CHAPITRE II

Attractions des sphéroïdes terminés par des surfaces du second ordre.

6. Les formules que nous avons développées dans le chapitre précédent sont générales, et s’appliquent à toute espèce de sphéroïdes, quelles que soient leur nature et leur figure. Nous allons , dans celui-ci , nous occuper en particulier de la détermination des attractions des sphéroïdes terminés par des surfaces elliptiques.

Supposons, pour simplifier, que le corps attirant soit homogène, et que sa densité soit égale à l’unité ; on aura f= i , et les formules (A), n° i, deviendront

— ,i ) . dxdjdz

k= rrfi^je=&i

B __ rrr {b—y).dtdydz i*

JJJ 1**1

^ rrr [c—z).dxdydz

J JJ L(a-xr+v-yr:+{c-3)'Y

les intégrales f se rapportant aux trois variables

x, jr, z,. et devant s’étendre à la masse entière du sphéroïde.

Mais l’intégration des expressions précédentes est absolument impossible sous cette forme ; tout ce qu’on peut faire, c’est d’en éliminer l’une des variables, et de les ramener ai nsi à des intégrales doubles. En effet, si l’on intègre la première par rapport à x, qu’on désigne parrbx, la double valeur de x, tirée de l’équation de la surface qui termine le sphéroïde, et que, pour abréger, on fasse

f — )■ + (*— yY + jc^zÿ,

ç' = V/(a + x,)* + {b — jry - (c — iy ,

on aura

k=ffdrdz- (7 — 7) (*)

En intégrant la seconde des formules (a) par rapport à y , et la troisième par rapport à z , ou trouverait, pour B et C , des expressions semblables. Mais on tenterait en vain de pousser plus loin les intégrations, on serait arrêté par des obstacles insurmontables, même dans le cas le plus simple, celui d’un sphéroïde terminé par une surface sphérique.

7. Pour éviter cette difficulté, il faut transformer les coordonnées x , y, z en d’autres variables qui facilitent l’intégration des formules (a), ou permettent du moins de la ramener à de simples quadratures. Ce qu’on a imaginé de plus commode à cet égard, c’est de transporter au point attiré l’origine des coordonnées, et de prendre pour les variables qui déterminent la position de dm , le rayon mené du

point attiré a cet élément, l’angle que fait. ce rayon avec l’un (les axes coordonnés , et l’angle que forme sa projection sur le plan perpendiculaire à cet axe avec l’un des deux autres axes compris dans ce plan. Soit donc r ce rayon, 6 l’angle qu’il forme avec l’axe des x , et fsr l’angle compris entre sa projection sur le plan des^, z et l’axe des y, on aura

x=a — rcos0, jr=b — rsin ô cos <îër, z=c — rsin0sin<sr.

L’élément dm peut être considéré comme un petit parallélépipède rectangulaire , dont les trois dimensions sont dr, rd§ , et r sin 0 dn ; on aura donc dm = r’ sin 0 . drd^dfw , et les trois quantités A, B, C deviendront , par cette transformation ,

h. — fff dr.d^.dcû.sm 0.cos0,

B = fff *fr.<i0.d<».sin*0.cos'sr,

Ç* — fff dr.dü.doù.ûn* 0.sin<zër.

L’intégration de ces formules relativement à la variable r s’exécute sans peine ; mais , pour étendre l’intégrale à la masse entière du corps attirant, il faut distinguer deux cas , selon que le point attiré est situé dans l’intérieur ou au dehors de ce corps. Dans le premier cas , la droite qui passe par le point attiré, et qui se termine à la surface du sphéroïde , est divisée en deux parties par ce point : en nommant donc r et / ces parties, elles devront être prises pour limites de l’intégrale définie , qui sera égale à la somme des deux intégrales particulières qui leur correspondent. On aura donc ainsi

A —fj (r-j-r'),<iô.</'sr.sin 0.COS0, )

B = ff(r-\-r').d§.d<73-. siu*0.coszr, >(c)

C =ff (r-\-r').dQ.dvr .sin* 0.sin<Ztr. )

On remplacera dans ces expressions r et r par leurs valeurs tire'es de l’équation du sphéroïde, et l’on intégrera ensuite successivement par rapport à 6 et à a depuis 0 et ta égaux à zéro, jusqu’à 0 et <ær égaux à deux angles droits.

