Bsin£ = o, 2.Bcos£=o

Cela posé , si dans les équations (3) et (4) , on remplace 0 et 4 par leurs valeurs données par les formules (i) et (a), on aura, pour déterminer 0' et 4/, les deux formules suivantes :

0'=A — 2 . c\[cos(c< + &) — cos£], ]

4'=&+2.?^^.cotZi.^i-l- ^.tang‘A^[sin(cH-£y-sinë], |

les constantes h et l ayant la même signification que dans le n° 27.

“ 3o. Ces formules sont celles que nous emploierons pour déterminer les variations d’obliquité de l’écliptique vraie , et la précession des équinoxes relatives à ce plan. Pour les comparer à celles qu’on obtiendrait en négligeant l’effet de l’aplatissement de la Terre combiné avec le déplacement séculaire de l’écliptique, substituons dans les équations (3) et (4) pour 0 et 4, , leurs valeurs données par les équations (9), et nqmmons, comme précédemment, h l’obliquité 4^ l’écliptique lorsque t est nul ; nous aurons ainsi

= A-J-2,B[cos(ci-|-êj*— cos(//-f*fj], |

4'= lt — 2 . Bcot /<[sin {ct-\-£) — sin (Zt-j- £). J 's'

Ces formules s’accordent assez bien avec les precedentes , lorsque le temps t , que l’on suppose exprimer un nombre d’années tropiques, n’excède pas cent; elles donnent également en effet, en les développant par rapport à t, et en négligeant les termes de Tordre t *, pour la variation de l'obliquité de l’écliptique ,

J 6 ' = <. 2.(Z — c) JB sin £ ;

mais ces formules diffèrent beaucoup lorsque le nombre t est de plusieurs mille , parce qu’il n’est plus permis alors de négliger les termes dépendans du carré du temps.

Si la Terre était sphérique, les actions des autres corps du système n’auraient aucune influence sur les mouvemens de son axe de rotation, puisque leur résultante passerait exactement dans ce cas par son centre de gravité. Les trois momens d’inertie principaux du sphéroïde terrestre seraient alors égaux entre eux; on aurait par conséquent Z = o, ce qui donne c = b , et les valeurs de 6' et 4* se réduiraient aux suivantes :

6' = A+2.B[cos(^f-f- Ç) — cos£],

4' = — 2.Bcot/i[sin (bt-\-£)\ — sin£].

Ces équations déterminent la variation de l’obliquité de l’écliptique et la précession des équinoxes qui auraient lieu par le seul effet du déplacement de l’orbe

solaire , résultant de l’action mutuelle des différens corps du système. En les comparant aux formules (5), on voit que l’action du Soleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre change considérablement les lois de ces deux phénomènes ; mais celte différence ne devient sensible qu’après un grand nombre d’années. En effet, la valeur précédente de 0' donne, pour la variation de l’obliquité de l’écliptique , en négligeant les quantités de l’ordre t%,

ef Ô' = — t . 2 . êB sin G.

Cette valeur, en observant que l’on a — b=l — c, coïncide avec celle que nous avons tirée des formules (5) et (s). La variation séculaire de l’obliquité de l’écliptique est donc la même pour les temps voisins de lepoque, que la Terre soit supposée s’éloigner ou non de la figure sphérique; mais cette variation est fort différente dans les siècles suivans, et dans les suppositions les plus vraisemblables sur les masses des planètes , l’étendue entière de la variation de l’o- Lliquité de l’écliptique est réduite par l’action du Soleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre , à peu près au quart de la valeur qu elle aurait sans cette action.

3 1 . Nous n’avons considéré jusqu’ici que l’influence du Soleil sur les déplacemens de l’équateur terrestre ; considérons maintenant celle de la Lune. 11 est clair, d’après l’analyse précédente, que l’action de la Lune ajoutera aux valeurs de 6 et de •>]/ des termes semblables à ceux que produit l’action du Soleil ; mais une circonstance particulière au mouvement de cet

DU SYSTÈME DU MONDE. a4g

astre contribuera à simplifier ces expressions. L’observation montre que l’inclinaison moyenne de l’orbe lunaire à l’e'cliptique vraie est à peu près invariable; il y a donc de l’avantage à introduire cet angle à la place de l’inclinaison sur l’écliptique fixe dans les formules (i), (2) et (5). Pour y parvenir, désignons par y' l’inclinaison de l’orbite de la Lune sur l’écliptique fixe, et par et' la longitude de son nœud, comptée de la ligne fixe qui sert d’origine à l’angle 4 , en sorte que a! -f- -\J, sera cette même longitude comptée de l’équinoxe mobile. Soit s la longitude de la Lune comptée de la même ligne fixe sur l’écliptique invariable. 11 est aisé de voir que les latitudes, par rapport à l’écliptique fixe et à l’écliptique mobile , seront respectivement , aux quantités près du second ordre, tang y' sin (s — a.') et B' sin (s — et'), en désignant par B' la tangente de l’inclinaison moyenne de l’orbe lunaire sur l’écliptique vraie ; mais si la Lune était en mouvement sur le plan même de cette écliptique, sa latitude au-dessus de l’écliptique fixe correspondante à la même longitude s , serait tang y sin (s — a). Cette dernière latitude est à très peu près égale à la différence des deux premières ; on aura donc

