V-f -2a. = 4- {{'Xa'a.y -f-u-J- ia
On aura donc, en vertu de l’équation (g), aux quantités près de l’ordre a* ,
Cette équation extrêmement remarquable s’étend à tous les sphéroïdes peu différens de la sphère. Elle
38o THÉORIE ANALYTIQUE
< jy
lait voir que, dans la fonction V+ an. toutes les
quantités de l’ordre a disparaissent, en sorte que cette fonction est la même par rapport à la sphère et au sphéroïde qui en diffère très peu , quelle que soit d'ailleurs la position du point attiré à la surface de ces deux corps. Cette équation a d’abord été trouvée par Laplace ; mais la démonstration qu’il en donne dans le second volume de la Mécanique céleste, et qu’il a reproduite ensuite dans le cinquième, a été l’objet d’une controverse fort vive, qui a fait même révoquer en doute par plusieurs géomètres la généralité du théorème qui en résulte. Il me semble que la démonstration qui précède est à l’abri de toute objection sérieuse (*).
ai. Si l’on substitue dans l’équation (h), pour V et 2~, leurs valeurs (c), n° 19, on trouvera
4w.^‘:=U0-|-oUI -J-5U, . . . . -f-(2i-f-i)U,-l-etc.
La fonction y peut donc toujours se développer dans une série de cette forme
/=¥. + ¥. + Y.. . . . -4- Yj-f- etc.
Les quantités Yc, Y, , etc. , étant des fonctions ra- , tionnelles de fi, \/ 1 — ft*.cos a>, \/ 1 — i^.sina, qui
(*) Voir, sur cc sujet, Lagrange, Journ. de l'École Polythechnique , tome VIII ; M. Ivory , Transactions philosophiques, tome Cil ; il. Poisson , Connaissance des Tenu po«r l83o.
DU SYSTÈME DU MONDE. 3Si
satisfont à l’équation aux différences partielles (C). Cette réduction est indépendante de la forme de la fonction^, et doit être considérée comme une propriété résultante. des attractions des sphéroïdes peu diflférens de la sphère. :
Si l’on compare les deux valeurs précédentes de jten observant qu’on a, n° 19, U,= fYtydfJL'(Lo't on trouvera généralement
//Pi/4.W,= £L. .• (I)
On a d’ailleurs, en représentant par Y'0, Y't, etc. , ce que deviennent les quantités Y0, Y„ etc., lorsqu’on y change p et ce en yJ et a>' ,
/ = y: + y; 4- y;.... 4-ÏV+etc.; en observant donc qu’on a généralement, par le n° 18,
ffP$\dy.'dc*' = o, »
n étant un nombre différent de ï, l’équation (/) donnera simplement
les limites des intégrales étant les mêmes que précédemment.
Cette équation renferme l’énoncé d’une nouvelle propriété remarquable dont jouissent les fonctions de la nature de celles que nous avons désignées par Y, et Z„ ; mais elle est plus restreinte ^que la première, démontrée dans le. n° 18, parce qu alors nous *. supposions aux fonctions Yf et Z. toute la généralité dont elles sont susceptibles , tandis qu’ici nous sup-
38à THÉORIE ANALYTIQUE
posons à l’une d’elles la forme particulière des fonctions que nous avons désignées par P,.
La première conséquence qui résulte de l’équation (m), c’est que la fonction y ne peut admettre qu’un seul développement de la forme Yo-f-Y.-f-Y, etc. En effet, supposons que y puisse s’exprimer par les deux séries suivantes ;
* ^==Y04-Y, + Y, + etc.f
y = Z0 + Z, -f- Z, -f- etc. ;
si l’on y substitue fxl et a' à la place de (t et a» , et qu’on multiplie par Pr ces deux séries, on aura généralement :
fr^ff d^da! = Y, = Zj }
d’où il suit que les deux développemens précédens sont identiques.»
On peut conclure généralement de l’équation ( m ) que lorsque le développement de y en série de cette forme Y„ -f- Y, -j- Y, -f- etc. , sera connu, on aura, immédiatement et sans intégration, les quantités U0,
Ü„U„ etc., n° 19, et les valeurs de V et de — -7- de-
viendront, pour les points extérieurs,
v 4yg3 1 4*a a (\ . a y i-° Y -4
\-ïïW)?-Yi ■+etc-)
ûTV \ /foù3 ,
(ai+i)
XY^etc.)
