ii
équation qui donne, en la résolvant par approximation.
!+at— f ±(l +2»— Ï— 8iï)
On tire de là ces deux valeurs , l* = m% -f- 5 im% et l* = 4 iïm*; on aura donc, en prenant pour l et V les deux racines positives de ces équations,
V = im \J ii' ,
ou bien , en remettant pour i et i 1 les valeurs que ces lettres représentent,
Z=ra-5m.(*=ï), ES.
Ces valeurs substituées dans les équations (12) donneront, en observant que i et i1 sont de très petites quantités ,
Les valeurs de s et s1 deviendront ainsi
Dü SYSTÈME DU MONDE. aq7
« = M sin (& -J- /t) -f- N sin (/*{ + & ) + P sin (Af -f- A') + etc.
* — Mcos(/t-f-A)-f- 2.^/ ^.NcosCÜ-j-i'J+PcosCAt+AO+etc.
Si, dans une première approximation, on néglige dans les équations différentielles (7), les produits de l’angle v — < p par les quantités s, s' et y , le second membre de la première de ces équations se réduira à g— ).>sin(i> — x) et celui de la deuxième
à zéro ; Hsin(Af-j- h') -f- etc. représentera donc dans ce cas la latitude de la Lune développée en fonction des sinus et des cosinus du moyen mouvement mt.
Le terme le plus considérable de cette valeur est celui qui dépend de l’argument de la latitude : en ne considérant que ce seul terme et en le supposant représenté par H sin(fo-f-A'), on aura les valeurs qui en résultent dans s et s', en faisant H' = o dans les équations du n°48, d’où l’on conclura P et F j les valeurs de s et s 1 se. réduiront ainsi aux suivantes : s =M sin (/{+ k) -J- N sin (tt + &')-{- P sin (ht •+• h') ,
s'=Mcos(Û + i)q-2.y^/ ^-—^.Ncos^ f-t-i,)+P,cos(At-f-A').
5o. Examinons maintenant ce qui résulte de ces intégrales par rapport aux déplacemens de l’équateur lunaire.
On a , par le n° 46 ,
s = tang 0 sin <p , s' = tang 0 cos <p , d’où l’on tire
tang <p = j, , tang 0 = \/s * -f- 7*.
Si, à la place de s et s' , on substitue leurs valeurs, on aura ainsi
Mcos(/t-ffc)+2.y/ ^£.NcosÇrt+A’)4-P'cos(At+A') * et en supposant pour abréger
N-(i-Vëi)=L. »-(i+v/ra)=K-
il est aisé de voir , n° 66 , livre II, que la valeur précédente pourra prendre cette forme
tang(ip — ht - h') =
Mûn[(i-h)t+k-h'i+Lswr(r-h)t+k'-jn+Ks\nur+h)t+k'+h'-\
V+Mcos[(l-h)t+k-h'l+Uos[tf-h)t+k'-hî+Kœs[{r+h)t+k'+h'y
Si l’on suppose d’abord nulles les deux constantes M et N, cette équation donnera
<p = ht + h' ou <p = 1 8o° -f- ht 4~ h',
selon que P sera une quantité positive ou négative. Voyons quelle est celle de ces deux valeurs qui s’accorde avec les observations.
L’angle mt-\- est la longitude du rayon vec-
teur mené de la Lune à la Terre, comptée à partir du nœud descendant de l’équateur lunaire;
1 8o° -f- ht -f- h' est l’argument de la latitude de la Lune, et par conséquent ht-{-h' \z distance de la Terre au nœud ascendant de l’orbe lunaire;
— ht — h' exprime donc l’angle compris entre le nçeud ascendant de l’orbite et le nœud descendant de l’équateur de la Lune. Or, on a, par ce qui précède.
