Cela posé, développons les valeurs de ô

4' en ayant égard aux termes dépendans du carré du temps. Prenons, pour plan fixe, celui de l’écliptique en 1 750 , l’origine du temps étant fixée au Ier janvier de la même année , ce qui donne 2 . B sin C = o , et 2. B cos £ = o. Si pour abréger on fait c*t-\-ë'— A, et qu’on observe que c = l + h > en négligeant dans une première approximation les quantités de l’ordre du carré des forces perturbatrices , ce qui revient à regarder 6 comme constant dans les équations différentielles du n° 26 , on aura

6 —h-\ — .X.BZAcosÉ — 777T7 ;.cosA,

2 c (.i+Aj

6' =h~t . X . B£ sin S .2. B. (/+e) . b cos s — , - v . cosA,

4,=/*— cota A. 2. B/à. sin £ + -^-^.cot aA.sinA,

4/ ==/<—*. cot A.X.Bà cosf-f^.^r^^.S B/AsinC+îcot A.2.B6“.sini^ 2B U ^ eQt aA.sin A.

11 ne reste plus qu’à substituer dans ces formules,

DU SYSTÈME DU MONDE. 25g

à la place des constantes qu elles renferment , leurs valeurs résultantes des observations. Si l’on fait abstraction de la partie périodique , h désigne l’obliquité de l’écliptique à l’équateur, au commencement de 1750; la constante l dépend des trois momens d’inertie du sphéroïde terrestre. La figure et la constitution du globe sont loin d’être assez bien connues pour qu’on puisse déterminer directement cette constante; mais en différenciant la valeur de «\j/ , et supposant t = o dans sa différentielle , on a

= / cot h.Z.Bb cos 6;

c est 1 expression de la precession moyenne des équinoxes pendant une annee julienne, pour l’époque où commence le temps t : on peut -donc, au moyen de l’équation précédente , déduire la valeur de l de celle de cette precession donnée par les observations. La précession annuelle était en i75o de 5o", 37572, par conséquent,

^ cot h . 2 . Bicos £ — 5o", 37572.

L obliquité de l’écliptique à la même époque était de 23° 28' 18"; on aura donc

Le rapport —, de 1 action de la Lune à celle du So-

leil est, d’après les observations des marées, 2.35533, par conséquent ,

a6o THÉORIE ANALYTIQUE

La constante B' est la tangente de l’inclinaison moyenne de l’orbe lunaire sur l’écliptique vraie. Cette inclinaison est de 5° 8' 49^ J on a \

log B' = 8 . 9545973 ;

c1 est le moyen mouvement des nœuds de la Lune pendant l’unité de temps , c’est-à-dire pendant une année julienne ; ce mouvement est rétrograde et de i9°2i'2i", d’après les observations. En réduisant cet arc en parties du rayon , on aura

Enfin, m étant* le moyen mouvement du Soleil pendant l’année sidérale de 36ÿ, 25638, pour le rapporter à la même unité de temps que les valeurs précédentes, on fera la proportion

365^,25638 : 36o° :: 365', 25 : m, d’où l’on Aire

D’après ces données, on trouvera pour les valeurs de 0, 6', ^ et 4/*, après un nombre quelconque t d’années juliennes comptées de 1750 ,

fl = 23°28' 1 8"—}— t' . o", 0000080978 +g",426 • cos A ,

6' =23°28' 18" — f.o', 456917-*-/’. o",ooooo2357-f-g',426.cosA, 4" —t.S o" ,5a844 — **■<>*, 0001 0427 — i7"6i5.sinA,

■JS —t 5o", 37572 -f- 1 *. o",ooo 109758 — 17", 61 5. sin A.

Ces formules serviront à déterminer l’obliquité de l’écliptique et la précession des équinoxes dans l’intervalle de mille ou douze cents ans à partir de l’époque de 1750, en ayant soin de faire t négatif pour les temps antérieurs à cette époque.

35. On peut, par les variations observées dans l’ascension droite et la déclinaison des étoiles, déterminer directement celles de 9 et de 4 ; c’est ainsi que Bradley a trouvé le coefficient de cos A ou de la nutation : ce coefficient, selon lui , serait de 8", 997. Maskelyne, en discutant avec plus de soin les observations qui avaient servi à l’établir, l’a trouvé de. 9'',449> et> suivant M'. Brinkley, il est de 9",25o. Ces derniers nombres se rapprochent beaucoup du coefficient de la théorie, et la différence est dans les limites des erreurs des observations. 11 suffirait , pour la faire disparaître, de changer un peu la valeur de A, que nous avons supposée égale à 2.35333. taplace , d’après les observations des marées, avait d’abordtrouvé cette valeur égale à 3; il a été obligé ensuite de la diminuer beaucoup, ce qui la rend plus concordante avec celle qui résulte de plusieurs autres phénomènes. La valeur de A* que nous avons adoptée d’après lui , donne pour la masse de la Lune yj de celle de la Terre ; elle est peut-être encore un peu trop forte.

L’une des observations les plus anciennes qui nous soient parvenues , est l’observation chinoise citée dans la quatrième édition de YExposition du Système du Monde , et qui se rapporte à l’an 1 100 avant l’ère chrétienife. Selon cette observation , l’obliquité de l’écliptique était alors de 23° 5^ 2"; c’est la valeur

tBx théorie analytique

de 0', abstraction faite de la partie périodique. Pour remonter à cette époque , il faut faire t^= — 285o dans les formules précédentes ; on trouve alors , en ne considérant que la variation séculaire ,

La différence entre la théorie et l’observation est donc de ^ 19*; elle semble indiquer, dans l’obliquité de l’écliptique, une diminution plus rapide que nous ne la supposons. Au reste, cette différence paraîtra bien petite, si l’on considère l’incertitude de l’époque précise de cette ancienne observation, et l’inexactitude des résultats du gnomon qui lui ont servi de base.