On aura de même , pour les points intérieurs.
d\ far , /i H.r ir 1-1 \ • (
lü~ 3 ^a*\3a'T,+V'T*'"+^+ôâ‘T|+elC' )’ ’ )
Quand le point est situé à la surface du sphéroïde, ces deux dernières formules doivent être identiques avec les premières ; et en effet , si l’on y suppose r—a(i -factj) , et qu’on observe que l’on a, par hypothèse,
Jr== Y0-f- Y, + Y,. . . -j-Yi-f-etc. ,
on trouvera
dV faa'
dr 3 *
équation qui doit exister, comme nous l’avons démontré , pour tous les points de la surface.
Les formules (n), (p) sont dues à Laplace ; elles offrent, sous une forme très simple, les expressions les plus générales des attractions des sphéroïdes peu différens de la sphère. On peut les simplifier encore par les considérations suivantes.
Soit M la masse du sphéroïde que nous supposerons homogène ; on aura
M — fr,*di/dp! doû = i . J'r'sdfJ.,dci)' ;
ou bien , en mettant pour r1 sa valeur a ( i -f -ay') ,
M = -faa'cL.fr'dn'dcd.
Si, à la place dey', on substitue son développement
Y'0-f- etc. dans cette expression, en remarquant qu’on a généralement par le n° it /Y 'tdf/dcà = o , i étant différent de zéro, et que jl’on a , par ce qui précède , fX\dfj!dcû — 4ttY0 , on trouvera
M = — + 47ra3aY0.
En prenant donc, pour la valeur de a, le rayon de la sphère égale en solidité au sphéroïde , on aura Y0 =0 , et le terme Y0 disparaîtra de la valeur àe j, ainsi que ceux qui en dépendent dans les formules
(«) et ( P\
On a généralement
Si l’on suppose i=i dans cette équation, et qu’on substitue à la place de y' son développement , on aura
Y ,=±./f?X,dfi'da,\
D’après la valeur générale de Pi, il est aisé de voir qu’on aura, dans le cas de i— r i ,
P,:=fy*'+/i'. \/i — ^•.sinfiD'-f-A". \A — /*’• cosa/,
h , h', h " étant des constantes, (ba aura donc
Y, = ^ .Jfjr'ftdftdti' 4- ■ //y V I— y*, sin u du Am
+ . ffy'V' i — ■f*'* . cos m'dftdm
.Si l’on désigne par dm l’un des élémens de l’excès du sphéroïde sur la sphère, on aura
dm = a'ia..Jfjldfi,dcà ;
on peut donc écrire ainsi la valeur de Y, ,
Y,= Hfafi .dm-^-H'fa t/ 1 — ft'*s\na' fa\/ 1 — ft1 "cos w .dm ,
H, H', H" étant trois quantités constantes.
Si l’on désigne par x', y' , d les trois coordonnées rectangulaires de la molécule dm, on aura, aux quantités près de l'ordre a,
x' se afi , y=a^ i — /</3.s:n z'zxzn^i — ^‘.cos*'.
Si, de plus, on suppose l’origine des coordonnées au centre de gravité du sphéroïde, on a
fx' dm — o , fy'dm= o, fz'dm==. o.
On aura donc, dans ce cas, Y, = o. Le terme dépendant de Y, disparaîtra par conséquent dans le développement de y et dans les formules («) et (p ), en prenant pour origine des coordonnées le centre de gravité du sphéroïde. Ce résultat d’ailleurs peut aisément s’étendre à toute eèpèce de sphéroïdes.
32. Concevons maintenant le point attiré situé dans l’intérieur d’une couche à très peu près sphérique ; plaçons l’origine des coordonnées au centre , et supposons que le rayon de la surface intérieure soit
a -f- aa. . (Y,-f- Y3-f-Y4 -J- etc.) ,
et que le rayon de la surface extérieure soit de la forme Tome II. a5
THÉORIE ANALYTIQUE a' + a' a, . (Y', -f- Y\ -f- Y'3 -j- etc.).
Si l’on désigne par AV l’attraction de la couche , il est clair qu’on aura la valeur de AV, en retranchant la valeur de V relative au premier sphéroïde , de la valeur de V relative au second ; on trouvera ainsi
AV= 27T.(au — a*) -f* /pra.^jç-.Y' t-\- -g. (Y',
Si l’on veut que le point placé dans l’intérieur de la couche soit également attiré de toutes parts, il faut que AV se réduise à une fonction indépendante des variables r, 6 et «, puisque les différences partielles de AV, prises par rapport à ces quantités, expriment les attractions de la couche sur le point attiré. Cette condition donne Y\ = o, et généralement
équation qui détermine le rayon de la surface extérieure lorsque celui de la surface intérieure est donné.
