ce sont ces variations qui constituent le phénomène; de la nutation de l’axe terrestre et de la précession des équinoxes.
Dans les recherches qui ont pour objet la détermination des mouvemens de l’axe de rotation de la Terre, on a coutume de négliger les carrés et les puissances supérieures des forces perturbatrices ; il suffit, dans ce cas, de conserver dans les valeurs de 0 et de 4 les termes dépendans de la première puissance de ces forces. Or, puisque Bt est du premier ordre, on aura d’abord cos 0^=1, et ensuite, en
vertu des e'quations (o) , n° 35, livre I",
*inô/ sin 4,= *^ 6, sin (py — p)=ï sinfl, cos4/=s>nfl/ cos (p, — ç>)= —
Bÿ sin p A p cos ç> k t '
Bç cos p A p sin ^
Eu substituant ces valeurs dans les deux premières équations ( h ) , on aura
cos 0 = cos y -j — . (B q cos <p -J- Ap sin <p) ,
. , • s Bo sin tp — A p
sin (4 — a) = — V-- r -
' T ' t sin 6
cos (p
La première de ces expressions, en négligeant les quantités du second ordre, peut s’écrire ainsi.
„ / B<7 cosp -t- A p sin œ\
cos 0 = cos (y — ^ — — -J ;
on aura donc, aux quantités près de cet ordre,
- By cos <f> + A/j sin <p
, V>q sin Ç — ApcoiÇ
■vL <t -J , — : — “ .
T 1 K sin *
Nous avons vu, n° i5, que lorsqu’on néglige le carré des forces perturbatrices , on a
dX dX dX dX dX dX
du d\ |, r dy di y dg dç
Que l’on substitue ces valeurs, et qu’on fasse de plus A = Crc dans les deux dernières formules (Q) du n° g,
ou aura
cos t.dt d\ dt dV
Cn.sin# dtpu C/i.sin 6 ' dÿ’
dx=7^t-.a,
C/i.sin 0 dl *
formules qui ont sur celles du numéro cité, l’avantage d’employer la quantité V sous la forme où elle est donnée immédiatement, c’est-à-dire en fonction des variables <p , ^ , 0.
Différencions maintenant leâ expressions précédentes de 07 et de ^ , substituons pour dy et dx leurs valeurs, et faisons k = Gra dans les termes qui sont du premier ordre par rapport aux forces perturbatrices ; nous aurons
dl
cos 9. dt (TV dt d\
C/i.sin 6 dtp C/i. sin 9 ’ d-J, d.(Ap sin Ç> -t- By cos 0)
dt dV d-(Ap costp — Rgsin<p)
C/i.sinÛ'ùi C/i. sin £
a3. Ces formules serviront à déterminer les valeurs des angles 0 et qui fixent la position de l’équateur terrestre, par rapport à uti plan fixe quelconque. Elles s appliquent également à tous les corps célestes, et l’on en peut faire usage dans la théorie de la Lune. On voit quelles dérivent naturellement des formules du mouvement de rotation qui n’est troublé par l’action d’aucune force étrangère, en supposant variables les constantes que ces formules renferment, et en déterminant leurs variations conformément aux
a3o THÉORIE ANALYTIQUE
principes généraux de la variation des constantes arbitraires. On peut d’ailleurs déduire fort simplement les équations (Z) des équations différentielles (C) du mouvement troublé. En effet, si l’on multiplie la première par sin < p, et qu’on l’ajoute à la seconde multipliée par cos <p, qu’on multiplie ensuite les mêmes équations, la première par cos <p , la seconde par sin <p, et qu’on les retranche l’une de l’autre, on aura les deux équations suivantes :
Adp sin tp+'Rdq cos p-f-(A/> cos <p—\îq sin tp).rdt-\-Cr.(sm<pqdt-zosç pdt)
__ cos t.dt dV dt dv.
sind ' dç sin 0" d$’
A dp cos ç — B dq sin ç-(A p sin ç-f-By cosi p) . rde-j-Cr . (cos Çqdt-\- sin <p pdt )
dd dV \
sin 6 dt "
Si l’on néglige les carrés des forces perturbatrices, on peut supposer r = n et rdt = dtp dans ces équations, en observant, de plus, qù’en vertu des formules (a) , n* i , on a • r .
sin <p . qdt — cos tp .pdt = (Ê ,
cos (p.qdt^ûh tp.pdt =s sin <
On voit qu’elles sont identiques avec les équations (Z), auxquelles nous sommes parvenus par une analyse moins directe, mais qui nous a servi à démontrer l’invariabilité des pôles à la surface de la Terre, et qui nous sera encore utile pour réduire, daus ce cas, ces formules à une forme plus simple.