<p = ht h' et <p — • -vf. = mt -f- c -f- u,
u étant une très petite quantité qui exprime la libration de la Lune en longitude , et qui u’est composée que de termes périodiques. Si l’on néglige ces termes, on aura
mt — {- — ht — — h' = mt -f- c -f- -vJ/ — cp = r o ;
d’où il suit que le lieu moyen du nçeud descendant de l’équateur de la Lune coïncidera exactement avec le lieu moyen de l’orbite , résultat qui s’accorde aved’la théorie fondée sur les observations faites par Cassini et répétées ensuite par Mayer et Lalande.
Dans le second cas, on a
<P = 1 8o° -f- ht -f- h' ;
ou aura donc
mt-\- c-f-4. — ht — h1 = 180%
et le nœud ascendant de l’équateur lunaire coïncidera par conséquent alors avec le nœud descendant de l’orbite. Ce cas pourrait, comme on voit, avoir également lieu ; il suffirait pour cela que P fut une quantité négative ; mais comme le premier résultat s’accorde exactement avec les observations, il faut en conclure que la valeur de P est positive.
Considérons actuellement l’expression générale de tang(p — ht — h'). Il est aisé de voir que l’angle (p — ht — h' ne pourra jamais atteindre l’angle droit en plus ou en moins, si le dénominateur de cette expression est constamment de même signe et plus
3oo THÉORIE ANALYTIQUE
grand que zéro. En sorte que <p sera dans ce cas égal à ht-\-h! plus ou moins un angle toujours moindre que go°, et par conséquent la valeur moyenne de <p sera encore alors ht-\-h'. Si, au contraire, ce dénominateur pouvait devenir nul, la valeur de tang (<p — ht — h') deviendrait infinie; l’angle cp — ht — h' dépasserait alors 90% il pourrait même, par la suite, devenir égal à une ou plusieurs circonférences, et il ne serait plus possible par conséquent d’assigner dans ce cas aucune limite à ses accroissemens.
Or, les observations ayant fait voir que le nœud descendant de l’équateur de la Lune ne s’éloigne jamais que très peu du nœud moyen ascendant de son orbite, et qu’ainsi cp — ht — h! est toujours un angle peu considérable, il en résulte que l’expression
P+M.cos[(Z-A).i+A-;i']+L.cos[(r-A).<+it'-A,]-fK.cos[^+A).i+A'+A,l
ne doit jamais devenir nulle, quels que soient les angles (/ — h)t-\-k — h', etc., ce qui exige que cette quantité ne change pas de signes, et que par conséquent la valeur de P soit plus grande que la somme des coefliciens M, L’, K, abstraction faite des signes de ces quantités. Nous avons vu que lorsque M , L, K sont nuis, P doit être une quantité positive; il faut donc, dans le cas général, que P ait une valeur positive plus grande que la somme des valeurs de M, L, K, pour que <p — ht — Ti soit un angle toujours moindre que l’angle droit; et il faut en outre que les quantités M, L, K, et par conséquent M et N, soient très petites par rapport à P, pour que l’angle
DU SYSTÈME DU *MONDE. 3oi
<p — ht — h! soit toujours fort petit, comme l’observation l’indique. Or, comme M et N sont arbitraires, cette dernière condition est toujours facile à remplir, et doit être considérée comme une donnée fournie par les observations.
Si l’on fait <p — ht — h'=Ç, en sorte que on aura
•\J. = <p — mt — c — u=.ht~\~ h' — ml — c — u-
pour la longitude du nœud descendant de l’équateur lunaire. Or, mt-\-c — ht—hr est le lieu moyen du nœud ascendant de l’orbite ;#on aura donc le lieu vrai du nœud descendant de l’équateur lunaire, en retranchant le lieu moyen du nœud ascendant de l’orbite de l’angle Ç — u, u étant la libration réelle de la Lune en longitude, et Ç un très petit angle déterminé par l’équation
rrr M.sin[(/-A)./4.i-/i']4-L.sin[(r-À).H-t'-A']4K.sin[(^4-/t').<4-^+A'] • P-t-M.cos[(/-A).«+it-A']+L.coS[(/'-A).f+/c'-A']+K.coS[(r+A').t+it'+A/]-
Considérons maintenant l’expression de l’inclinaison de l’équateur lunaire sur l’écliptique fixe. Si l’on ajoute les carrés des valeurs de s et s', en observant que
N = K + L et 2 V|^.N=:K— L, on aura
ng*«=P'+M*+L*+K*+2.MP.co8[(/-A)^q-/i-A,]±2.ML.cos[(f-0/4--tVA]
— 2.MR.cos[(r4-/)#4./t'4-/t]+2.PL.cos[(/'-A)t+it,-A']
— a.PK.cos[(^+A)<-f /t'4-A']-2.LR.cos 2 (?+*').
