c A^.cos(&l -f- k') -f- 2 . L/.cos(/l -f

En sorte que comme K est arbitraire, la vitesse primitive de rotation de la Lune peut être supposée quelconque; et il suffit, pour que les moyens mouvemens de rotation et de révolution aient dans la suite toujours coïncidé, que cette vitesse ait été comprise entre

»i+/nK. A) et 1/1 — wK. sJ

Ces limites sont très resserrées, il est vrai, et elles s’éloignent peu de la valeur moyenne m , à cause de la petitesse de la constante K et du coefficient

y 5 . (--ç mais elles suffisent pour faire disparaître l’invraisemblance qu’il y a à supposer, à l’origine du mouvement, une parfaite égalité entre le moyen mouvement de rotation de la Lune et son moyen mouvement de révolution.

Pour que la libration en longitude demeure tou-

jours peu considérable, comme l'observation l’indique, il faut que les coefficiens L, etc., des différens termes de la valeur de u, soient supposés très petits , ainsi que le coefficient K; mais cette condition ne suffit pas, il faut de plus que les valeurs des constantes k, h , etc., soient toutes réelles; car autrement quelques-uns des sinus ou cosinus qui entrent dans l’expression de u se changeraient en arcs de cercle ou en exponentielles, et la valeur de u pourrait croître indéfiniment, ce qui est contre l’hypothèse. Les valeurs de h et des autres coefficiens semblables son t réelles de leur nature ; mais pour que celle de k

le soit aussi, il faut que — qj— soit une quantité positive, c’est-à-dire que l’on ait B>A. Or, A est le moment d’inertie qui se rapporte à l’axe principal de l’équateur lunaire, qui est constamment dirigé vers la Terre; en effet, cet axe est celui qui forme l’angle <p avec l’intersection de l’équateur lunaire et de l'écliptique , tandis que la projection du rayon vecteur mené de la Lune à la Terre , forme l’angle v avec la même ligne, v — tp est toujours , par ce qui précède, un très petit angle; le premier axe principal de la Lune est donc toujours, à très peu près, dirigé vers la Terre; et il est naturel par conséquent de supposer que l’équateur lunaire s’est allongé dans ce sens par l’effet de l’attraction de la Terre, en sorte que le moment d’inertie A, qui se rapporte à l’axe de l’équateur dirigé vers la Terre, doit être plus petit que le moment d’inertie B, relatif au second axe principal situé dans le même plan.

Quant aux coefficiens K, L, etc., comme le premier K est arbitraire, sa valeur peut être supposée aussi petite qu’on voudra ; mais pour rendre en même temps très petite celle de L , il faudra supposer une

valeur très petite à la quantité — ç— . On voit, en

effet, d’après l’expression de L, que ce coefficient pourrait devenir sensible si H avait une valeur assez grande, ou si la valeur de h était peu différente de

m. \J , ce qui rendrait très petit le dénominateur de cette expression.

45. Nous avons désigné par 2. H sin (hl-\-h') la somme des termes périodiques de la longitude vraie de la Lune : le premier de ces termes , ou l’équation du centre, est celui qui a le plus grand coefficient; en le supposant représenté par Hsin(fo-f-/i') , on a, p3r la théorie de la Lune, H =■ 22682", h*=m* . 0.9831 7; on aura donc, en vertu de ce terme,

d’où l’on tire

La valeur de L doit être peu considérable, puisque le terme de la valeur de u qui en dépend n’a pu être reconnu par l’observation. 11 est probable, vu la précision des observations modernes, qu’elle n’excède guère un demi -degré ; si l’on suppose donc L=q=5a' ou 1920", on aura

Ij vu

La valeur de B — A devant d’ailleurs être nécessairement positive, il en résulte qu’elle est audessous de 0.025570, et que L est négatif.