24. En effet, tous les termes des valeurs de dû etd^ sont insensibles en eux-mêmes, puisqu’ils sont de l’ordre
DU SYSTÈME DU MONDE. a3i
des. forces perturbatrices; mais il se peut que quelquesuns d’entre eux deviennent sensibles dans les valeurs de 0 et » soit Pai’ce qu’ils s’y trouveront multipliés par le temps t hors des signes sinus et cosinus , soit à cause des petits diviseurs que l’intégration leur fera acquérir. C’est donc à ces ternies seuls qu’il faut avoir égard, et l’on peut rejeter tous les autres des valeurs de r/0 et de d\. Or, il est évident que L’on doit supprimer d’abord la partie de ces valeurs qui est une différence exacte, parce que les termes qui la composent sont encore après l’intégration de l’ordre des quantités p et q , et par conséquent insensibles. Si l’on substitue ensuite, dans la fonction V, qui est du premier ordre, à la place de <p, sa valeur nt- f-e, indépendante des forces perturbatrices, il faudra rejeter des valeurs de r/0 et de r/4 tous les termes qui dépendront des sinus et des cosinus de cet angle, puisqu’il n’en résulterait daus 0 et -4 que des inégalités dépendantes du mouvement diurne de la Terre, et qui, par conséquent, seront toujours inappréciables. Supposons donc qu’on ait développé la fonction V en une série de sinus et de cosinus de l’angle <p et de ses multiples ; soit F le premier terme du développement, ou la partie indépendante de l’angle <p, on pourra substituer F à la place de V dans les expressions de r/0 et de r/4, ce qui les réduit, en supprimant en outre les différentielles exactes , à
dt dF
Crt.sin 8 ’ d\ J/ dt dF
. Cn.siu i ’ d'i
a3a THÉORIE ANALYTIQUE
Ces formules, les plus simples que l’on puisse employer pour déterminer la nutation de Taxe terrestre et la précession des équinoxes, sont dues à M. Poisson. Elles dérivent directement , comme on voit , de la discussion des formules (P) du n° 7, de sorte que les lois des mouvemens de l’axe de la Terre , soit dans l’intérieur du globe, soit par rapport aux étoiles, sont toutes contenues dans ces formules.' >b - J a5. Pour développer les équations ( m ), reprenons la valeur de Y du n° 1 , nous aurons -'if y;
y == £ L dm
* V [ (*' —xy + (y —yy + (f — Tp] *
x', y'* z' étant les coordonnées de l’astre L relatives aux trois axes principaux qui se croisent au centre de gravité de la Terre, x r y, z les coordonnées' de l’élément dm rapportées aux mêmes axes ; enfin, le signe intégral S étant relatif à la molécule dm et à' ses coordonnées, et devant s’étendré à la masse entière de la Terre.
Si dans cette expression on fait, pour abréger, x'* + + «'* = r'% x* -f- y-» -f- s* = /•*,
on aura
y __ ^ Ixdm
V/ [r'»— 2 {xJ -f y y' -f-tz') -f- /•'']'
Les distances des centres des forces perturbatrices au centre de la Terre étant fort grandes, relativement aux dimensions de cette planète, il en résulte qu’on peut réduire la fonction V en une série très conver-
DU SYSTÈME DU MONDE. a33
gente , en la développant suivant les puissances descendantes dè /*'. Si l’on observe en outre que les six intégrales S xdrn, Sjdni , S zdm, Sxjdm , Sxzdm , S yzdm sont nulles par les propriétés du centre de gravité et des axes principaux, on aura, de cette manière ,
V =^r.$.dm —
r rs
or
(«*'*. S. x‘dm -\~y% .S.y'dm-^-z'* .S.z'dm).