3oa THÉORIE ANALYTIQUE
Nous venons de voir que pour que <p — ht — h , soit constamment un très petit angle, les constantes M, L et K doivent être très petites, par rapport à P ; l’inclinaison 6 est donc, à très peu près, constante et égale à P. Ainsi donc, la coïncidence des nœuds de l’équateur et de l'orbite lunaire et l’invariabilité de l’inclinaison du premier de ces plans à l’écliptique ne sont pas deux phénomènes isolés dans le système du monde ; ils résultent l’un de l’autre par la théorie de la pesanteur, comme ils sont donnés simultanément par l’observation.
Ou voit, par ce qui précède et par ce que nous avons dit n° 44 > que dans la théorie de la libration de la Lune, on peut regarder comme uulles, ou du moins comme insensibles, les constantes arbitraires qui dépendent de l’état initial du mouvement. Nous avons remarqué semblablement, dans le n° i5, que les observations les plug précises n’indiquaient, dans le mouvement de l’équateur terrestre, aucune inégalité dépendante de la même cause. Ce l'ésultat doit sans doute être étendu à toutes les planètes; et l’on conçoit en effet que l’influence de l’impulsion primitive qu’ont reçue 4es corps célestes, sur les perturbations de leur mouvement uniforme de rotation autour de leur centre de gravité, a dû être depuis long- temps anéantie par les frottemens et les résistances qu’ils éprouvent; en sorte qu’il ne subsiste plus aujourd’hui que celles qui ont une cause permanente.
5 1 . Nous allons maintenant reprendre en détail les différens termes des expressions générales de s et s'
Digifeod
DU SYSTÈME DÜ MONDE. 3o3
et en déduire, comme nous l’avons fait relativement à l’expression de la libration en longitude , les données qu’elles fournissent sur la constitution du sphéroïde lunaire. Il est évident d’abord que pour que les valeurs de s et sr demeurent constamment très petites, comme les observations l’indiquent, il faut que les coefficiens M, N, M', N', P et P' soient très petits, et que de plus, les coefficiens /, Z', h, etc., soient réels. Or, les quantités h, etc., sont réelles de leur nature; mais pour que les valeurs de l et Z' le soient aussi , il faut que les racines de l’éqüation (io) soient non-seulement réelles, mais encore positives, ce qui donne les trois équations, de condition suivantes :
( A+B-C)s-4 . ( A-C) . A-f-(A-B) . B > 1 6 . (A-C) . (B-C) AB, (A — C).(B — C) > o.
Si l’une de ces conditions n’était pas satisfaite, les valeurs de s et s' renfermeraient le temps t hors des signes sinus et cosinus, et pourraient augmenter indéfiniment, ce qui est contraire aux phénomènes observés, La dernière montre que le produit (A— C).(B — C) doit toujours être positif, ce qui exige que C soit le plus grand ou le ■ plus petit des trois momens d’inertie A, B, C. Or, C est le moment d’inertie qui se rapporte au troisième axe principal de la Lune , celui autour duquel elle tourne; il est donc naturel de supposer qu’il est plus grand que les momens d’inertie A, B, qui se rapportent aux axes principaux situés dans lequateur.
3o4 tüéorie analytique
puisque la Luue a dù nécessairement s’aplatir dans le sens des pôles par l’effet du mouvement de rotation. Nous avons déjà vu, n* 44 > S116 ® — A doit être une quantité positive pour que la libration de la Lune en longitude soit toujours peu considérable; C est donc le plus grand, et A le plus petit des trois momens d’inertie du sphéroïde lunaire.
