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dz' Z‘dx — ra ’ ' Cj.X-.,

r' V XX — IX (R Al xV'

J X ’dy' — ’i.15 'V,ÆJ' *

Si l’on substitue ces valeurs dans les équations (B), n8 2, et qu’on remplace ensuite les coordonnées x' , y' , z' par leurs valeurs en fonction des angles <p, 4> 9» données n° a5, on retrouvera identiquement les équations (1).

L’observation ayant montré que l’inclinaison de l’équateur lunaire sur l’écliptique est toujours peu considérable, 6 est un fort petit angle dont nous négligerons le carré et le produit par le carré de l’inclinaison de l’orbite lunaire, qui est aussi une très petite quantité. En observant que z est du même ordre que cette inclinaison, les trois équations (1) deviendront

Adp -f-(C-B) ,qrdt= —,y- . (C-B) . [(y'â-f-z) . (y' cos ç-x' sin 9)] ,

B dq +(A-C ).prdt= (A-C) . [(y'0-f z) . (x'cos tp -J-y'sin p)]f

Cdr +(B-A)./7ÿ</fc=^^.(B-A).[2x'y/co82f — (x'*-y'*).sinaf].

On peut encore aux coordonnées x', x', z de L , substituer d’autres variables qui rendent l’intégration plus facile. Soit v la longitude de la Terre vue de la Lune , cette longitude étant comptée du nœud

DÜ SYSTÈME DU. MONDE. a *7.

ascendant de l’équateur lunaire ; soit a. la longitude du nœud descendant de l’orbe lunaire comptée du même point , et y l’inclinaison de cette orbite sur l'écliptique fixe; en désignant par s' la latitude de la Terre au-dessus de ce dernier plan, on aura

tang s' = tang ^.sin(t» — a).

La longitude de la Terre , comptée d’une droite fixe sur le plan parallèle à l’écliptique , sera i> — >{, J en suivant donc l’knalyse du n° 25, et en observant que y est un très petit angle dont on peut négliger les carrés dans la recherche qui nous occupe, on' trouvera

x' = r cos v , y' = r sin v, z = ry sin {y — » a.) ,

valeurs exactes, aux quantités près de l’ordre y*.

Lès équations précédentes deviennent ainsi

or J*

sint'-f-^ sin(<.'-<t)].sin(^-|>) , )

Bdq+(A-C)./}rd/=:^^.(A-C).[((sin v -f-y sin (v-»)].cos(«.'Hp) , ^,(2) C dr 4 ( B-A) .pqdi— ■ (B- A) .sill 2(1-'-?) .

43. Occupons-nous d’intégrer ces équations; considérons d’abord la troisième , d’où dépend le mouvement du sphéroïde lunaire autour de son axe de rotation.

Si la Lune était un solide de révolution , on au-i rait B = A, et par conséquent r= constante. Ce cas n’a pas lieu dans la nature , mais on peut toujours regarder la quantité B — A comme peu considérable»

a;8 THÉORIE ANALYTIQUE

et comme p et q sont aussi très petits, puisque l’observation a prouvé que l’axe de rotation de la Lune s’écarte toujours très peu de son troisième axe principal, on pourra négliger le produit (B — A ).pq à cause de la petitesse de ses trois facteurs. La dernière des équations (a) deviendra donc

dr = )• ; sin ^ — *)•

L’observation ayant fait voir que la Lune nous présente toujours à peu près le même hémisphère, on en a conclu que son moyen mouvement de rotation est exactement égal à son moyen mouvement de révolution; en sorte que si ce mouvement est sujet à quelques inégalités, elles doivent être peu considérables.

Or, si l’on néglige, comme nous le supposons, les quantités de l’ordre 6*, l’arc <p — -xj, représentera le mouvement de rotation de la Lune autour de son troisième axe principal, mouvement qui serait uniforme sans l’action des forces perturbatrices. Si l’on désigne donc par u les inégalités quelles peuvent y produire, par la longitude moyenne de la

Terre vue de la Lune et correspondante au temps ty longitude qui est égale à celle de la Lune vue de la Tprre plus une demi-circonférence , on aura

<p — -xj. = mt -J- c-f-u,

et l’angle « représentera la libration de la Lune , ou l'excès de son moyen mouvement de rotation sur son moyen mouvement de révolution. Il ne s’agit* donc, pour, déterminer la libration, que de connaître

la valeur de l’angle u. Or, il est facile d’y parvenir en introduisant cette nouvelle variable à la place de /• dans l’e'quation (3) , et en intégrant ensuite l équation résultante. . r . u .

En effet , on a , aux quantités près de l’ordre Ô*,

dtp — d-J/

di 1

et par conséquent

Nous faisons ici abstraction des inégalités séculaires qui affectent le moyen mouvement de làLune , parce qu’il n’en résulte aucun terme appréciable dans la valeur de u, et nous regardons par conséquent m et c comme des quantités constantes.