Nous omettons, comme on le fait ordinairement, les termes de ce développement qui dépendent du produit de trois ou d’un plus grand nombre de dimensions en x , y y z, lesquels termes sont du' même ordre que le cube et les puissances supérieures du rapport -, , c’est-à-dire de la parallaxe de l’astre L : de
r rr,\. '
sorte que , relativement aux puissances de cette parallaxe , l’approximation suivante est bornée au carré inclusivement.
Nous avons désigné par A, B, C les trois momeiis d’inertie principaux du sphéroïde terrestre respectivement relatifs aux axes des x , des^- et des z; on aura donc
S.Cy,4-z*).^n=A. , S . (x’+z1) . dm— li , S.(x1+y)-dm=C,
d’où l’on tire
S x*dm —
S. z‘dm —
S.y'dm = A+B— C
La fonction V deviendra donc, en y substituant ces valeurs ,
+ p ^'•■(B+C-A)+y.(A+C-BH-=-.(A+B-C)].
Pour introduire, dans cette expression, les angles <p , 4» 6, il faut transformer les coordonnées z! de l’astre L, en trois autres x , y , z relatives à des axes fixes. Nous prendrons, pour plan fixe des x, y, le plan de l’écliptique à une époque déterminée; l’angle 6 sera, par conséquent, l’inclinaison variable de l’équateur sur l’écliptique, l’angle 4 la longitude de l’intersection de ces deux plans, ou de la ligne mobile des équinoxes , et ç l’augle compris entre cette intersection et l’axe principal des x ; on aura, par les formules du n° 2,
a'=(x cos ■«î'-ysin ■<}')• cosp+[Xxsin4'+YCOS4')cos?-zsin$].sinp, J’'=( y si tuf-s cos 4)-S'n<P+ [(xsin^+Y cosrf) cosS-zsinJ] .cosç, i'rrÇxsinif 4~YCOS\f).sin ô+z c°s 6.
Avant de substituer ces valeurs dans l’expression de V, remarquons que le rayon vecteur r' de l’astre L doit être indépendant des angles <p , 4> 6 : ^es termes qui ne contiendront que ce rayon vecteur disparaîtront donc dans les valeurs des différences partielles de la fonction V relatives à ces angles ; on peut donc les supprimer d’avance et donner à l’expression de V cette forme
DU SYSTÈME DU MONDE. a35
V=-^.(Ax'- + B/*+C2'*)-
Si l’on élève au carré les valeurs de oc', y', z', el qu’on les substitue dans cette équation, en faisant, pour abréger,
x' = x cos 4- — y sin 4 , y' = x sin -f- y cos 4/ ,
et en observant que la relation x'% + y'* -f- s'*= r'* donne
x'*-f- (y' cos 0 — z sin 0)*=r” — (y'sîu 0+z cos 0)*, on aura
(y'cos 6-z sin 9)s] . cos 20-f-2x'.(Y'cosfl-z sin3) . sin2j]
+ ^75.CA+B— 2C). (y' sin 8-f-zcosfl)\
Si l’on rejette les termes dépendans de l’angle <p, la fonction V se change dans la fonction que nous avons désignée par F ; on aura donc simplement
F = ^5.(A-f-B — aC). (y'sîu 9 -f-zcosG)*.
En différenciant cette expression, on formera les
valeurs des quantités ^ et ~ qui entrent dans les
formules (m) ; mais pour rendre possible l’intégration de ces formules , il sera nécessaire d’exprimer les coordonnées x, y, z, de l’astre L, en fonction du temps t.
Pour cela , nommons y l’inclinaison du plan de l’orbite que décrit l’astre L dans son mouvement autour de la Terre sur le plan des xy ou sur l’écliptique fixe; soient de plus a la longitude de son nœud et t>' la longitude de son rayon vecteur comptées sur le même plan à partir de l’axe des x; eu désignant par s la latitude, on aura
x =/•' . cos v' . cos s', Y=r'.sinv'.coss', z=/'.sin/.
On a d’ailleurs tang^'=tang^.sin ($>'— a); en observant donc que y est généralement un très petit angle dont on peut négliger les puissances supérieures à la seconde, on trouvera
-rcosv'. V/ t— y‘.sin2(v'— *),
on tire de là
=/cos(«/+4). ÿ i-y>.sin,(t'1-*), y'— rsin(</4-4) V-sin^iTITj",
et au moyen de ces valeurs, on trouve
d»fl + p .ces 6 J =sin*â.sin,(»''+4H-2y-sia9.cos9.siii(v'-l-4).sin(«-,-«) -f -y' • sin*(v'-*).[cos,,fl-sin*fl.sin*(v +4)].