5a. Reprenons les équations (S), n# 46; en remarquant que a est un fort petit angle, on peut les écrire ainsi :
>-ms=-pr-(
<B-Cn
•m*=-pr\
Ki 3)
Les seuls termes de ces expressions qui puissent devenir sensibles sont ceux qui dépendent de l’argument moyen de la latitude, à raison de leur grandeur, et ceux qui acquièrent par l’intégration de très petits diviseurs, circonstance qui peut les rendre considérables, quoique très petits par eux-mêmes. Voyons ce que deviennent dans ces deux cas les quantités que nous avons désignées généralement par P et P'. Si, dans une première approximation, on néglige les termes des seconds membres des équations précédentes qui dépendent des angles 0 et v— <p qui sont de très petites quantités , le second membre de la première des équations ( 1 3) se réduit à
3,”*(nên ) • y sin {? — *) »
et celui de la seconde à zéro.
DU SYSTÈME DU MONDE. 3o5
On a vu, n8 48» que >sin(v — a) représente la tangente 8e la latitude de la Terre vue de la Lune , et a la longitude du noeud ascendant de l’orbe lunaire comptée d’une ligne fixe. Ce point a un mouvement rétrograde sur le plan de l’écliptique fixe, et en désignant par — amt-\-g la partie moyenne de ce mouvement qu’il nous suffira de considérer ici, et substituant pour v la longitude moyenne ml-\-c de
la Terre vue de la Lune, on aura
>sin(v — a) = y sin[(i + £].
Nous avons représenté, n° 48, par 2.Hsin(fa-f-A',) la somme des termes périodiques du second membre de la première des équations (7); en supposant donc que H est le terme de cette
suite que nous considérons , on aura
a étant une très petite quantité dont on peut négliger le carré. Si l’on substitue cette valeur de h dansD, et 'qu’on néglige les termes de l’ordre a*, on pourra lui donner cette forme
D=— A-±^b— . [aCH-3 . (A — C)] . — 6A . • «m4-
On peut négliger le dernier terme de cette expression, à cause de la petitesse de ses deux facteurs, et en faisant H' = o dans les valeurs de P et F, on aura, à très peu près ,
’*r’ aCa — 3.(C— - A)'
Touf. II. 30
,3o6 THÉORIE ANALYTIQUE
Tous les termes des valeurs de s et s' qui acquièreut de petits diviseurs par l’intégration , ont été discutés avec soin , en tenant compte des principales inégalités de la Lune du premier et du second ordre, par rapport à l’inclinaison et à l’excentricité de son orbite , et l’on a reconnu que le seul d’entre eux qui puisse devenir sensible est celui qui dépend de la longitude du périgée lunaire. L’inégalité qui en résulte a une période d’environ six années ; elle dépend de la seconde approximation, c’est-à-dire quelle est du second ordre par rapport aux quantités 0, y et e, en désignant par e l’excentricité de l’orbe lunaire. *Pour la déterminer, reprenons les équations (i3) ; en remarquant que et, désignant la longitude du nœud ascendant de l’orbite de la Lune, comptée du nœud descendant de son équateur, est un très petit angle dont on peut faire abstraction’, on aura
cl1 s
dF
et
dt*
(8+y).sine.sin(^). !
Par les formules du mouvement elliptique , on a
- = i — e cos(ml -f- c — a),
; ■! = mt^ c -^->üI -f- 2e 5ïin(n/f-f.c — a),
. j -. ’î) ‘ YtJ • * . “! Oli '»'■* '• ^ J r * -• 1 ’ k i
e étant l’excentricité etTI la Iqngitnde du nœud ascendant de l’orbe lunaire, ml-\-c la longitude moyenne de la Terre vue de la Lune, et a> la longitude du périgée de l’orbite qu’elle est supposée décrire, ces trois
DU SYSTÈME DU MONDE. 3o,
longitudes étant comptées sur le plan de l’écliptique à partir d’une ligne fixe. De ces équations , en n ayant égard qu’aux termes qui dépendent de la première puissance de e, on tire
[ 1 4-3e cos(mt -f- c — - «)] ,
sini>=sin(m/-f.c-n)+2ecos(mJ+c-)sin( mt-\-c-u>) .