tangy- sin(.y — x)=tangy sin(s — a') — B'sin(.y — a/), *

d’où , en supposant successivement s égal à zéro , et s égal à un angle droit, et substituant les angles y et y' à la place de leurs tangentes, on tire

}/sin a,' —y sin at-\- B' sin a!,

ycosx'= y cos a -f- B' cosa'.

a5o THÉORIE ANALYTIQUE

Cela posé, les quantités y sin (a' -f> 4)> et ÿ cos (a' -f- 4) représentant les produits de l’inclinaison de l’orbe lunaire sur l’écliptique fixe multipliée par le sinus et le cosinus de la longitude de son nœud, comptée sur le même plan à partir de l’équinoxe mobile; on aura, en les développant,

^'sin(a.'-{-4) = >,sina,.cos4 -f- 3/cos st'.sin4, y' cos (a'-{-4) =3/ cos a' . cos ^ — y' sin a! . sin <\t.

Si l’on substitue, dans ces expressions, pour y ' sin a.' et pour y' cos a.' leurs valeurs, on trouvera

y' sin =y sin (a + 4) -f-B'sin (a'-f- 4/),

3/ cos (a' -j- 4/) = y cos (a -f- 4) +B'cos(a'-{- 4).

Désignons par L' la masse de la Lune, et par a' sa

moyenne distance à la Terre, et faisons ^ = A/n*,

en sorte que A désigne le rapport de l’action de la Lune à celle du Soleil. Il est clair qu’il suffira, pour avoir égard à l’action de la Lune , de substituer Am * à la place de m% , et les seconds membres des équations précédentes, à la place de y sin (a-f-4)etde y cos (a -j- 4) dans les formules (n). Qu’on désigne par cQ + C' la valeur moyenne de la longitude du nœud de l’orbite lunaire, comptée de l’équinoxe mobile, la seule à laquelle il soit nécessaire d’avoir égard, ce qui donne a! -f- 4 = c't -h C; qu’on intègre ensuite les équations résultantes, en remarquant qu’on peut , dans la partie relative aux déplacemens de l’orbe lunaire, regarder 9 comme constant et égal à h; qu’on change de plus l en (1 A)/, ou.

DU SYSTÈME DU MONDE. a5i

comme l est arbitraire, qu’on suppose que cette constante représente désormais cette quantité , ce qui donne

j 3ma (i + a) /2C — A — B\ ,

1 — — — 1 ■ C — c — )■ cos k< W

on aura , en vertu des actions combinées de la Terre et du Soleil,

6 — h — 2.— .[cos (c<-f-£) — cos o] T - . cos (c' ,

6' —h — 2 . £cos(ci-f 6) — cos £] rr~-- — .cos(c'f-f-C) ,

iJ/ • cot — .tang^^ [sin(c< + — sinC]

+ 7ô+Â)'C0l2A'sin (ct+k,)>

■>} ,'=//-{- 2 cotA.^i-j-- . tanga/i^[sin(ci-t-£) — sinC]

+ -7— .cotaA .sin

Dans ces formules, h représente l’inclinaison moyenne de l’équateur à l’écliptique, ou l’obliquité apparente de l’écliptique à l’éjAque où l’on fait commencer le temps, et l le moyen mouvement des équinoxes à la même époque.

D’après le sens dans lequel est compté l’angle ^ , n° 1 , on voit que le mouvement des équinoxes sera rétrograde, si cetangle croit avec le temps t ; or, le premier terme de sa valeur surpasse tous les autres, et C étant le plus grand des trois momens d’inertie du sphéroïde terrestre, l est nécessairement une quantité positive; le mouvement des équinoxes est donc rétrograde à la fois sur l’écliptique fixe et sur l’écliptique vraie.

a5a THÉORIE ANALYTIQUE

Telles sont les valeurs de 8 , 4> > 0', 4/ qui résultent de l’action du Soleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre, et les formules précédentes sont celles qu’il faudra employer pour déterminer les déplacemens de son équateur. La première partie de ces formules donne la variation séculaire des angles 0 , 4- > 0’ et 4/ ; leur dernier terme est périodique et dépend du mouvement des nœuds de l’orbe lunaire ; sa période est d’environ dix-huit ans. C’est lui qui constitue spécialement ce balancement particulier de l’axe terrestre que Bradley a le premier découvert, et qu’il a nommé sa nutation.

