Tome IL ig

2c,o THÉORIE ANALYTIQUE

d’où , en différenciant , on tire

d3s ds' ,dr dq

dt' rdt S dt ~ dt* d's' . ds . dr dp

+ 5 Ji = — jT-

Si l’on remplace dans ces équations et ~ par leurs

valeurs tirées des équations (2), et qu’on observe qu’on peut supposer /’ constant et égal à m dans les termes multipliés par les quantités très petites s et /, et par leurs différences , et qu’on peut négliger par la même raison les différentielles , dt

s . y, on aura dt *

ds'

ou bien, en mettent pour p et y leurs valeurs tirées des équations (6)

m\7Ts

).mp= — .|

d's /A-|-B-C\ ds /A-C\ 3L/A-C\ -, . . .

d?~X H B~) m s=—{^}Vsw+vMv-*)Uos(^),

•i,Y »’• • •»!> < !» <>«»/>»; cm.

ÜV , /A+B-C\ ds f B-C\ , ^(\

v est la longitude de la Terre vue de la Luné1, etrappoVïéé au nœud desteehdant de l’équateur lunaire j v — a est la même longitude comptée du U’oedd és- . Cendant de l’orbite lunaire» en sorte que y sin (p> — a) est la latitude de la Terre vue de la Lune. Si l’on

. s li ;

remplace par m* dans ces équations et qu’on observe que

tang 0 sin v = tang t cos <p si n (f — <p) + tang â sin ç cos(v — <p)

= s'sin^ — (p)-bscos(t' — f),

elles deviendront

rf*s /A-f-B — C\ ds' fk — C\ /'A— C\

dF~ V — >*3* }•*•=*”*{—)

X [s' sin(*> — <p) + s cos(i/ — p) — *)].cos(p — <p ),

dt

X {Ysin(*; — ç) -f- *cos(t>< — sp) +^sin (<■> — <*)] .sin(v — ç).

I/angle v — <p étant toujours, par ce qui précède, peu considérable, sin(t» — <p) est une très petite quantité dont on peut , sans erreur sensible dans les seconds membres de ces équations, négliger le carré multiplié par les quantités très petites s et s' ; on aura ainsi *

d3s /A + B — C\ ds , /A— C\ /A— CM

X ■ [/ sin (v — q>) + y sin (t> — *)] . eos(*> — tp) ,

d*s , /A-fB — C> de + \ A

X [s cos‘(t> — p) -l->sin(v — <*)].sin(t'— p).

47. Occupons-nous d’intégrer ces équations. Si l’on fait d’abord abstraction de leurs seconds membres , elles deviennent simplement

rf*« ,

<A + B — Cn

. ds'

)‘m-di

dV ,

m+b- Cn

. ds

)-m dt

m's — 0, mts's= o.

Pour satisfaire à ces équations , supposons

s = M sin (Z£ + Æ) , s' =M' cos (lt *4- h).

Ces valeurs, substituées dans les équations précédentes, donnent

mz* — (“b ~ (^ïr)-7"^ ==0>

De la seconde de ces équations , on tire

fA+B-C^

.ml

va;

/B — CV l A y

Cette valeur, substituée dans la première, donne

(A + B— cy

Les équations (g) , (10) serviront à déterminer les constantes M' et l; les deux autres constantes M et k demeureront arbitraires.

Si l’on ordonne l’équation (10) par rapport à l , on aura

aq3

équation qu’on peut résoudre comme une équation du second degré, et qui donnera pour / deux valeurs. Désignons la première par / et la seconde par /' ; on aura , par la théorie des équations linéaires ,

s = M sin ( ht -j- 1') -f- N sin (l't -f- £') , s'= M'cos \lt + *) + N' cos + k),

en supposant , pour abréger ,

Ces valeurs de s et s' renferment quatre arbitraires, M, N, k, k elles sont donc les intégrales complètes des équations (8).

48. Reprenons maintenant les équations (7). La quantité ^sin(p — a) représente, comme nous l’avons dit, la latitude de la Terre vue de la Lune, latitude qui est égale et de signe contraire à celle de la Lune vue de la Terre. Sa valeur peut se développer, d’après les formules du n° 2 5, liv. II, en une suite de sinus et de cosinus des multiples du moyen mouvement mt ; il en est de même des trois quantités sin v, sin(t> — <p) et cos (y — <p); en substituant donc ces valeurs dans les équations (7) , leurs seconds membres se trouveront composés d’une suite de termes semblables , et chacun d'eux produira, dans les valeurs de s et

ag4 THÉORIE ANALYTIQUE

sr, un terme correspondant qu’on déterminera de la manière suivante :

Soit Hsin(fo -f- h') un terme quelconque du développement de [rf'sin(v — <p)-f-^sin(v — a)].cos(v — <p), ht désignant ici un multiple quelconque de mt, et H et h ' étant des fonctions données des élémens de l’orbite lunaire ; et soit H' cos {ht -J- h') le terme du développement de [scos(v-<p)-f-^sin(v-a)].sin(v-<p) qui lui correspond , c’est-à-dire qui a même argument ht ; on aura , en ne considérant que ces termes ,

ÿ'+ (-f5)” I- (¥>",v=3m'-(!x^)H'“st4‘ + *'>•

On satisfait à ces équations, en supposant

s = P sin(A<-f- h'), s' = P'cos(ht-f-h').

Si l’on substitue ces valeurs dans les équations précédentes , on trouve, pour déterminer P et P',

PA.4.(*±5=S).mp71-(^£).m.MP+5H)=o, — P7i-+(A+[‘~C).»iPA— (!^).m-(P-f-ÔII')=o, d’où l’on tire

3,r^).„-]<^)„.H+3<é±B^),(n^C).„w , 3 ■ mkll

DigiliÉad by G

DU SYSTÈME DU MONDE. ag5

en faisant pour abréger ,

Chacun des termes des produits

[s'sin (v — ^)-{-5/sin(v •—«)]. cos (v — <p) et

[$cos(p — <p)-j-^sin(^ — a)],sin (p — <p)

introduira dans les valeurs de s et s1 des termes seni'blables, et Ton aura les valeurs complètes de ces quantités en prenant la somme de tous ces termes , et en y joignant les valeurs de s et s' qui ont lieu lorsqu’on suppose nuis les seconds membres des équations (7). On trouve, de cette mafiière,

s =M sin(/t-f-Æ)-4-Nsin(Z^-j-A:,)-f-Psin(/i«-f-/i')-}-etc., s^==M'cos(^+À-)-{-Ncos(Y/-f-Æ')-f-Pcos(/jH-Æ')-f-etc.,

M, N, k, k! étant des constantes arbitraires.

4g. Ces valeurs satisfont aux équations (7)dans toute leur étendue ; elles doivent donc renfermer les lois de la précession des équinoxes lunaires et de la nutation de son axe de rotation. Mais avant d’en examiner les conséquences, il est bon de faire quelques observations qui en restreindront la généralité.

Nous avons dit, n°45, que — ^ — était toujours une quantité très petite ; on verra bientôt qu’il en est de même de C en sorte que si l’on fait C— A C — B

—'q — WH • , — Ç — W* I

ce qui donne A = C.(i — i) et B=C.(ï — i ') , i et ï seront de très petites quantités dont on pourra négliger les carrés et le produit. Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation (n), elle devient

( : — ) . m*l% -f r,. mM sss o ,

\i — 1 — ij 1 — 1 — 1 ’