Pour déterminer dans ce cas la valeur de la fonc

tion + -jp -f- -jp , supposons une sphère , décrite de l’origine des coordonnées et d’un rayon quelconque, qui embrasse le point attiré et soit comprise tout entière dans le sphéroïde. La fonction V se partagera alors en deux parties U et U', la première relative h la sphère, la seconde à l’excès du sphéroïde sur la sphère. Le point attiré se trouvant situé dans l’intérieur de ce sphéroïde, la fonction

~dâ^ ~db' sera nu“e > • d apres ce qui pré-

cédé ; on aura donc simplement

d*V d‘\ rf*V t/*U </»U </»U

da * f/6* rfc* 3â* "* f £6“ ”* dc% *

Or, les trois quantités ^ prises avec un

signe contraire , représentent les attractions qu’exerce la sphère sur le point dont les coordonnées sont a , b, Cy et qui est intérieur à sa surface ; on trouve, dans ce cas, par l’intégration directe, n° 19, livre Ier,

f/U 4,r{a f/U 4tt{6 d\] façc >

da 3 * db 3 ’ de 3 *

7r désignant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité, et f la densité du sphéroïde. En différenciant les valeurs précédentes, on trouve que la fonction

d‘U , rf‘U , d‘V . , . . .

dâ‘ + ~db' + rf? est eSaIe a — ; on aui’a donc

dcf db‘

d'V de *

Nous avons supposé dans ce qui précède le sphéroïde homogène ; mais cette équation subsisterait encore pour les sphéroïdes hétérogènes, composés de couches très minces superposées les unes aux autres, pourvu qu’on y substitue pour f la valeur de la densité qui convient à la portion du sphéroïde où se trouve le point attiré. En effet, on peut alors regarder le sphéroïde comme composé de trois parties, la couche qui comprend le point attiré, et les couches qui l’enveloppent ou qui sont au-dessous de lui. Ces deux dernières parties du sphéroïde n’influent pas sur le second membfe de l’équation (2) ; cette équation subsiste donc, puisque la partie restante forme un sphéroïde homogène dont f représente la densité. Le même résultat peut aisément s’étendre à un sphéroïde dans lequel la densité varierait d’une manière continue. Concluons donc que, les équations (1) et (2) ont lieu pour des sphéroïdes de forme et de densité quelconques ; la première , toutes les fois que le point attiré ne fait pas partie de la masse du corps ; la seconde, dans le cas contraire. .

4- O11 peut, par une simple transformation des coordonnées a, b, c, donner à ces équations d’autres formes plus commodes dans diverses circonstances. Supposons, par exemple, que l’on désigne par /• le rayon mené de l’origine des coordonnées au point attiré,

3a6 THÉORIE ANALYTIQUE

par 0 l’angle que forme ce rayon avec l’un des axes coordonnés, avec l’axe des x par exemple, et par a> l’angle que forme la projection de r sur le plan des y, z avec l’axe des y; on aura

a = rcosâ, b2=zr sinfl cos a> , cs=rsin 0 sin «. (3)

Nommons r1, 0', a>', ce que deviennent r, 0, co , par rapport à l’élément dm ; on aura de même

x=r/cosô', y—r’ sin0' cos»', z = /sin0' sina/;

de là on tire

f=. s/r* — 2rd. ’cos0 cos0'-f- sin0 sin0' cos(o) — a/)] -f- r*.

On peut d’ailleurs considérer dm comme un petit parallélépipède rectangulaire , dont les trois dimensions sont dr, r'dty , r sin Wdco', et dont la densité est f ; l’expressiqn de V deviendra donc ainsi

C r r çr*dr sin t'df d»

J J J y1' r* — 2 rr . [cos 9 cos S'-f-sinâsinâ'cos (ai — *')]] + r'*’

l’intégrale relative à r1 devant être prise depuis r'=o jusqu’à la valeur de r à la surface du sphéroïde l’intégrale relative à 0, depuis 0=o jusqu’à 0==^, et l’intégrale relative à a>, depuis a>—o jusqu’à a>=27r; en représentant toujours par 7T la demi-circonférence dont le rayon est l’unité.

Si l’on désigne par A, B,C les trois composantes de l’action du sphéroïde sur le point attiré : la première dirigée suivant le rayon r; l’autre, suivant une perpendiculaire à ce rayon , menée dans le plan de 0 ; la

DU SYSTEME DU MONDE. 3a7

troisième, suivant une perpendiculaire à ce plan; d’après ce que nous avons dit n° i , on aura

dr * rdi ’ r sin Ida"

Ces diverses formules sont de la plus grande utilité dans la théorie des attractions des sphéroïdes, ‘ou l’on est sans cesse obligé d’employer les coordonnées polaires pour rendre les intégrations praticables.

Cela posé, des équations (3) on tire

r=i/a- + l,- + c-, “*' = ^7=j=;, tan8.=î.

On transformera , au moyen de ces valeurs, les différences partielles eti différences par-

tielles relatives aux variables r, Q, a, et on les substituera ensuite dans l’équation (i). Pour faciliter cette opération, observons que si l’on regarde V comme fonction des variables a, b, c, et ensuite comme fonction, des variables r, .0 ét u, on aura

dV . dV dW dV dV dV •' ^■da + ^.db + Tc.dc = Tr.dr + 1.a.d6 + -..d^

équation qui doit devenir identique, en y substituant popr dr, d0, dco, leurs valeurs tirées des équations (4). Si, après avoir opéré cette substitution, on compare les coefficiens de da, db, de, dans les deux membres.

on trouyera