COS

da dr

sinfl dV

d\ . * dV , cos Ô co s*

-j- =sin(Jcosû). ~r H

du dr r

dV . • n • dV , cos â sin a>

-j- = sin 9 sin co * —

de dr r

sin # dV r sin 6 ' du ’ cos « dV

dt * r sin ô " dm’

On différenciera de nouveau ces expressions par les mêmes procédés, et l’on aura ainsi les valeurs de

en différences partielles de V, prises

par rapport aux variables r, 9, co; ensuite en multipliant par r* l’équation (i), on la transformera aisément dans la suivante :

= o ou= — wr3, (5)

<:/‘Y cos i dV t i d‘ Y . d*.r\

d$'À sin S ’ dt ' sin ‘fl ’ do3 ' ' dr 3

I f . -.jjvi. i > j ' ■' ;• . ,y. . • : . ; * •

selon que le poiqt attire fait ou non partie du sphéroïde attirant.

L’équation précédente résulte d’ailleurs directement de la différentiation de la valeur de V exprimée en fonction des variables /•, 9, co; elle est souvent employée dans la théorie des attractions des sphéroïdes.

5. Pour en montrer l’usage dans un cas très Simple , supposons que le corps attirant soit une sphère , ou plus généralement un sphéroïde composé de couches concentriques, d’une densité variable suivant une loi quelconque du Centre à la siirfacé , en sorte que la densité / dépende uniquement de la distance de l’élément dm au centre de la couchai Plaçons l’origine des coordonnées a ce centre, et 'soit r sa distancé au point attiré, il est clair que Y sera une fonction Üë r indépendante des angles 9 et co y l’équation (5) se réduira donc à la suivante ;

Considérons d’abord le cas où le point attiré ne fait pas partie du corps attirant. En multipliant par r et en intégrant l’équation précédente, on aura

dV A

O -dr r- 1 •'

A étant une constante arbitraire.

Pour la déterminer, observons que — ~ exprime ,

n° i, l’attraction de la couche sphérique sur le point attiré parallèlement au rayon r, c’est-à-dire l’action totale de cette couche. Si l’on suppose le point attiré extérieur au sphéroïde et situé à une distance infinie de son centre, l’attraction de la couche sur ce point sera évidemment la même que si toute sa masse était réunie à son centre; en nommant donc M la masse de la couche , on aura dans ce cas A=M, d’où l’on conclura généralement

rfV M

!.: lûio-j ’ jr — r“ *

c’est-à-dire que la couche sphérique exerce sur les points extérieurs à sa surface la même action que si toute la masse était réunie à son centre.

Si le point attiré est situé dans l’intérieur de la couche, l’attraction doit être nulle en même temps que r, c’est-à-dire lorsque le point attiré se trouve au centre même du sphéroïde: on a donc dans ce

cas A=o,etl’onen conclura généralement — -^- = o, quel que soit r. D’où il suit qu’un sphéroïde composé

33o THÉORIE ANALYTIQUE

de couches sphériques homogènes et concentriques n’exerce aucune action sur les points intérieurs à sa surfâce.

Supposons maintenant le point attiré compris dans la masse de la sphère dont il subit l’action ; 1 équation (5) devient alors

d V a dr' *" r

’ ~dr

= — 47Tf>.

Si l’on multiplie les deux membres par r*, on aura

d.r'-^ — — 47Tfr'dr-i

d’où l’on tire , en intégrant ,

— ** = 4 Tr.fffdr 4- B,

B étant une constante arbitraire.

Pour la déterpiiner, observons que s’il s’agit de connaître l’attraction d’une couche sphérique sur un point de sa masse, les intégrales doivent être prises depuis la valeur de r qui répond à la surface intérieure de la couche, jusqu’à sa valeur relative au point at-’ tiré. Or, à la première limite , l’action de la couche est nulle; on a donc généralement B=o, et par conséquent

— • 'J Ç = 4 w • ffr*dr. (6)

Le second membre de cette équation, les intégrales étant prises dans les limites précédentes, exprime la masse de la couche sphérique qui agit sur le point attiré. En désignant donc par M' la portion de la couche sphérique comprise entre la surfaçe intérieure

et la surface sphérique passant par le point attiré, on aura

d\ M' dr r* *

valeur qui s’accorde avec celle qui se rapporte aux points extérieurs, lorsqu’on suppose le point attiré situé à la surface de la couche.

Si le sphéroïde était homogène, l’équation (6) donnerait, en l’intégrant,

V = -Çr»4-C,

C étant une constante arbitraire.

Supposons le point attiré placé dans l’intérieur de la sphère dont le rayon est a; il faudra, pour étendre l’intégration à toute la masse du corps attirant prendre les intégrales précédentes depuis r=o jusqu’à r=5 a. Or, à cette dernière limite, la valeur de Y est égale à la masse de la sphère divisée par la distance du point attiré à son centre, c’est-à-dire à

j on aura par conséquent alors

En déterminant donc, au moyen de cette équation , la valeur de C, on aura, relativement à la sphère entière et à un point placé dans son intérieur,

= 27Ta 5 - r*.

Ces résultats sont conformes à ceux que nous avons trouvés par une autre voie, dans le n° 19 du livre I".