Si 1 on substitue cette valeur dans l’expression de b , qu ori remplace ensuite r et v par leurs valeurs reélatives au mouvement elliptique de l’astre L, et développées en séries de sinus et de cosinus des multiples de son moyen mouvement mt, il sera facile de réduire en séries semblables la valeur de F, et par suite celles
de ~ et de ~ ; les expressions différentielles dè 8 et
Y=/sin/. 1/ 1 -y\sin*(v z-=r.yMn{y~xy
4 se trouveront donc développées en une suite de termes dont chacun sera intégrable séparément.
Soient e l’excentricité de l’orbite de L, et a sa moyenne distance à la Terre; désignons par e et u> les longitudes de l’époque et du périhélie, comptées de la même origine que 4» on aura, par les formules du mouvement elliptique, n° a5, livre II ,
-= I -f-ï-e’ — e.coà(ire<-f-i — 4») — »)-f-etc.,
v'—mt -f « -f- 2e.sin(m*-|-f — *>) -f- § <?* . sîu 2(/7ii-f- « — «). ..... — j.y>.sin2(mi-(-« — «) -f-etc.
L’excentricité de l’orbite de L et son inclinaison sur l’écliptique fixe étant toujours peu considérables, e et y sont de très petites quantités ; nous négligerons en conséquence le carré de la première et le cube de la seconde, ainsi que leurs produits de trois dimensions. Nous observerons, de plus, que les termes de la valeur de V qui dépendent du mouvement de l’astre L dans son orbite , ne produisant dans les valeurs de 9 et de 4 que des inégalités périodiques qui sont nécessairement très petites, comme les observations l’indiquent, on peut n’avoir égard qu’aux plus considérables d’entre elles; en conséquence, nous ne considérerons parmi ces termes que ceux qui sont indépendans de l’excentricité e et de l’inclinaison y. Cela posé, il est facile de se convaincre qu’il suffira de faire dans l’expression de V
r'— a et v' = mt -f- g ;
on trouvera ainsi
I .(A-J-B-2C){sin’i+2y.sin0.cos0.cos(£t-I'4)+>'*-[cosa*sini*- cos5(*+4)
— sinsi.cos2(wf + i+4)}> d’où en différenciant, on lire
dj
=^.(A+B-2C). |sin9.cos9. { i -y*, [i 4-cos,(<t-H4)]-cos2('”*+ ( +4) } 4-(cos*6-iin’8).ycos(a+4)| ,
'^=-^.(A4-B-2C).{sin9.[cosS.y.sin(a+4)-sin8.sin2(mf4-i4-4)
Cly 4e* V
— î.sin0.y’.sin2(i*4-4) }.
Ces valeurs , substituées dans les équations ( m ) , en négligeant dans une première approximation les termes périodiques et ceux qui dépendent du carré
de y, et en faisant, pour abréger, ^,= m%, donneront
3m* dt /2C — A — B'
3m* dt (.
3m' dt /2C — A — B\
. 3mdt /:
d^=-JrT\
co» 9.ysin(«+4)>
!\ n e . — sin’fl / , > v I
J.l cos 6 H .ycos(«+4) J.
