AM
r y'dJ
1 (i+Ay)*Yi+A'y
3cM
Z1 z'dz
Vj
J \A +aV.(i4-/'z*)‘
Les intégrales relatives à y et à z doivent être prises dans les mêmes limites que les intégrales relatives à x, puisqu’en effet la supposition de x==o donne à la fois/-::::© et z=o, et que la supposition de x = i donne / = i et z — i , on peut donc dans B et C changer, si l’on veut, / et z en x, d’où il suit que, si l’on fait
x'dx
on aura, pour déterminer A, B, C, ces formules très simples :
. 3aM T n 3èM d.xh „ 3cM d.\'L
Ces formules s’étendent aux points situés sur la surface du sphéroïde ; car il suffit , pour y avoir égard , de supposer r=r/ dans les expressions de A, B, C, ce qui ne change rien à leur forme.
io. La détermination des attractions qu’exerce un ellipsoïde homogène surles points intérieurs, et sur les
points de sa surface, ne dépend donc plus que de la valeur de la fonction L; mais l’intégration qu’elle exige ne peut être obtenue sous forme finie par les méthodes connues, que dans deux cas particuliers, celui où les quantités A et A' sont égales entre elles, et celui où l’une de ces quantités est nulle : dans l’un et l’autre cas, deux des trois demi-axes h, h', h'1, sont égaux entre eux, et l’ellipsoïde est de l’évolution autour du troisième.
Supposons que h soit le plus petit des trois demiaxes du sphéroïde , et faisons d’abord A=A', ce qui donne h' —II*. Le corps attirant est alors un ellipsoïde aplati vers les pôles, dont h est le demi-axe de révolution ; on aura dans ce cas
L=/ï?ë?=à .(A arc. tang A).
Si l’on différencie par rapport à A la valeur de L, n° g, et qu’on fasse A = A' après la différenciation, on trouve
d. xh (* x*dx i
dx J (l 4- AvXa)' 2A1
(arc. tang
Les attractions de l’ellipsoïde de révolution aplati vers les pôles seront donc déterminées par les formules suivantes :
3oM hs . x3 3feM ih 3 ; X1 3cM *h\ a<
. (A — arc . tang A) ,
. (arc. tang A f^Tv) »
• (arc- ^ng A -^î).
Supposons maintenant à'— o, ce qui donne h"=h. Dans ce cas , h' est le demi-axe de révolution du sphéroïde , et Ton a
L~f *** ‘k’ V/l + *a — log-C^ V/,+A‘).l- ~c ÏT = T* ‘ D°S • + ]/t +*) “ "TT+aJ'
On aura donc pour les attractions de l’ellipsoïde de révolution allongé vers les pôles
' A = [a. V î+T» — log. (a -+- l/i-f-A*)]. |
c= [A. \/T+7> - log . (a + /r+T1)]. |
Si les conditions précédentes ne sont pas remplies, il est impossible d’obtenir d’une manière rigoureuse les valeurs de A, B, C; mais lorsque l’ellipsoïde s’éloigne peu de la figure de la sphère, A et A' deviennent de très petites quantités; on pourra réduire alors la fonction L en série convergente , dont chaque terme soit intégrable , et l’on déterminera de cette manière les attractions du sphéroïde, avec le degré de précision qu’on jugera convenable.
1 1 . Considérons maintenant le cas où le point attiré est extérieur au sphéroïde. Nous avons vu que le radical qui entre dans les expressions différentielles (f) de ses attractions, opposait alors un obstacle invincible à leur intégration. Plusieurs grands géomètres avaient en vain épuisé toutes les ressources de l’Ana-
lyse pour surmonter cette difficulté , lorsque la découverte, due à M. Ivory, d’une propriété remarquable des ellipsoïdes décrits des mêmes foyers, l’a fait enfin entièrement disparaître.
Voici l’énoncé de cette propriété, qu’on peut regarder comme un beau théorème de Mécanique : Si Von nomme points correspondons , les points pris sur la surface de deux ellipsoïdes décrits des mêmes foyers, de manière que leurs coordonnées , respectivement parallèles aux trois axes principaux de ces corps, soient entre elles comme ces axes , les attractions qu’ exerceront , parallèlement à chaque axe, ces ellipsoïdes sur les points correspondons de leurs surfaces, seront entre elles comme les produits des deux autres axes.
En effet , soit M le premier ellipsoïde , et A l’attraction qu’il exerce parallèlement à l’axe des x sur le point dont les coordonnées sont a, b, c; désignons par M' le second sphéroïde , et par A' l’attraction qu’il exerce dans la même direction sur le point dont les coordonnées sont a', b', c ' ; on aura,
A^ffdjdz.Q-i),
A'=ffd/d,.Q.-ÿ, en supposant pour abréger,
f = \Z{a-rir+(b-yr+(c^),,f'.— V (.
f,— \Z(a+x)*+(b-y)'+(c-iY, //= V'
+ .r et — x !, désignant les valeurs de la variable x,
qui se rapportent à la surface de M, et -f-a^et — x't les valeurs de la variable x' relatives à la surface de M'.