Dans le second cas , le rayon qui part du point attiré et qui traverse le sphéroïde rencontre sa surface en deux points. Soit r ce rayon à son, entrée dans le sphéroïde, et r ce même rajon lorsqu’il en sort, l’intégrale définie sera égale à la différence des deux intégrales particulières correspondantes à ces limites; on aura par conséquent dans ce cas

A = y/" (/■'' j — /•) . *20 . . sin 0 . cos 0 , j

B = JjC(r' — r).dQ.d<sr. sin* 0.cos<ar, 1 (d)

— /•).i£0.£?<ar.sin* 0.sin<ar. j

On substituera pour ret r' leurs valeurs en fonction de 0 et où , et l’on prendra pour limites des intégrales relatives à ces angles leurs valeurs correspondantes aux points où l’on a r' — r=o, c’est-à-dire où le rayon r est tangent à la surface du sphéroïde.

Supposons maintenant que h , h', h" soient les trois demi-axes respectivement parallèles aux axes des x , des y et des z de l’ellipsoïde dont nous considérons les attractions. L’équation de sa surface, rapportée à son centre , sera

et sa masse sera égale à ^ . M'A*, en nommant tt le

rapport de la circonférence au diamètre.

Transportons l’origine des coordonnées au point attiré , et introduisons dans l’équation (m) les variables r, 6, en substituant pour x , y, z leurs valeurs données dans le n° précédent , on aura

/ cos’«

sin86cos#w sin'GsinV»

■ar.

’acosJ ,

i Àsinflcos»-

, csinâsina^

Si l’on résout cette équation par rapport à r, les deux valeurs qui en résulteront seront celles qu’il faudra substituer pour r et r' dans les formules (c) et (d) : or, si l’on fait, pour abréger,

jr cos*0 sina8cosa«sr sin 0sina'sr

Facosô

= -Tr-+

h'% Asinflcostr

csin9sin<®

g=fh-k.(,

on trouvera, pour les deux racines de l’équation en r,

d’où l’on tire par conséquent ,

al/G

r»y* «JL»». •

les formules relatives aux points intérieurs au sphéroïde seront donc

■ff

sin fl cosfl F K > 'dSi dzr sin2 fl cos F K »

l^dwsin>ôsinKr F

et l’on aura , relativement aux points extérieurs.

dd d<ns sin fl cos6 V G

'■ff

C A/3 dzr sin*ô coss-l/ G

^ J'J'didta fsin‘flsin<»V^G

Les premières formules sont les plus simples, et s’intégrent sans peine par rapport à la variable <& ; les secondes , au contraire , présentent de grandes difficultés à cause du radical qu’elles renferment, et qui rend, sous cette forme, l’intégration impossible par toutes les méthodes connues. Heureusement , si l’imperfection de l’Analyse n’a pas permis jusqu’ici de vaincre cette difficulté, on est parvenu à l’éluder, et à faire dépendre les attractions des ellipsoïdes relatives aux points extérieurs, de celles qu’ils exercent sur les points intérieurs ou sur les points de leur surface. Occupons-nous donc exclusivement des formules Tome II. 22

qui se rapportent au cas où le point attiré est placé dans l’intérieur du sphéroïde : nous supposerons ensuite qu’il est situé en dehors de sa surface , et nous verrons qu’il est toujours possible de ramener ce second cas au premier. ,

8. Si, dans la première des formules (e), on substitue pour F sa valeur, on aura

2 a AA/S du sin fl cos*0 2 b prdidm sin‘8cosflcos*

A = T- JJ K + 1P-JJ ï

2 c sin' 0 cos 8 sin «

Cette expression se simplifie en observant que l’intégrale relative à 6 devant être prise depuis 0 = o jusqu’à 0= i8o°, si l’on représente par P une fonction rationnelle quelconque de sin 0 et cos*0 , on aura généralement entre ces limites f Pcos0 dQ= o, parce que les valeurs de 0 devant être prises à égale distance au-dessus et au-dessous de l’angle droit, la valeur de cette intégrale sera composée d’une suite d’élémens égaux deux à deux et de signes contraires. Les deux derniers termes de l’cquation précédente se réduisent donc à zéro en vertu de cette remarque, et l’expression de A , en substituant pour K sa valeur, peut prendre cette forme ,

A = aa.

