j6 THÉORIE ANALYTIQUE

du sphéroïde sur la sphère, et f sa distancewu point attiré ; on aura

Si le point attiré est à la surface du sphéroïde, on a r^=a(i-{-«jr), en désignant par y ce que devient^ lorsque fjt! et a' deviennent /* et a» ; mais comme u

et ~ sont de l’ordre a, et que nous négligeons les

quantités de l’ordre a* , il suffira de faire r = a dans l’équation précédente ; on aura donc à la surface du sphérpïde

Or, on a' généralement f— \/a% — 2 ary-{-r* , en désignant par y le cosinus de l’angle que forme le rayon / avec la droite menée du centre du sphéroïde au point attiré, ou , ce qui revient au même , en faisant

yzszfj,ft' -f- \/i — A4* \A — A4"* cos (a — &').

De là on peut conclure aisément, par la différentiation,

En observant donc que <f/n' désignant l’un des élémens de l’excès du sphéroïde sur la sphère , on a

dm'= ^ da>' == a3a.yd/j.rdct>' , on aura

(r2 — a*} y dpi du

La quantité renfermée sous le signe intégral devient nulle lorsque l’on suppose r=a, c’est-à-dire quand le point attiré est à la surface du sphéroïde, à moins cependant que f ne se réduise en même temps à zéro. Or f est nul lorsqu’on y suppose à la fois > = 1 et r — a, l’intégrale précédente devant être prise entre les limites y = 1 et y — — 1 ; il est donc nécessaire de savoir ce qu’elle devient dans le premier cas. Si les intégrations étaient effectuées, le facteur cor^k mun au numérateur et au dénominateur de la fom^

tion

‘(r* — a?) ÿ dpi du

disparaîtrait, et il serait facile

ensuite d’avoir sa vraie valeur correspondante à l’hypothèse de r—a; mais comme la forme de la fonction y' est généralement inconnue, il faut y parvenir indépendamment de cette intégration. Voici pour cela un procédé très simple. Supposons en général /=/((&', où' ); il est clair que le second membre de lequation (e) devient nul, lorsque r — a, pour toutes les valeurs de f/! et de où' qui diffèrent sensi-

hlement de /x et de ce. Si l’on fait .donc et ce — ce-j-k, et qu’on substitue ces valeurs dans l’équation (e), on pourra y regarder h et k comme des quantités infiniment petites. Cela posé, on^aura généralement

en représentant par Ç une très petite quantité du même ordre que h et k. Si l’on substitue cette valeur dans l’équation (e) , et qu’on néglige la partie dépendante de £, qui sera toujours infiniment petite relativement à la première, en observant quey==/(jx, ce), puisque y est ce que devient y' lorsqu’on y change f x ! et <J en (X et ce, on aura

n+2a.^ = asay •('’*—«*)

Pour faciliter l'intégration, prenons pour origine Àg l’angle que nous avons désigné par 0 , le rayon r, fle qui donne /* = i, \A — /x*= o. On aura simplement alors f— am — 2 aifjtf -f- r*, et en intégrant par rapport à ce', depuis c/=o jusqu’à cez=z27r,

On a d’ailleurs

on aura donc en intégrant

Dü SYSTÈME DU MONDE.

Cette intégrale devant être prise depuis — i jusqu’à ce qui donne J'=r-j~a et f=r — a,

on aura, pour sa valeur complète,^ •

ar(r + a) ar{r — a) r(r* — a*)*

par conséquent

du fcaV

dr r

Si l’on suppose maintenant r — a dans cette équation, on trouve

u + ^a-%=— /çra'a.y. (g)

L’équation (d) , en y substituant a ( i +«/) à la place de r, et en observant qu’aux quantités près de

l’ordre a, ona~= ^ , donne ’■