Si la surface intérieure est elliptique , on a
v '•.ÏUVyf&ûf, 8 SRî
Y,= o, Y4 = o , etc. , et par conséquent - - : ~
les rayons des surfaces intérieure et extérieure de la couche sont donc
<7.(ï + aYa) , a' (i + aY,) ;
d’où l’on voit que ces surfaces appartiennent à deux ellipsoïdes semblables et semblablement placés , ce qui s’accorde avec le résultat trouvé n° 8.
Supposons le rayon de la surface intérieure de la forme a( 1 -f-ay), et le rayon de la surface extérieure de la forme «(i-f-ay-f-az), z étant une fonction de p. et de où qu’on pourra développer en une série de cette forme,
z = Z„ -f* Z, -f- Z, -f- etc.
On aura, par les formules ( n ) et f p), relativement aux points intérieurs et extérieurs ,
aV = • (Z„ -f- |",Z| + -f- etc. ) ,
A'V = fy/rcfa. . (Z0 3^* Z, g—. Za -f- etc.
En différenciant, on aura pour les attractions qu’exerce la couche sur les points extérieurs et intérieurs, suivant le rayon r,
<f.AV 4”*** A, . 2rt „ . 3a* r» \
- •(.z-+s:-z. + 57'z" + etc-)
d.à’Y faci1* f T . n . if* J# , , \
Si l’on suppose donc le point à la surface, qu’on fasse /•= a dans ces formules et qu’on les compare
ensuite, on aura
=4™*. (Z0+Z ,+Z .-f etc.) = 4-Traa z .
D’où l’on voit que si deux points sont situés sur le même rayon, l’un à la surface extérieure, l’autre à la surface intérieure du sphéroïde, la différence de l’action de la couche sur les deux points sera proportionnelle à son épaisseur , et la même que si la couche était sphérique.
a3. Considérons présentement un sphéroïde hétérogène peu différent de la sphère, et composé de couches homogènes dont la figure et la densité varient suivant une loi quelconque. Soit a{ 1 -f-ay) le rayon d’une de ces couches ; si l’on développe y en série Y0 -f- Y, + Y, -(- etc. , les quantités Y0 , Y, , Y„ etc., seront des fonctions de a variables d’une couche à une autre ; et en différenciant par rapport à a la première des équations (m), op aura pour la valeur de V relative à la couche dont l’épaisseur est da-\- a. day, et dont nous représenterons par / la densité ,
k.fio’+bï.fd.ÇaK Y.+£.Y,+£.ï. + etc.
Si l’on regarde , dans cette différentielle , f comme une fonction de a , et qu’on intègre relativement à cette variable, on aura pour la valeur de V qui se rapporte au sphéroïde entier,
V=£ • Y,H-etc.).
Les intégrales devront être étendues depuis a — o jusqua a=a', en nommant a ' la valeur de a correspondante à la surface.
Pour avoir l’attraction du sphéroïde hétérogène sur un point intérieur faisant partie de la couche dont le rayon est a ( 1 -J- ay) , on emploiera la première des formules (n) depuis a— o jusqua la valeur de a répondant à cette couche , et la première des formules ( p ), depuis cette valeur de n jusqua a = a, cette dernière valeur se rapportant à la surface. Si , après avoir différencié ces équations par rapport à a, on les multiplie ensuite par f, et qu’on intègre leur somme, on aura
+2 » .f(.da*+ 4*«. ^ >.c/.^a Y0+ j- Y,-f ^ . Ya -f- ete.^.
Cette valeur représente l’attraction du sphéroïde hétérogène sur les points intérieurs. Les deux premières intégrales devront être prises depuis a— o jusqua a=za, et les deux dernières depuis a — a jusqua a— a'. Il faudra en outre, après Jes intégrations, substituer a au lieu de r, dans les termes multipliés
par a, et ■ ^ au lieu de ^ , dans les termes qui sont
indépendans de a.
24* Il nous reste à montrer comment on peut parvenir à développer la fonction y // , co) dans une série de la forme Yc -f- Y, -{- Ya -f- etc. , les quantités Y0, Y,, Y„ etc., étant déterminées par la condi-
3ç>o - THÉORIE ANALYTIQUE
tion de satisfaire à lequation
i Çi —}~ 1 )Y j — o.
Si l’on désigne par K„ le coefficient de cos nu> dans la valeur de Yj, on aura
dp J
dp
et la valeur la plus générale de K„ qui satisfera à cette équation, sera l’expression de Pi du n® 17, en la multipliant par une constante arbitraire; c’està-dire qu’on aura
