CHAPITRE PREMIER

Formules générales pour déterminer les attractions des sphéroïdes de figure quelconque.

i . Soit dm l’un quelconque des élémens du sphéroïde ; nommons f sa distance au point attiré ;

exprimera l’action qu’il exerce sur ce point, et en , multipliant cette expression par les cosinus des angles que forme la droite J avec chacun des axes coordonnés, on aura les trois composantes de cette force, respectivement parallèles à ces axes. Soient x,y, z, les coordonnées de l’élément dm f rapportées à trois axes rectangulaires passant par le centre du sphéroïde , et a, b, c les coordonnées du point attiré relatives aux mêmes axes , on aura

f= V(a—xT + —y)% + {c — z)\

On peut regarder l’élément dm comme un petit parallélépipède rectangulaire dont les dimensions sont dx , dy, dz; en nommant donc / sa densité, f étant une fonction des coordonnées x,jr,z variable suivant une loi quelconque, on aura

dm 5= p dxdjdz.

Cela posé, désignons par A, B, C les attractions exercées par le sphéroïde parallèlement aux axes des x , des j et des z, et dirigées vers l’origine des coordonnées, on aura

Ç. (a — a) . dxdydz

B=rrr —

1 — y) . dxdydz

(c — z). dxdydz

les triples intégrales se rapportant aux variables x, y, z, qui fixent la position de dm, et devant s’étendre à la masse entière du sphéroïde.

On voit par ces formules que si l’on désigne par V la fonction qui exprime la somme des élémens du sphéroïde, divisés respectivement par leur distance au point attiré , en sorte qu’on ait

rrr dxdydz

les intégrales devant être étendues à la masse entière du sphéroïde, la fonction V aura cette propriété remarquable, que ses trois différences partielles, prises par rapport aux coordonnées a, b, c du point attiré, donneront immédiatement les valeurs de A, B, C. En effet, les intégrations n’étant relatives qu’aux coordonnées x, y, z, on a évidemment Tome II. 21

Si la valeur de V était eounue, on aurait donc, par une simple différentiation , celles de A, B, C. Généralement, pour avoir l’attraction qu’exerce le sphéroïde sur le point attiré parallèlement à une droite quelconque , il suffira de regarder V comme fonction de trois coordonnées rectangulaires dont l’une soit parallèle à cette droite ; le coefficient de la différentielle de V, relative à cette coordonnée et prise avec un signe contraire, exprimera l’action qu’exerce le le sphéroïde parallèlement à la droite donnée, et dirigée vers l’origine des coordonnées.

2. La fonction V jouit encore d‘une propriété importante , c’est que si on la différencie une seconde fois , par rapport aux coordonnées a, b, c et qu’on ajoute les coefficiens de ses trois différences partielles, cette somme sera constamment égale à zéro. En effet , en représentant, comme précédemment , par f la fonction [(a — x)*-j-(ô — t0*+(c — z)1]7, on aura

çdxdydx

l’intégration devant s’étendre à la masse entière du sphéroïde. Les signes f n’étant relatifs qu’aux variables x, y, z, il est évident qu’on aura

d*Y , d-V d-V rrr , , , I ~ V , “ f “ f 1

d^+dF + ^^A^ + dF + d//

Or , en différenciant deux fois la valeur de j, on trouve

S — a)‘ — Cr — by — (z — ç)»

da * j 1 *

' f by — (x— ay — (z— cy

db • “ J5 >

de*

d’où l’on tire

/ 2Çz — c)a— (x— a)» — (y— by

dnx ^ (ü8 1 r//'a ^

da

on aura donc, par conséquent,

rf»V cfc4

rf“V d’V

daA

CO

Cette équation remarquable a été découverte par Laplace , qui en a fait la base de sa belle théorie de la figure des corps célestes. Elle a lieu rigoureusement toutes les fois que le point attiré est situé au dehors du sphéroïde ou dans l’intérieur d’un sphéroïde creux ; mais elle cesse de subsister lorsque le point attiré fait partie de la masse du sphéroïde, parce que, dans ce cas, la distance ^devenant nulle

entre les limites de l’intégrale > la somme des

trois différences partielles de y se réduit à la forme

ai . .

de | , et elle n’est plus nulle par conséquent pour toutes les valeurs de x, y, z. M. Poisson est le premier qui ait fait remarquer ce cas d’exception de l’équation (r).