j% TrfÉORIE ANALYTIQUE

d’où l’on voit que dans l’expression de V la quantitq

v. sera e^ale à , plus à une très petite quantité

de l’ordre et, et toutes les autres quantités v,, v. seront très petites du même ordre.

Supposons généralement

on aura

v. = -1- <zJaU0 , vf0 = ai+3aU,.

On aura donc, pour l’expression de V relative à un point extérieur,

v = Ç + ^ . (U. + U, .5 + U.. £ + etc. ). («)

Considérons maintenant l’attraction du sphéroïde sur les points intérieurs. On a généralement dans ce cas , •

VidrWd»

Supposons que V représente l’attraction de la couche dont le rayon de la surface extérieure est R', et dont la surface intérieure est celle de la sphère du rayon a , en sorte que R' — a est l’épaisseur de cette couche. En intégrant dans ces limites la valeur précédente , on aura •

I f'f'Vtdfi dm

‘JJ ~w~ •

en observant que l’on a , par ce qui précède.

Dü SYSTÈME DU MO>DE. 373

/f?idu'da)' = o.

Si l’on substitue dans cette expression à la place de R', et qu’on rejette les termes qui s’évanouissent par l’intégration, ainsi que ceux qui sont du second ordre, par rapport à et, la valeur de vt deviendra >

on aura donc

V = .(Uo + U,. T- + U. X + etc. ).

Tellq est l’expression de l’attraction de la couche dont • l’épaisseur est axjr' sür le point attiré; en y joignant la valeur de V relative à l’action de la sphère dont le rayon est a sur le même point, ou aura l’attraction entière qu’exerce sur lui le sphéroïde. Or, le point attiré est , par hypothèse , situé dans l’intérieur de la sphère et à une distance rde son centre ; on aura glonc, n° 5 ,

ir % 2,rr*

V = 27TO* y- ,

et en réunissant les deux parties de V, on aura généralement, relativement aux points intérieurs au sphéroïde ,

V = a a* — -y- + a%et • (U. -f- U,.^ -h U,.£; -+• etc.) . (b) Les formules (a) et ( b ) renferment toute la théo-

rie. des attractions des sphéroïdes homogènes très peu différens de la sphère. En différenciant la première par rapport à r, on aura

dv ,

~~ dr ~~ 3r‘

• 2U,.“ -1- 3Ua.^ H- etc.^.

C’est l’attraction qu’excerce suivant le rayon r le sphéroïde sur un point extérieur. Le premier terme de cette valeur exprime, comme on voit, l’attraction de la sphère dont le rayon est a ; les termes suivans sont de l’ordre a. Les deux autres composantes de l’attraction du sphéroïde seraient du même ordre , en sorte qu’aux quantités près de l’ordre du carré de à , l’action totale du corps sur le point attiré est

dW

representee par — ^

Si le point attiré était à la surface même du sphéroïde, on aurait r= a (i -f- «y), en désignant par jr ce que devient jr' quand on y change /j ! et a>' en fjt et a». On aura donc alors, en négligeant les quantités de l’ordre a* , .

V== i^.(,~*7)-f-a»tt.(U0-hü,+ü,+etc.)J

.(g^Ç.Cï-a^+^.CÜ.+aU.+SU.+etc.).)

20. Ce cas mérite une attention particulière, parce qu’il existe, pour les points placés à la surface des sphéroïdes peu différens de la sphère, une relation importante entre la fonction V et sa différentielle , qui

peut sauvent facilite» la recherche «le leurs attractions. Pour démontrer cette propriété, f reprenons l’expression générale de V :

o - ' ' ^\r^dr^dfîàtt' ' '

J rl — 2 rr . V 1 — /“* V • — F*'2 cos(*> — •>')■

Supposons que le sphéroïde soit très peu différent de la sphère dont le uayon est a, et qui est décrite du même centre; soitr'ssa (1 -f-ay') le rayon mené à la surface du sphéroïde, a étant tine très petite quantité dont on néglige le carré et les puissances supérieures. Il est clair que l’on pourra rega refer la fonction V comme composée de deux parties : l’une

relative à la sphère du rayon a, et qui est égale à »

l’autre relative à l’excès du sphéroïde sur la sphère, et que nous désignerons par u. On aura donc ainsi

4*a3 , -JT +

et l’action qu’exerce le sphéroïde sur le point attiré sera

- , /«/V\ — 4*’°* du • •

i \dr) ~ 3 r* dr'

' sir on multiplie par 2 f dette seconde équation , et qu’on la retranche de la première, on aura

v+2r- Tr 3 7 + u+ir.z. ( d )

Maintenant soit dm1 une des molécules de l’excès