26. Considérons les quantités y sin ( a -f- 4 ) > y cos (a + 4) eQtrent dans ces expressions. Elles représentent, comme il est facile de le voir, les produits de l’inclinaison de l’orbite de L sur l’écliptique fixe, par lesinuset le cosinus de la longitude de son nœud, comptée sur ce plan à partir de son intersection avec l’équateur, ou de la ligne mobile des équinoxes. Si l’on développe le premier de ces produits , on a
y sin (a+4) — >s'na,cos4*4“>COSiX' sin4* (°)
DU SYSTÈME DU MONDE. 5.3g
Dans cette valeur , y sin a et y cos a sont les produits de l’inclinaison de l’orbite de L sur l’écliptique fixe, par le sinus et le cosinus de la longitude de son nœud, comptée à partir d’une ligne fixe. Ces quantités ne sont pas constantes , elles sont sujettes à des variations séculaires qu’il n’est pas permis de négliger, parce qu’elles peuvent devenir très sensibles par l’i ntégration dans les valeurs de 6 et de 4'- Or, nous avons vu, dans le n° 69 du livre II, que si l’on nomme y l’inclinaison de l’orbe d’une planète quelconque L sur un plan fixe , et a la longitude de son nœud ascendant , comptéeà partir d’une ligne fixe, le produit tang^ sin a est exprimé par un nombre fini de termes de la ' forme, B sin (bt-^Ç) et le produit tangj. cos a par la même suite de termes dans lesquels on change le sinus en cosinus. Nous représenterons la première suite par 2. B sin (£>/-{-£), et la seconde par 2.Bcos(&-f-£). En observant donc que l’inclinaison y étant supposée très petite, on peut prendre cet angle pour sa tangente, on aura
2,sina=2.Bsin(ê£-f-6), ^cosa=2 .Bcos(fo-{-£).
Ces valeurs, substituées dans l’équation (o), donnent
j'Sin(a-}-'\|-)= 2.Bsin(è£-f-'\J,-f-£),
d’où l’on voit que pour avoir y siu(a-}--4.), il suffit d’augmenter de la quantité v}/ les angles des diflférens termes de l’expression de j/sina, c’est-à-dire qu’il suffit de rapporter ces angles à la ligne mobile des équinoxes. Nous verrons que la valeur de se compose d’un terme croissant comme le temps t, et d’une
a4o THÉORIE ANALYTIQUE
suite d’inégalités à longue période du même ordre que la quantité B ; on pourra donc , si dans les valeurs de 0 et ■sp on néglige les quantités très petites de l’ordre B% substituer à l’angle dans l’expression précédente, le moyen mouvement des équinoxes. La valeur de y sin(a-f- -vJ,) sera exprimée alors par un nombre fini de termes de la forme B sin(c/-f-£), qui ne différeront des termes de l’expression de sin^ sin a, qu’en ce que les angles bt seront augmentés du moyen mouvement des équinoxes. On prouverait, de la même manière, que y cos(a.-\- sera composé de la même suite de termes, dans lesquels on changera seulement le sinus en cosinus; d’où il suit qu’on aura généralement
y sin(a — j— -vp) =: 2 . Bsin(c£ -f" £) , y cos(œ + 4) = 2 . B co s(cf + £).
Substituons ces valeurs dans les équations (»), elles deviennent
rfa =-J-{ ç j.cos<.2.Bsin(c<-f-£), 1
d*= -4n{—C ~ >|cos< + — J.)
37. On peut, dans la valeur de dô, regarder cos 0 comme constant, parce que les termes qui résulteraient de sa variation seraient des quantités de l’ordre B* que nous négligeons ; on aura donc en intégrant
Q=zh'~ f- ^ ^p-2— )-eos 8.2.^ cos (ci —j— ê) ,
h' étant une constante arbitraire. Pour la déterminer.
DU SYSTÈME DU MONDE. »4i
désignons par h l'inclinaison de l 'équateur à l’écliptique fixe, lorsque t est égal à zéro, on aura, pour cet instant
h — h ^ j.cos/i.2.— cosb.
En faisant donc pour abréger
on aura , aux quantités près de l’ordre B1 ,
0 = Æ — 2.”. [cos (cv-f- £) cos£]. (j)
Passons à l’expression de d-\,. Il n’est plus permis ici de regarder comme constant l’angle 0 qui entre dans cette différentielle, parce que ses variations peuvent devenir sensibles dans la valeur de On voit, en effet, qu’elles y produisent des termes qui sont du second ordre par rapport aux forces perturbatrices , mais seulement du premier par rapport à la quantité B. Si l’on n’a égard qu’à ces termes, et si l’on néglige, comme nous le faisons, les quantités de l’ordre B% c’est uniquement dans le premier terme de la valeur de d-\> qu’il sera nécessaire de considérer la variation de l’angle 0. Nommons donc eT0 cette variation déterminée par la première des formules ( p ), en sorte qu’on ait 0 = h -f- «f0 ; en
négligeant les quantités de l’ordre <^*0, on aura
# i- - * * l ” t “ .lt~
i ii:> i .cos 0 = cos h . (i — tang A.<f0), !