On trouverait de même

On peut, ayant même d ’intégrer-ces expressions, en déduire plusieurs propriétés importantes relativement aux attractions des ellipsoïdes. 1 1 "7 * 1 ,

Les intégrations indiquées .étant indépendantes des coordonnées a, b, c du point attiré, on voit que l’itttf action qu’exerce le sphéroïde parallèlement à 1-axe des x est la même pour , tous les points situés dans un même plan perpendiculaire à cet axe.;, Il, en est de tnêrne. relativement aux axes des jr et des z; d’où l’on peut coùclure généralement que les attractions de l’ellipsoïde sur les points placés sur une même ligue droite, passant par l’origine des coordonnées, sont proportionnelles à leur éloignement de son

centré.

Si l’on dîvîse respëctivement par a, b , c les trois qiiaUtités A, B, C, et qu’ensuite oh les ajoute, on

ffôiivé '' r <'lr q-ol v

’ ‘ rjïj' - û «ü bJ.'.

in.'Oq rj« r- <: aui» . . , , • .

lqs intégral es. Revaut être prises depuis S — o j usqu à

GotîTO ^et. .depuis w===o jysçju’à 00 = 7:'. On trouve

entre *çes limites fdû de» sin ô zz= 2tt : on aura donc ' <

fev ,n

vT «.'v.urtyw s\\ v \

34o théorie analytique

On a d’ailleurs, n* i

et d’aprcs la forme des valeurs de A, B, C,il est e'vident qu’on aura

d'M A rf*V B C

; ' ~~ddi~‘‘7ir ~'3ù'mz b* ' de' ~"c> ;■'( f . ; , . a. / ■ : r r- 1 ; „ .ii-LL.*

l’équation ( g ) devient donc ainsi -, /r ■.

. do» T .. trt

équàtidn qui vérifie pour les ellipsoïdes l'équation (2; du rt° 3, qui s’applique généralement, J» des «phéW>Idës quelconques. ( t • r • : •. t r ,

On peut observer encore que les valeurs de A , B, C

ne contenant que les quantités ces vaïetirs ue

varieront pas, quels,que;$oient lç^ tvois axes du sphéroïde, pourvu qu’iM n^ eotrp:pqx. les mêmes rapports. Or , les rapports des trois axes déterminent simplement les excentricités de l’elljpfpidq :jQn peqt cjqnc en conclure que tous les cUip^o'tées débits des foyers exercent sur les points intérieurs des attraplipp^ égales. 11 suit de là qup si l’on suppose le sphéroïde composé d’une suite de icouehes concentriques et semblables, l’action des çouches supérieures au point attiré sera -nulle ; d’ôu Résulte lé théorème suivant; qui n est qu’une extension dé celui què bous avions trouvé n° 19 , livre I,r, relativement à la sphère 'i- Un point placé au dedans (fane couche elliptique , dont la surface intérieure èt la surface extérieure

DU SYSTÈME DU MONDE. 34 r

sont semblables et semblablement placées , est également attiré de toutes parts.

n. Occupons-nous maintenant de l’intégration de la valeur de A. Si l’on intègre d’abord par rapport à a * depuis &)s=o jusqu’à co=7r, et qu’On suppose i : -(jl

cqs*8 sin*0 = ra, cos* 8-f-^îî • sin* 8 ==n>

on aura

Sd» sin 6 cos* 0

77i cosa* -+• 7i sin*»

= T.a'rr.J'

d) sin Scos*â V mn

En remettant donc pour m et n leurs valeurs, on aura