Soit, comme précédemment,
/l’équation de la première de ces surfaces ; il faudrait, pour achever l’intégration de l’expression de A , substituer dans ft et f les valeurs de x qui résultent de cette équation ; mais cette opération ne nous conduirait à rien ; on peut au contraire, par une transformation ingénieuse des coordonnées , arriver très simplement au théorème que nous nous proposons de démontrer. Pour cela , aux trois variables x,y, z, qui sont liées entre elles par l’équation (A) , on en substituera deux autres indépendantes entre elles; on fera, par exemple,
xt=hs\np , jz= h' cosp sinÿ , z = A'cos/? cosy;
et l’on voit en effet, en mettant ces valeurs à la place de x,y, z dans l’équation (A), qu’il n’en résulte aucune équation de condition entre les nouvelles variables p et q.
D’après les formules connues pour la tranformation des variables dans les iutégrales doubles, on a généralement ,
Les valeurs précédentes de y et z donnent
dy dz dy dz
dp * dq dq 'dp
= h' h" . sin p cos p.
On aura donc, en vertu de la formule générale , dy dz = h1 h" . sin p cos p dpdq , et par conséquent
A = h' h!' .ff dp dq sin/? cosp . Q — ^
On étendra les intégrales à la masse entière du sphéroïde M, en prenant celle qui se rapporte à p depuis p = o jusqu’à p = 73-, et celle qui se rapporte à q depuis q —o jusqu a q=tf; car il est évident qu’en donnant aux angles p et q toutes les valeurs comprises entre o et i8o°, les variables et z prendront toutes les valeurs comprises entre -j- h' et — h' d’une part, et entre -j-Zi'et — h" de l’autre, c’est-à-dire tous les couples de valeurs qui correspondent aux différens points de l’ellipsoïde.
Soient maintenant k, h', k" les trois demi-axes du second ellipsoïde M', qui se rapportent respectivement aux axes des x', des^' et des z', l’équation de sa surface sera
et si l’on fait
xf 'Z=zkûnp , y' — k' cospûnq , z' = kf'cospcosq , on aura, par l’analyse précédente,
A'= k’if .ffdpdqs\np cos/7.
les intégrales devant être prises depuis p — o jusqu’à p=z7f, et depuis <7 = o jusqu a <7 = , c’est-à-dire
dans les mêmes limites que celles qui se rapportent à la valeur de A.
Comparons maintenant les attractions exercées par les deux sphéroïdes M et JVT, ce qui se borne à comparer entre elles les valeurs de f et de f et celles de f, et f',. Si l’on développe lesdeuxpremièresquantite's, et qu’on substitue pour xt , /, z , et pour x't , ÿ, z', leurs valeurs, on aura
= a? -f- b* +c* — 2 . (ah sinp -j- hh' cosp s\nq -f- ch" cos p cos q)
+ sin’p h'* cos’psin8^ -f- h^eos’pcos^q ,
{'*=0'* +è'a -f-c'* — 2. (a'ksinp -f- b' L' cosp slnq -{• c k” cosp ccsq) , t \-k* sinap -f A'*eos'p sin *q cos p* cos *q.
Si l’on retranche ces deux expressions l’une de l’autre, en observant que les points déterminés par les coordonnées a, b, c et a!, b c' sont des points correspondions , et que, d’après la définition que nous avons donnée , on a ''iJ • ' ; •*» ,
que l’on remarque en outre que les deux ellipsoïdes M et M' ayant mêmes foyers, si loq nomme e et e' leurs excentricités communes, on a
h> —h' -+- e%\ k1* =kt-\-et,
hn = h% -f- e* f k"% = A* + e'* ,
35o THÉORIE ANALYTIQUE
d’où l’on tire
on aura simplement
r"- f‘= (*■-*■) ■(ï+F.+ FT: *r ■
Si l’on suppose, comme nous le faisons, que le point dont les coordonnées sont a' , b' , c' est situé sur l’ellipsoïde M, le second membre de cette équation sera nul, et l’on aura identiquement y = y', indépendamment de toute valeur donnée aux angles p et q. On trouverait, par la même analyse, et l’ex-
pression de A' deviendra par conséquent
A' = k'k' .// dp dq sinp cos P -(y — 0'
En rapprochant cette expression de celle de A, on voit que, quelle que soit la valeur des intégrales indiquées, on aura ,,