On peut d’ailleurs, comme v — <p est un très petit arc, négligerson carré dans les seconds membres des équations (14), ou, ce qui revient au même, le substituer à la place de son sinus , et supposer son cosinus égal à l’unité. Or, l’expression de cet arc contient, d’après le n° 43 , le terme ae sin(w« ~j~c — a) ; on aura donc
cos(p— <p)=i , sin(p— <p) = 2esin(/»<4.c— a).
En vertu des valeurs précédentes, le second membre de la première des équations (14), en ne considérant que les termes de l’ordre des excentricités de 1 orbe lunaire , devient
~âï\ TT /^+y)t2^<mt+c-n)sin('n<+^)+3«ih(m/-f-ewn)],
ou bien, en négligeant les termes périodiques,
è -(rw^ • (â + y) • e sin (* — n).
On verra, de la même manière que le second membre de la deuxième de ces équations se réduit à
)-(d+v)-[2*sin(mt + e— ri) . sin (mi -f c ~ *)J ,
3o8 THÉORIE ANALYTIQUE
ce qui donne, en négligeant la partie périodique, le ternie
Il faut substituer ces valeurs dans les équations (14); mais pour ne rien laisser à désirer sur cet article, nous observerons que y sin (v> — a) exprime, u° 5a, la latitude delà Terre vue de la Lune, qui est égale et de signe contraire à la latitude de la Lune. Or, l’expression de cette dernière latitude contient, dans la partie qui est due à la force perturbatrice , une inégalité de cette forme
— a e^.K.sin (<y— -II),
laquelle produira , dans le second membre de la première des équations (14)» le terme suivant :
“T* (-~).e>.K.sm(û) — n),
qu’il faudra joindre au terme déterminé plus haut. Les équations (i4)> en observant qu’on a m* = ^ , deviendront ainsi
L’action du Soleil fait varier les nœuds et le périgée de l’orbite lunaire; le mouvement du périgée est direct; désignons par sa longitude moyenne
DU SYSTÈME DU MONDE. 3og
comptée à partir d’une ligne fixe ; le mouvement des nœuds étant rétrograde, soit comme précédemment — 0.011+ g la longitude, moyenne du nœud ascendant comptée de la même ligne; u> représentant la longitude de l’orbite de la Terre vue de Lune, est égal à la longitude de l’orbe lunaire augmentée d’une demi-circonférence on aura donc ainsi ,t , ,
a> — n = (a-\-b).oit+j — g-j- i8o°.
Si l’on substitue cette valeur dans les équations différentielles précédentes et que pour y satisfaire on \ suppose v • y '■ l; y
s =P .si n [(a.+6),mt +fr—g], ■ -J.)
/ = P’. COS [(a + b).mt -\*frrr- g\ ÿ j i > ; u -
a et b étant de petites quantités dont on peut négliger les carrés et les produits par ^ ~~C et — on trou-
vera , a très peu près , .
. . ■ •,* fttr '■>• cscof i eu noannu:. .. • ■ ‘-«>.1
..•<* + ^ f;i , , ■ a+b f'OV.0 1
On aüra donc, en vertu des deux termes que nous
venons de considérer , pour les valeurs complètes de
s et de s ,
s - iè-i^lT)-sin K*
f'=ièS^=T)-cosK,+‘,>,'+^ , ■ ; ,
+ 3 • (^ir)^ a + r
53. Si rbiuélève au carré ces valeurs et qu’on les siibstitue ensuite dans Inéquation tang Q=\/ s* -fen négligeant les produits de trois dimensions / par rapport à e , 0 et y , on aura
+3‘(^^)'C^a+^))eC°3[^1 +a)mt+^C0S[(û+i)OTf+/-£')] • y.
