Tome II
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24a THÉORIE ANALYTIQUE
ou bien, en mettant pour «T0 sa valeur,
cos 0 = cos • + tan g h . 2 .^.cos (et -f- £)^j.
Si dans le premier terme de l’expression de d-\>, on substitue cette valeur, et si l’on remplace par l la quantité que cette lettre représente, on trouvera
= |^/ + 2.B/.cot A.^i + ^.tang* A^.cos(c/+^)^]*^
d’où l’on tire , en intégrant ,
4=/M-J'+2.^.cot A.^i + ~.tang*ù^ .sin(c/-f-£) ,
l étant une constante arbitraire. Nous prendrons pour origine de l’angle 4 et des autres longitudes comptées sur le plan de l’écliptique fixe , lcquinoxe du printemps, à l’époque d’où l’on compte le temps, en sorte que 4 sera nu^ en mème temps que t ; on aura ainsi
o = 1' + 2.~.cot/».(i-f-^p -tang* ù^.sin 6 ,
aUutii al twuü a: .u. j .* .? yj t aouriAt
et par conséquent
4 = Z/+2.^.cot h. ( i + ^.tang1^ .[sin(cH-6)-sin£].(2)
* r] -, . . .üirî. sitwicnr.7 tjîibj tio ’Jûüu
Ces valeurs de 0 et de 4 serviront à déterminer les mouvemens de l’axe terrestre par rapport aux étoiles; jointes à la valeur <p = nt- \-e, elles fournissent toutes les données nécessaires pour fixer a chaque
instant la position de la Terre autour de son centre de gravité.
38. Il est important de remarquer que l’on serait parvenu àdes formules très différentes des précédentes, si l’on avait négligé de tenir compte, dans les valeurs de et d\ {✓ , des variations séculaires des quan-
tités yVina et y cos a. En effet, il est aisé de voir que si l’on désigne par II le moyen mouvement des équinoxes, en sorte qu’on ait
les produits de la tangente de l’inclinaison du plan de l’orbite de l’astre L sur l’écliptique fixe, par le sinus ou le cosinus de la longitude de son nœud, comptée de l’équinoxe mobile, seront dans ce cas;;
y sin £) , yCos(«-f-4)=ï:2.Bcos(&-l-ff)i.
En substituant ces valeurs dans les équations ( n ) du n° 25 , et en leur appliquant ensuite l’analyse précédente, on trouve
0 = h — 2 ,B[cos(Z<-t-^)‘i*-cos 6]
^ = It — j— 2 . B cot h [shi(/f — j— C) —
Ces formules ont été, données d’abord par Lagrange dans les Mémoires de Berlin pour l’année 1800, et on les retrouve dans plusieurs ouvrages d’Astronomie qui ont paru depuis ; on voit quelles dérivent natu- , Tellement des valeurs de 0 et de <\J,, n° a5, en supposant qu’on a égard, dans ces valeurs, à l’aplatisse- • ment de la Terre , en tant qu’il produit la précession
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moyenne It des équinoxes, mais qu’on peut négliger l’effet de cet aplatissement combiné avec le déplacement séculaire du plan de l’orbite de l’astre L. Or, cette hypothèse n’est pas suffisamment exacte, et l’on verra plus bas que les formules (q) ne peuvent servir que pendant un siècle au plus, à partir de l’époque d’où l’on compte le temps t, mais qu audelà elles donneraient des résultats fort différens des phénomènes observés.
29. Nous avons rapporté jusqu’ici les angles 0 et 4/ à un écliptique fixe ; mais pour comparer la théorie aux observations, il faut avoir les valeurs de ces angles par rapport à l’écliptique mobile, puisque c’est en effet de ce plan que nous les observons. Supposons que l’astre L, dont nous avons considéré l’action sur le sphéroïde terrestre, soit le Soleil , et considérons le triangle formé sur la surface d’une sphère décrite du centre de gravité de la Terre avec un rayon arbitraire, par l’écliptique fixe, l’équateur et le plan mobile de l’orbe solaire, ou l’écliptique vraie. Si l’on désigne par 0' l’inclinaison de l’équateur à l’écliptique vraie, les trois angles de ce triangle seront 0, y , j8o° — 0', et l’arc a -}- 4 sera le côté opposé à l’angle ,8oa — 0'; on aura donc, pour déterminer cet angle,
cos 0' = cos0 cosy — sin 0 sin y cos (a-f~4 ).
Cette équation donne, aux quantités près de l’ordre y, ô' = 0; si l’on néglige seulement les quantités de l’ordre y*, on a
COS0' =COS0 — sin 0.7 cos (a -f- 4), d’où l’on tire, en substituant pour y cos (a + 4')» sa
DU SYSTÈME Dü MONDE. *45
valeur, et en négligeant toujours les quantités du second ordre,
6' = 9 + 2. B cos (cf + 6). (3)
Désignons, dans le même triangle sphérique, par x , le côté opposé à l’angle y, nous aurons
sin x ;
sinj/ sin(«t — 4) sin a'
Nommons 4 ; la distance de l’intersection de l’équateur et de l’écliptique vraie, projetée sur l’écliptique fixe, à l’origine invariable d’où l’on compte l’angle 4 sur ce dernier plan, et considérons .le triangle sphérique rectangle dont x est l’hypoténuse, et dans lequel fl est l’angle adjacent au côté 4 — 4 » nous aurons
tang (4 — 40 — cos 9 tang x‘
La supposition de y= o donne x—o, et par conséquent 47 = 4* Si l’on substitue pour tang x sa valeur tirée de l’équation (/’), et qu’on néglige seulement les quantités de l’ordre y *, ou trouvera
tang (4 — 40 = cot 0 . y sin (et + 4) >
d’où l’on tire, en mettant pour y sin(« + 4) sa valeur et négligeant les quantités du second ordre ,
4'= 4 — cot /i 2. B sin (et +£). (4)
Nous avons représenté par y l’inclinaison de l’écliptique vraie sur l’écliptique fixe; par les équations ( k ), on a généralement
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y' = [2 . B sin {et- f- £)]* 4* [2 . B cos (c<+ £)]*.
Prenons pour plan fixe celui de l’écliptique au commencement du temps t ; y sera nul pour cette époque , puisque alors l’écliptique vraie coïncide avec l’écliptique fixe ; on aura donc