L’angle v représentant la longitude de la Terre vue de la Lime et comptée à partir du nœud descendant de l’équateur lunaire, v — ^ sera même longitude comptée à partir d’un équinoxe fixe, l’angle 4 devant être compté , comme nous l’avons dit, en sens inverse de l’angle v. Cette longitude est égale à mt -j-c, plus à une suite de sinus et de cosinus d’angles multiples du moyen mouvement mt ; on aura par consçqyeut

v mt — j— c — f— 4 — {— , H sin {ht —f- /i

en représentant par 2. llsiti (kt-\-K), les inégalités de v ordonnées par rapport a mt.' ' ' *

Cette valjjyr, copiparéeà celle de $ — -y > donne

. r v. — $ • IJsm

zSo THÉORIE ANALYTIQUE

et par conséquent

sin jl(v — <p)= — sin 2w-|-2COs 2u.2.Hsin(fa-f-Zt') — etc. L’équation (3) devient ainsi , eu y substituant

dr

pour Tt,

dF==’~'^/i\~C“ J sin 2u+-77.^-^-j.S.Hcos2i/.sin(Af+A ).

L’angle u étant toujours une très petite quantité, si l’on néglige son carré et ses puissances supérieures , on pourra supposer dans cette équation sin 2ü=2m et cos 2« 1 j de plus, comme on a, à très peu

près, ^ = *w% l’équation précédente deviendra

» ' J f iMMIV

Si I on fait d’abord abstraction des termes sans u , on satisfera à cette équation en supposant

u = K sin ( kt -f- k') ,

et l’on aura, pour déterminer k, ; < iii:

m é mIüv"»

K et k! étant deux constantes qui demeurent arbitraires.

Si ensuite on désigne par L sin ( [ht -f- h!), le terme de la valeur de u qui doit correspondre au terme

3/n* • • H sin [ht + h') de l’équation (5) , en y

substituant cette valeur et en comparant les termes

DU SYSTÈME DU MONDE. t»8i

qui ont même sinus ou même cosinus, on aura

— LA*+ 3 m' .(^) . (L — H) = o , d’où l’on tire

Ainsi , d’après la théorie des équations liuéaires, la valeur complète de u sera

u — Ksin(Aj-j- A')-f-2.Lsin(At -{- h’)y

K et tétant les deux constantes arbitraires qui doivent entrer dans l’intégrale finie de l’éqnation du second ordre (5), et le signe désignant une suite de termes semblables au terme L sin (ht -f- h1), et déterminés de la même manière.

44- Examinons les conséquences qui résultent de cette expression. Le premier terme de la valeur de u restera toujours peu considérable si l’arbitraire K est supposée très petite, et par conséquent la partie de la libration de la Lune qui dépend de l’état initial du mouvement sera toujours insensible. Jusqu’ici, les observations les plus précises ne paraissant indiquer aucune trace de cette inégalité, il en faut conclure, ou que la constante K était nulle à l’origine du mouvement, ou que du moins son influence a été annulée depuis par l’effet de quelque cause étrangère. Cette remarque est analogue à celle que nous avons faite dans le n° i3, relativement à la Terre.

On a , par ce qui précède , k — ni .

m représentant le moyen mouvement de la Lune dans l’unité de temps; la durée de la période de l’argument dont il s’agit sera donc d’un mois sidéral

divisé par \J 5.^-ç Nous verrons bientôt que

ce diviseur est une très petite quantité, et que des observations récentes sur lesquelles on peut compter donnent, à très peu près, 0.0018 pour sa valeur. Cette durée, dans ce cas, n’excéderait pas deux années ; il sera donc facile, par des observations faites à des intervalles de temps assez grands pour que la variation de l’angle kt soit sensible , de reconnaître si le coefficient K a ou non une valeur appréciable.

Au reste, il faut observer que ce premier terme de la valeur de u sert à expliquer, par la théorie, comment il se fait que la Lune nous présente toujours le même hémisphère , sans qu’il soit besoin de supposer que la vitesse primitive de rotation , imprimée à cet astre, a été exactement égale à sa vitesse de révolution autour de la Terre, ce qui paraît en effet infiniment peix vraisemblable. Pour le faire voir, remarquons qu’en faisant abstraction de l’inclinaison de l’équateur lunaire à l’écliptique, on a, par le ,n° 43 ,

dtp — cLJ, = rdi , /• = — - f • m ;

r représente la vitesse de rotation de la Lune autour de son troisième axe principal; on aura, par suite ,

. • .• ..ij; • .M <■ i •'

J'idl tut + c u. ' ; .

Cette intégrale exprime le mouvement de rotation de la Lune ; et comme u n’est composé que de ternies périodiques, on voit que le moyen mouvement de rotation etcelui de translation sont parfaitement égaux entre eux, sans qu’il soit pour cela nécessaire que les mouvemens de rotation et de révolution de la Lune aient été égaux à l’origine du mouvement. En

etfet, en différenciant et substituant pour ~ sa valeur, on a