Comparons cette valeur aux observations. En ne considérant d’abord que son premier terme , on a
■i. :• * ■ 'ir Ki a 3'<(C*-A).y •' :: y.) i l-> »
tang 0 = rr- (iS)
’ zCa — 3(G — A)‘
" -< Jl*
Mayer, par des observations faites en. 1749,. avait, trouvé l’inclinaison de l’équateur lunaire égale à i° 29'. MM. Bpuvard et Nicollet, par des observations feifbnvelées dans ces derniers temps et que nous avons déjà citées, ont réduit cette inclinaison à
i®28' 45*: résultat qui ne diffère que de i5" de celui ,
,hi«k • i n ?yrmt,*n ,*> »■ r n,> .«,* « „.n''
de Mayer, et qui démontré avec eviuence linya-
nabilite de I inclinaison moyenne. iNous supposerons
donc 0 = i°28,45,/; on a d’ailleurs par la théorie de
la Lune , - :>
Ôh iura donc, au moyen de l’équatiod (i5),
2a -f- fl Ô+y
o.ooi 7972.
Or, d’après l’ordre de grandeur des trois quantités A, B, C, on a
La première de ces deux quantités est donc moindre que 0.0006, comme nous l’avons supposé n°45.
Reprenons maintenant la valeur complète de tang 6 ; en ne considérant que les termes dont nous avons d’abord fait abstraction , et négligeant, comme nous le faisons , le carré de 0 , on en tire
tangS=3 — — J.— — ^.esin[(i+G)"ït+£]'Sin[(a+^)'7U+/— g-]
+3 -(“jf .«:os[(i +a)mt+C] cos[(a-\-b)mt+f-g],
équation dans le second membre de laquelle on substituera pour 0 sa valeur donnée par l’équation (i5).
Les deux inégalités que cette expression renferme ont pour limites leurs coefficiens, et l’on peut en calculer approximativement les valeurs. En effet, on a, par ce qui précède ,
et par la théorie de la Lune ,
5=o.oo8452, K = o.o5gio6.
3ia THÉORIE ANALYTIQUE
En supposant donc pour un moment.
on aura
.ey =3 i '37", 188.
Ainsi , le maximum de la seconde inégalité de 0 ne s’élèvera pas à i' 57",. c’est-à-dire à la cinquantième partie environ de l’inclinaison moyenne.
Le maximum de la première inégalité ne saurait être déterminé rigoureusement , parce que la valeur
de — ~ est encore inconnue ; mais on peut en fixer
la limite en observant que l’on a
d’où il suit que la première inégalité est moindre dans son maximum que le double de la seconde , c’est-à-dire quelle est au-dessous de ^ de l’inclinaison moyenne de l’équateur lunaire à l’écliptique.
54- Les valeurs de s et de/ produisent deux inégalités semblables aux précédentes, dans la valeur de <p, et par suite, dans l’expression de la distance du nœud descendant de l’équateur lunaire au nœud ascendant de l’orbite. En effet, en ne considérant que le premier terme de ces valeurs, on a
tang<p= ^ = tang.[(i -f- a)mt + c — g].
d’où l’on tire
<p = (i -f- a) mt -f- c — g.
On a d’ailleurs, en faisant abstraction de la libration en longitude qui est très petite ,
4 = <p — mt — c;
on aura donc
4 == amt — g,
c’est-à-dire que le nœud de l’équateur lunaire coïncide avec le nœud de l’orbite , comme nous l’avons démontré généralement n° 5o. Considérons maintenant les termes du second ordre des valeurs de s et s'; faisons pour abréger,
£ = — 4 + amt — g.