Parmi les termes de l’expression de u qui peuvent devenir sensibles eu acquérant de très petits diviseurs, le plus considérable est celui qui dépend de l’équation annuelle; il suffira donc d’examiner l’effet de ce terme. Si l’on suppose que II sin (ht-{-h') représente cette équation, ht-\- h' étant ici l’anomalie moyenne du Soleil , on aura , par la théorie de cet astre, 11=669" et h = 02.0.0748, et par conséquent h* = /«a. o.oo55ç)5; on aura donc, en vertu de ce terme ,

L vüMi

o . oo55g5 — 3 .

d’où l’on tire

B — A o",ooi865.L

Puisque les observations n’ont point fait reconnaître le terme de la valeur de u proportionnel à L, ce coefficient doit être peu considérable; si l’on suppose en conséquence L = 13=1920*, on aura

Ainsi, dans le cas de L négatif, les deux limites

Dfeitized tjy Ca

de ^7;— sont zéro et o. 001 383 1, et, dans le cas de L

positif, 0.002862 { et 00 ou o. 0028624 et 0.025575,

puisque nous venons de voir que — ^ — ne pouvait

pas dépasser cette dernière limite. Nous verrons

tout à l’heure que la valeur de — ^ — est moindre que

0.0006 ; elle est donc comprise entre zéro et o. 00 1 383 1, et par conséquent L est négatif.

Si l’on substitue dans la valeur précédente de L,

- pour —fT— la dernière limite que nous venons d’as-

signer à cette quantité, on trouvera, relativement à lequation du centre, L== — /^i", et relativement à l’équation annuelle, L— — 317*. Ce sont les limites de ce coefficient, et par conséquent celles des argumens qui en dépendent dans la valeur de u. Or, le dernier arc, vu de la Terre sur la surface de la Lune, ne s’élèverait pas à i",5; c’est la seule partie de la libration qu’on puisse espérer de rendre sensible par les observations; et si l’on parvenait à la déterminer , on en déduirait la valeur de 5__— qui n’est

pas encore connue -d’une manière positive ; mais sa petitesse rend cette appréciation très difficile.

MM. Bouvard et Nicollet, par la discussion de 174 observations de la libration de la Lune en longitude, ont trouvé le coefficient de l’inégalité dépendante de l’équation annuelle, de d’où l’on conclut

15 — A -rr

— — = O.OOQOOÜ7.

•jl88 THÉORIE ANALYTIQUE

Si l'on détermine, d’après cette valeur, le coefficient du terme de u qui dépend de l’équation du centre de la Lune et qu’on joigne ce terme à celui de l’équation annuelle déterminé par l’observation, on aura

u = — 285" sin Z — 39" sin Z' ,

Z étant l’argument de l’équation annuelle de 1^ Lune et V celui de son équation du centre.

La valeur précédente de — s’accorde avec la

limite que nous avons fixée à cette quantité, et qui a été conclue de la libration de la Lune en latitude, plus facile à observer que la libration en longitude. Cependant, il reste encore de l’incertitude sur ce résultat, et il est à désirer que de nouvelles observations ajoutent à son exactitude.

46. Occupons-nous maintenant du mouvement des nœuds et des variations de l’inclinaison de l’équateur lunaire. Pour déterminer les mouvemens de ce plan , il faut connaître les angles 4^10 d’où dépend à chaque instant sa position par rapport à l’écliptique fixe : or, l’angle 4 est donné en fonction de <p et du temps t, au moyen de l'équation (4) ; il ne nous reste donc à déterminer que les angles 0 et <p. Pour y parvenir, il convient de leur substituer de nouvelles variables qui facilitent l’intégration des équations d’où leurs valeurs dépendent. On conçoit en effet que si l’on choisit ces variables de manière à ce qu’elles soient astreintes, par la nature même de la question, à demeurer constamment très petites, on pourra, dans la première approximation , négliger les termes

DU SYSTÈME DU MONDE. a8g

où elles se trouveraient multipliées entre elles ou par leurs différences, et l’on n’aura plus à considérer que des équations linéaires, les seules qui puissent, comme on sait, s’intégrer dans tous les cas, quel que soit le nombre des variables qu’elles renferment et le degré de leur différence. Ces conditions sont faciles à remplir dans la question qui nous occupe; car, comme nous avons supposé l’inclinaison 0 de l’équateur lunaire à l’écliptique fixe toujours peu considérable, il suffira , pour y satisfaire, de substituer aux variables <p et 0, des variables analogues à celles que nous avons déjà employées dans un cas semblable, n° 34 , livre l*r.

Soient donc

s = tang 0 . sin , s' = tang ô.cos f.

En différenciant et négligeant le carré de 0 , on aura

ds

dd

as . ao . «

— = sin <p .-t ; -f- « cos <p.

dt

ds'

dt

dô

US UtJ A . aa>

di = cos ~ 6 s,n

dtp

dt

dtp

dt

dt'

Les équations (a) du n° i donnent dQ

— — P cos <p -f- q Sin <p ,