CHAPITRE VI

Mouvement de rotation de la Lune , autour de son centre de gravité.

4i • Un phénomène extrêmement remarquable dans le système du monde , et qui parait avoir été connu de tout temps , c’est que la Lune , dans son mouvement de révolution autour de la Terre, nous présente toujours la même face. L’explication que les anciens astronomes avaient donnée de ce singulier phénomène était erronnée ; c’est à Hévélius et à Newton que l’on doit la connaissance de sa véritable cause. Ils montrèrent que pour en rendre raison , il fallait supposer une égalité parfaite entre le mouvement de révolution et le mouvement de rotation de la Lune; d’où il résulte qu’à mesure que son centre de gravité s’avance sur l’orbite qu’il décrit autour de la Terre , l’axe du sphéroïde lunaire qui est tourné vers nous décrit par un mouvement contraire le même nombre de degrés , en sorte que ce second môuvement , ramenant sans cesse vers le centre de la Terre le même hémisphère de la Lune, toutes les autres parties de sa surface nous restent à jamais cachées. Bientôt après, Dominique Cassini, par une observation plus attentive encore des taches de la

a7o THÉORIE ANALYTIQUE

Lune , découvrit, dans son mouvement de rotation

de nouveaux phénomènes; il reconnut, i°. que l’inclinaison de l’axe de rotation de la Lune à l’écliptique est invariable ; 2°. pie les nœuds de son équateur coïncident constamment avec les nœuds de son orbite, c’est-à-dire que les plans de l’équateur et de ï orbite lunaire coupent toujours celui de l’écliptique suivant la même ligne droite . Ces deux importantes découvertes, les plus belles peut être dont nous soyons redevables à ce grand astronome , et que les observations de Tobie Mayer et de Lalande ont depuis confirmées, complètent la théorie astronomique du mouvement de rotation de la Lune , et ont permis aux géomètres de chercher, avec le secours de l’analyse, l’explication physique des singulière phénomènes que ce mouvement nous présente.

D’Alembert tenta le premier celte entreprise. Il essaya d’appliquer à la Lune ses formules de la précession des équinoxes; mais la lenteur du mouvement de rotation de cet astre , et surtout la circonstance particulière de l’égalité de ce mouvementé celui de révolution, exigeait, pour traiter cette question, une analyse toute nouvelle, et celle qu’employa d’Alembert le conduisit à des résultats inexacts. Lagrange eut plus de succès , et son Mémoire, qui remporta le prix proposé par l’Académie des Sciences pour 1764, joint à celui qu’il publia en 1780 dans les Mémoires de Berlin , renferme la théorie complète du mouvement de rotation de la Lune autour de son centre de gravité.

Lagrange donne d’abord l’explication du phéno-

DU SYSTÈME DU MONDE. a7i

mène que l’on a nommé la libration en longitude ; il montre qu’il est dû à ce que l’égalité du mouvement moyen de révolution et de rotation de la Lune n’ayant point été rigoureusement exacte à l’origine des temps, ce qui paraîtrait en effet infiniment peu vraisemblable, il en est résulté une espèce de balancement dans l’axe du sphéroïde lunaire dirigé vers la Terre qui le fait osciller de part et d’autre du rayon vecteur mené du centre de la Terre à celui de la Lune, comme un pendule oscille sans cesse autour de la verticale dont on l’a légèrement écarté. Après avoir développé les lois de la libration en longitude, ainsi que les petites inégalités qui résultent dans le mouvetnent de rotation des inégalités du mouvement de révolution , passant à libration de la Lune en latitude, par un choix de variables extrêmement ingénieux , et qui a été utile dans un grand nombre de questions de la Mécanique céleste , il parvient à déterminer les lois du mouvement de l’équateur lunaire. Il montre que l’inclinaison de l’axe de rotation de la Lune est constante, et que le singulier phénomène de la coïncidence des nœuds de son équateur et de son orbite , en est une conséquence immédiate. Pour que cette coïncidence existe, il n’est pas nécessaire quelle ait eu lieu rigoureusement à l’origine du mouvement , il suffit que la différence qui existait à cette époque entre les positions des nœuds de l’équateur et de l’orbite lunaire ait été très petite; l’attraction de la Terre a établi ensuite et maintiendra éternellement la coïncidence de leurs nœuds moyens.

37a THÉORIE ANALYTIQUE

Cette belle analyse , comme la plupart de celles que nous a laissées Lagrange, a presque épuisé la question quelle avait à traiter, et les géomètres qui s’en sont depuis occupés, n’ont fait que la simplifier et ajouter aux inégalités de la libration en longitude et en latitude déterminées par lui, quelques inégalités nouvelles qui sont très petites en elles-mêmes , mais auxquelles la précision des observations modernes obligera désormais d’avoir égard. C’est ainsi que M. Poisson, en discutant avec un nouveau soin les inégalités de la libration en latitude , en a reconnu une qui dépend de la différence en longitude du nœud et du périgée lunaire, et qui peut devenir sensible ; mais il s’est assuré en même temps quelle était la seule de cette espèce qui eût été omise dans l’analyse de Lagrange et de Laplace, en sorte que toutes les autres inégalités auxquelles ils s’étaient dispensés d’avoir égard pouvaient en effet être négligées.