En sorte que £ exprime l’angle compris entre le nœud de l’équateur de la Lune et le nœud de son orbite compté sur le plan parallèle à l’écliptiqüe, et dans l’ordre des signes. On aura, en mettant pouf 4 sa valeur * Y ,
C = (i q-fl) mt + c — g — <p,
d’où l’on tire
tang 0.sin Ç = tang 0.sin[(i -+• a)mt -f- c — g — $>)]
=s'sin[(i -f-a)/n< + c — g] — «cos[(i +a)mi + c — g\.
Si l’on substitue pour s et / leurs valeurs, qu’on divise ensuite l’équation résultante par la valeur de tang 6 et qu’on néglige les puissances de e supérieures à la première, ce qui permet de mettre l’arc Ç à la place de son sinus, on aura
3x4 THÉORIE ANALYTIQUE
£ = 3(t)'^|'C08[( 1 +a)"u+c-A]-sin L(.a+b)mt+f-g]
w 3;{~ïéy [~+(a+T)f ^g‘sifl [(,+a),^c^i-co*KQ+i),,,t+/-^-
On peut calculer le coefficient de la seconde de ces
= 0.0008986, au moyen des valeurs de e,a,b, 6, y, B, donne'es précédemment, on trouvera i°2' 45*' pour la .valeur de ce coefficient, d’où l’ou voit qu’en vertu de la seconde des inégalités de £ , les nœuds de l’équateur et de l’orbite lunaires peuvent s’écarter l’un de l’autre de plus d’un degré. Le maximum de la seconde inégalité ne peut encore se déterminer, parce qu’on ignore, comme nous
Bavons dit , la valeur de - , mais on est assuré
qu’il ne saurait surpasser le double de la seconde, c’est-à-dire environ deux degrés. Mayer avait trouvé par ses observations Ç = — 3° 56' ; MM. Bouvard et Nicollet ont conclu des leurs £=I<>4S,• On Peut * attribuer la diflérence des deux résultats, en partie aux erreurs des observations, et en partie aux variations que subit la quantité Ç en vertu des inégalités quelle renferme.
55. M. Nicollet, d’après les derniers calculs qu’il a faits sur les observations de M. 'Bouvard , a trüuvé l’inclinaison moyenne de l’équateur lunaire sur l’écliptique de ia 28' valçur un peu plus grande
que celle que nous avions d’abord adoptée ; on en a déduit ru' ,-i .■> .ï.-.în rl i
Au moyen de cette valeur et de celle de — g— rapportée n° 4^, on conclut, à très peu près, jjo'b . , 3(G — B)
Si à l’aide de ces valeurs et de celles que nous avons rapportées plus haut, pour les quantités a , &, 0, e, etc., on réduit en nombres les coefliciens des inégalités des expressions précédentes de 0 et de £, en faisant pour abréger ... ..ô • 1
on trouve
0 = i® 28' 42*-l“ i3"sin D sinE-)-97'/cosDcosE,
Ç = /f/,f cos D sin E — 37 2 1 u sin D cos E.
Dans ces formules , 6 représente l’inclinaison vraie de l’équateur lunaire sur l’écliptique, £ la distance du hoèiid descendant de l’équateur de la Luné au ittetfd ascendant -de son drbîte. D est la distance moyenne de la Lune à son nœud ascendant et E celle de son périgée à ce même nœud.
: ■ 56. Nous avons dit, n° 4 2 , que la position dès pôles n’était pas stable à la surface de la Luné, ‘ il est aisé de déterminer maintenant les variations qu’ils éprouvent.
En effet , si , à l’aide des données précédentes , on convertit' en nombre' les coefliciens des exprès-
3i6 THÉORIE ANALYTIQUE
sions de s et de s'f n° 5a, on trouve
s = (i° 28' 42')- sin D + 1 3" sin E, s'= (i° 28' 42'). cosD + 97"cosE,
d’où en différenciant et observant que l’on a
dD , , dE , , .
on tire
A = (1° 28' 63"). cos D + o",3 cosE ,
A = — (1° 28' 63"). sin D — 1" sinE.
Les équations (6) donnent
on aura donc
— = 21" sinD — i2r,sinE,
