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Ces équations renferment le théorème que nous avons
DU SYSTÈME DU MONDE. 35t
énoncé, et dont la mécanique céleste est redevable à M. Ivocy.
1 2. Il est important d’observer que les équations (h) subsistent quelle que soit la fonction des distances qui exprime la loi d’attraction. En effet, la valeur de A, après l’intégration relative à x, prendra toujours cette forme ,
A = ffRdydz — ffR! djr dz ,
R étant une fonction donnée de la quantité f, et R' une fonction semblable de Or, l’analyse du numéro précédent ne s’appuie que sur la forme des quantités p et /' , et elle est indépendante de celle des fonctions R et R'. Il en serait de même des quantités B et C.
Le beau théorème énoncé n°, 1 1 , et qui établit les relations qui existent entre les attractions qu’exercent les ellipsoïdes homogènes sur les points situés à l’in-* térieur ou à l’extérieur de leurs surfaces , a donc lieu pour toutes les lois d’attraction possibles. Si l’on suppose que les deux ellipsoïdes se réduisent à des sphères concentriques , il en résulte que l’attraction de la grande sphère sur un point placé à la surface de la petite, est à l’ attraction de la petite sphère, sur un point placé à la surface de la grande, comme les carrés des rayons de ces deux sphères, ou comme la surface de la sphère extérieure est à la surface de^la sphère intérieure. Soient donc r et / les rayons de ces deux sphères, A et A' les attractions qu’elles exercent respectivement sur les points de leurs surfaces , on aura
équation qui donnera l’attraction de lq sphère sur un point extérieur lorsque l'attraction sur un point intérieur sera connue, et réciproquement, quelle que soit la loi d’attraction.
Dans le cas de l’attraction en raison inverse du carré des distances, A' exprimant l’action de la sphère dont le rayon est sur un point extérieur, on a‘, n° 5,
on aura donc A = ^ . 7 ré pour l’action de la grande sphère sur les points intérieurs. Cette expression étant indépendante du rayon r de cette sphère, on en peut conclure que les points placés dans l’intérieur d’une couche sphérique sont également attirés de toutes parts. Réciproquement, pour que cette propriété subsiste, il faut que A soit une fonction indépendante de r ; on a alors
H étant une constante par rapport à r, c’est-à-dire que, dans ce cas, l’attraction de la sphère sur les points extérieurs est réciproque au carré de leurs distances à son centre, ce qui exige nécessairement qne la même loi s’observe par rapport à chacun de ses élémens. La loi de la nature est donc la seule dans laquelle une couche sphérique n'aura aucune
action sur les points intérieurs , et la seule aussi dans laquelle cette couche attire les points extérieurs , comme si toute sa masse était réunie à son centre.
i3. Voyons maintenant comment on peut faire sep-' vir le théorème que nous venons de démontrer n® i <t\> à la détermination des attractions des sphéroïdes elliptiques sur les points extérieurs à leurs surfaces. Soient a, b, c les coordonnées du point attiré, que nous supposons situé en dehors de l’ellipsoïde M; imaginons un nouvel ellipsoïde M' décrit des mêmes foyers que M , et dont la surface passe par ce point : ceâ conditions suffiront pour déterminer le second sphéroïde , et il n’y en aura qu’un seul qui pourra y satisfaire. En effet, soient k, k', k ", les trois demiJ axes de M' respectivement parallèles aux axes des x, des y et des z ; cet ellipsoïde ayant les mêmes foyers que le premier, si l’on nomme e et d les excentricités de ses sections principales, on aura . > '
jf® =*» + «*, *"‘ = *‘ + 6'*, (Z)
et l’équation de la surface de M' sera
Puisque le point attiré est situé sur cette Stir&ce, les trois coordonnées à, b, c doivent satisfaire à l’équation précédente ; on a par conséquent
/îa+e*
Cette équation est du sixième degré par rapport à k ; Tome II. s5
mais elle s’abaisse au troisième en faisant A* == t. Elle a évidemment une racine réelle comprise entre zéro et l’infini; car, en supposant k = o et k — on trouve deux résultats de signes contraires ; elle donnera donc toujours une valeur réellepour k, et l’on en conclura, au moyen des équations (/), des valeurs semblables pour k' et k". On voit d’ailleurs que le premier membre de l’équation ( n ) décroît continuellement à mesure que k augmente depuis k — o jusqu a k=£: d’où il suit que cette équation n’a qu’une seule racine réelle.
Cela posé , considérons sur l’ellipsoïde M le point dont les coordonnées a ', b', c' sont déterminées par les équations
ah
u, bh' . , ch"
ce point étant situé dans l’intérieur de l’ellipsoïde M', si l’on suppose
'dx
lA+A*a4V/i-f-/V4'
on aura, pour déterminer les attractions qu’exerce sur lui ce sphéroïde,
K, 3a'M' T , 3b' M.' d. aL r, 3c'M' rf.x'L
Si l’on substitue pour a', c' leurs valeurs , et qu’on observe que M et M' étant les masses des deux ellipsoïdes, on a
M = ^ . hh'h" , M' = -~. kkk" ,
ces formules donneront, en vertu des équations (A), n° h,
A 3aM T B 3JM d aL p 3cM d.x'h
A— -p-.L, «— -jr --gr» L — ~W~dT-
Ce sont les expressions des attractions qu’exerce l’ellipsoïde M sur le point dont les coordonnées sont a , b , c , la quantité k qu’ elles renferment étant donnée par l’équation (n) qu’on peut mettre sous cette forme.
Les formules précédentes serviront à déterminer les attractions de l’ellipsoïde sur les points extérieurs : on voit qu’il suffit d’y changer ken h pour les étendre aux points de la surface, et même aux points inté-
rieurs.
Si l’ellipsoïde était de révolution autour de l’axe a h , on aurait e — e'; l’équation qui détermine A deviendrait , en la divisant par le facteur A -f- e ,
A4 — At.(a,-+-è*-f-c*-— e*) — a*e*z=z o, et les formules (A) dun° io donneraient A = p£| . (À — arc. tang A),
B = SS» '(arc- taagA-^.),
c = IS -(arc- lai>6A-rïr.)-
Enfin, dans le cas de l’ellipsoïde de révolution allongé vers les pôles , ou aura e' =o ; par conséquent
VH— > k*.(a* — e*) — (a* + c*) .e*ss=o;
et les formules (B) du même numéro donneront
A = aA3!*3 • CA‘ ^ 1 “ lo8- Cx+V* >
. B = S -Qog«(A+\/i+^) — !
c == « £a • y^+A* — iog* (a+ y i +A*)^j.
i4- Il résulte des formules (p) , que si l’on nomme M' la masse d’un nouvel ellipsoïde ayant les mêmes excentricités et la même position des axes que l’ellipsoïde dont la masse est M, il suffira, pour déterminer les attractions A', B', C' qu’exerce ce corps sur le point dont les coordonnées sont a, b, c, de changer M en M' dans les équations (p) ; d’où l’on peut conclure qu’on aura