On doit donc regarder comme complète la théorie physique de la libration de la Lune; la seule chose quelle laisse encore à désirer, c’est un assez grand nombre d’observations pour fixer avec précision les données que l’analyse emprunte à l’Astronomie, surtout celles qui déterminent les rapports des momens d’inertie des trois axes principaux du sphéroïde lunaire , et qui fournissent par conséquent des notions exactes sur sa figure. M. Nicollet a déjà exécuté un travail de ce genre , en y employant 1 74 observations faites par lui ou par MM. Bouvard et Arago; espérons qu’une plus lpBgue suite encore

Dü SYSTÈME DU MONDE. 37 3

d’observations confirmera les résultats auxquels il est parvenu et ajoutera à leur précision.

On pourrait déterminer les inégalités du mouvement de rotation de la Lune troublé par l’action du Soleil et de la Terre, au moyen des formules contenues dans le chapitre Ier; mais il est plus simple de reprendre pour cela les équations différentielles du mouvement troublé, données n° 2. On verra aisé* ment d’ailleurs comment les résultats que nous allons développer se concluraient des formules générales (P) , n° 7, qui s’appliquent au mouvement de rotation de toutes les planètes.

42. Nous placerons l’origine des coordonnées au centre de la Lune, que nous supposerons immobile, et nous regarderons le Soleil et la Terre commecirculant autour d’elle. Soient donc L la masse de la Terre, x , y , z ses trois coordonnées relatives à un plan fixe mené par le centre de la Lune parallèlement au plan de l’écliptique à une époque donnée , r son rayon vecteur compté du même point; en ne poussant les approximations que jusqu’aux termes du troisième ordre par rapport aux dimensions du sphéroïde lu* nairc , on aura

V= — ^-t-.(A-B).{ [x',-(Y'cosÇ-zsin5)î].cos2p+2x'.(Y'cosf-zsin0).sin2p}

— — aC). [x'*-f-(Y'cos 6— zsinô)*].

Dans cette expression, A, B, C représentent les trois momens d’inertie principaux de la Lune. Nous continuerons à donner le nom à'équateur au plan qui renferme les deux premiers axes principaux. Tome 11. 18

i74 THÉORIE ANALYTIQUE

c’est-à-dire ceux auxquels se rapportent les momens d’inertie A et B. Ce plan n’est plus ici, comme dans le mouvement de rotation de la Terre, perpendiculaire à l’axe instantané de rotation ; cet axe varie dans l’intérieur du sphéroïde lunaire, en sorte que les pôles de rotation se déplacent à la surface de la Lune , circonstance q ui établit une différence essentielle entre le mouvement de rotation de ce satellite et celui du sphéroïde terrestre.

Cela posé, 0 représente l’inclinaison de l'équateur lunaire sur le plan fixe parallèle à l’écliptique, <p est l’angle compris entre le premier axe principal de la Lune et le nœud descendant de son équateur; nous supposerons l’angle <p compté à partir de ce nœud dans le sens du mouvement de rotation delà Lune; enfin , nous nommerons 4 l’angle compris entre le nœud descendant de l’équateur lunaire et une droite fixe menée dans le plan de l’écliptique, et nous supposerons cet angle compté à partir de cette droite, en sens inverse de l’ordre des signes.

Si l’on différencie la fonction V par rapport aux trois variables <p, 4> en observant que l’on a, n° a5,

dx’ , (h' , M

on aura

dV 3L dtp 2 r/J

.(A-B).{ [x/!,-(y'cos«- zïint)*].sin2f-2x'.(Y'cos«-zsinfl).cos2?},

(A-B).{[Y,.(Y'cos9-zsin9)-x'*cos8)].sin2ip-{-x'.[T'-|-(Y,eos%zsin8).cos«].cosJt

.(A-f-B — 2C).[x'.(y' sinfl+zeos <).»in«] ,

DU SYSTÈME DU MONDE. a75

-^=^7y(A-B).[x'.(Y'sin0-f-zcos0).sin2p-(Y'cos0-zsin0).(Y'sin0-f-zcos9).cos2p]

-f- ^/-.(A+B-2C).[(y' cos 6-z sin S).(y' sin Ô-f-xcos S)J , et par suite ,

siuvGâJ'"^08 )==^.75-('^“®^[(Y,cos®“Z5*n®),fT,s‘n,+*cos^)-s'n2^

-f-x/ . (y/ sin 9-}-z cos 9). cos 2p]

-f- — 75. ( A -f-B-aC) . [x' . (y's în9 + zcos 6)] .

Les trois équations (C) du n° 2 deviendront ainsi

3L dt \

Ao^> + (C— B) .ynft= -pj-.(C-B). [y'cos 6— zsin9).(Y' sin 9-f-zcos9).cos f J

— x'.(Y'sin0+zcos0).sin p], I

bdq -f-(A-C) .prdt= -^-^.(Â-Q.fx'^Y'sinJ+z cos 0) .cos <p \ ^

+(y' cos 0-z sin 0) . (y' sin 0 -J- z cos 0) .sinip],

Cdr +{B-A).pg<fr=^^.(B — A).{2x'.(y'cos £ — zsin9).cos2p 1

— [x'* — (y' cos 9 — z sin 9)*]. sin 29}. '

Il est bon de remarquer qu’on peut arriver très simplement aux mêmes équations de la manière suivante ; en ne poussant l’approximation que jusqu’aux termes du troisième ordre, nous avons trouvé, n° 25,

V = - ^.(Ax-+By + <V),

x',y, z1 représentant les coordonnées de l’astre L, rapportées aux trois axes principaux du sphéroïde attiré.

a76 THÉORIE ANALYTIQUE

Cette expression donne, en la différenciant ,

J yl- Y ËX (C Ti'| y','