5a. Examinons l’influence du mouvement des équinoxes et des déplacemens de l’équateur sur la longueur de l’année tropique et sur la durée du jour moyen. L’espace de temps qui s’écoule entre les retours du Soleil au même équinoxe ou au même solstice, forme l’année tropique ; l’intervalle compris entre deux de ces retours aux mêmes étoiles forme l’année sidérale. Si les équinoxes étaient fixes, l’année tropique serait %ale à l’année sidérale; mais comme ils ont sur l’écliptique un mouvement rétrograde ou contraire au mouvement propre du Soleil , ils s’avancent au-devant de cet astre, et resserrent l’espace qu’il avait à parcourir pour accomplir sa révolution. On aura la durée de l’année tropique en retranchant de l’année sidérale l’arc parcouru pendant ce temps par l’équinoxe sur l’écliptique vraie réduit en temps , à raison de la circonférence entière pour une année. Soit donc T l’année sidérale , la longueur de l’année tropique sera

dt. 36oV*

L’année sidérale est de 565^,256384; le moyen mouvement des équinoxes dans ce siècle est de ;

l’année sidérale surpasse donc l’année tropique de o7,oi4i97> Ma's comme le mouvement des équinoxes est variable, la longueur de l’année tropique change dans les difierens siècles ; elle est maintenaut d’environ 9" plus courte qu’au temps d'IIipparque.

On distingue en Astronomie trois espèces de jours : le jour sidéral , le jour solaire et le jour moyen. Le jour sidéral est l'intervalle de temps qui s’écoule entre les retours d’une même étoile à un méridien donné. Le jour solaire se mesure parles passages successifs du Soleil par le même plan. Si l’on imagine dans le plan de l’écliptique un Soleil fictif qui se meuve d’un mouvement uniforme et passe au périgée et à l’apogée en même temps que le Soleil véritable; que l’on imagine ensuite dans le plan de l’équateur un troisième Soleil qui passe par l'équinoxe du printemps en même temps que le second, et qui se meuve uniformément, de manière que les distances angulaires de ces deux astres fictifs au même équinoxe soient constamment égales entre elles, l’intervalle de deux retours consécutifs de ce troisième Soleil au méridien sera ce qu’on appelle le jour moyen. Le mouvement de rotation de la Terre autour de son axe étant uniforme, n° 20, et le moyen mouvement du Soleil dans son orbite étant invariable, n® 61 , liv. II, la durée du jour moyen serait constante, si l’obliquité

de l’écliptique était toujours la même et si le mouvement des équinoxes était uniforme : les variations auxquelles elle peut être assujettie ne dépendront donc que des variations séculaires de l'obliquité dé l’écliptique et de la précession des équinoxes.

Pour les déterminer, considérons la marche du Soleil fictif que nous avons supposé en mouvement sur le plan de l’équateur. Soit v la vitesse dont cet astre est animé , s sa longitude comptée de l’intersection de l'équateur avec l’écliptique fixe. La position de cette ligne varie, et son mouvement rétrograde projeté sur le plan de lequateur sera d*\ . cos ô pendant l’instant dt ; on aura donc , à la fin de cet instant,

ds = v. dt -{- .cos G.

Nommons s' la distance du même Soleil à l’équinoxe réel, c’est-à-dire à l’intersection de l’équateur avec l’écliptique vraie ; s — / sera l’arc compris sur l’équateur entre l’équinoxe réel et l’équinoxe relatif à l’écliptique fixe. Nous avons désigné par x ce même arc dans le n° 29; on aura donc, à très peu près,

j 2. B «in (et + S).

S S ta— « . 9

sm 6 *

d’où, en différenciant et mettant pour ds sa valeur, On tire

d4 = v + ÿ. cos 0 - i-Bc.-c05-(ci±9-.

dt dt sin 6

Soit ml le mouvement angulaire du second Soleil , ou

de l’astre fictif qui se meut uniformément sur le plan de l’écliptique vraie; la vitesse de ce Soleil, par rapport à une ligne fixe, sera m. L’équinoxe réel a, relativement à la même ligne , une vitesse rétrograde

; la vitesse du second Soleil, par rapport à cet

équinoxe, sera donc m -f- -jy. Or, d’après la définition du temps moyen, il est clair que cette vitesse doit être égale à ^ ; on aura donc, pour déterminer v, l’équation

dl'

dt

— S*cos9+