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A M- ; B 'M. ' =C- Mt-;; rc* ' '

-, a,=£ M" F.ff

c’est-à-dire qu’en général , les attractions de deux ellipsoïdes semblables sur un même point extérieur sont entre elles comme letire masses.

Les trois équations (fc) , n° ii , donnent

Les trois équations (Æ) , n° ip, donn

h'h" h! B hh" B-

* • a » b~ kk" ■

C hh' C

9 C ~ kk C

Si dans les seconds membres de ces équations on

substitue pour a , b, c leurs valeurs n° 1 1, et qu’on Observe que le point düdt les coordonnées sont a! , V , c' étant intérieur au sphéroïde M', on sP

on trouvera

A . B . C . hh'h" ' à +2T + c = .

relation analogue à la précédente et qui doit exister entre les attractions qu’exerce un ellipsoïde homogène sur les points extérieurs à sa surface.

Si le corps attirant n’était pas homogène , mais seulement composé de couches elliptiques de position, d’ellipticité et de densités, variables, suivant une loi quelconque du centre à la surface , on déterminerait, par les formules précédentes, les attractions qu’exercent sur un point donné les deux ellipsoïdes terminés par les surfaces intérieures et extérieures de chacune de ces couches ; la différence de ces deux attractions sera égale à l’attraction de la couche sur le même point, et l’on aura celle qu’exerce le corps entier en prenant la somme de ces attractions partielles.

i5. On peut donc regarder, Comme complète, la théorie des attractions des sphéroïdes elliptiques. La seule chose qu’elle laisse encore à désirer, c’est la valeur finie de la fonction que nous avons désignée par L ; mais l’intégration dont cette valeur dépend est nonseulement impossible, comme nous l’avons dit, dans le cas général, par toutes les méthodes connues ;

elle l’est encore en elle-même, c’est-à-dire que la

valeur de L ne saurait être exprimée en termes finis

par aucune fonction composée de quantités algébriques, logarithmiques, ou circulaires.

Dans le chapitre suivant, nous nous occuperons de la théorie des attractions des sphéroïdes peu différens de la sphère. Ce problème a d’abord été traité par d’Alembert, et, après lui, par plusieurs illustres géomètres ; mais c’est à Laplace qu’on en doit la solution complète ; et les résultats auxquels il est parvenu, par leur fécondité et par leur utilité , nonseulement dans la théorie du système du monde, mais encore dans une foule de questions physico-mathématiques, telles que la théorie des fluides, celles de la chaleur , de l’électricité et du magnétisme, doivent faire regarder les travaux de ce grand homme sur ce point important de la mécanique céleste comme l’une des plus belles productions de son génie.