etc

On aura donc , pour la partie de Y, dépendante de l’angle nu,

(1 — p')* ■Q*1-" — ' ^f(a7 Yj~~^ A*i~'l~*~betc-^j . (A,sîn w4-B,co5n«),

A„ et B„ étant deux constantes arbitraires.

Si l’on fait successivement n=o, n=i, n=2...rt~i dans cette expression , et qu’on ajoute entre elles toutes les fonctions qui en résulteront, leur somme sera l’expression de Y(, qui renfermera, comme on voit, at+ 1 arbitraires, B0, A,, B,, etc. Si l’on suppose ensuite 1= o , i~ 1 , etc. , on aura les valeurs des fonctions Y0, Y,, etc., et leur somme Y, 4- Y, 4- Y. .... 4- Y, renfermera (i 4“ 0* cons“ tantes indéterminées.

Dü SYSTÈME DU MONDE. 3g i

Soit maintenant S une fonction donnée, rationnelle et entière, des trois coordonnées rectangulaires x, y, z, qu’il s’agit de développer en série de la forme Y„-f- Y, -f- Y, + etc. Voici le moyen qu’on emploiera pour y parvenir. Si l’on transforme les variables x , y y z en trois autres r, fi, a> , déterminées comme dans le n° 4 , on aura

x—rfx, y=r. \/i — (jl%. cos a, s = r. \/i — /4*.sin« ,

en substituant ces valeurs dans S , cette quantité deviendra fonction rationnelle et entière de fz , \/i — /U.*cos« et \/ 1 — ytt'sina, et l’on pourra la développer en fonction des sinus et des cosinus de l’angle ai et de ses multiples. Si l’on suppose donc que S soit la fonction la plus générale de l’ordre s, sinno» etcosno), dans ce développement, seront multipliés par des fonctions de la forme

(i — /*.*)“ . (Aj u'~" -f- CfiT*- + etc.) ;

d’où l’on voit que la partie de S dépendante de l’argument «a» renfermera 2 ($ — n-\- 1) arbitraires. La partie de S qui dépend de l’angle ai et de ses multiples, renfermera donc ^(.y-f-i) indéterminées; la partie indépendante de l’angle a en renfermera $4- J » la fonction S contiendra donc (s 4- 0* constantes indéterminées.

La fonction Y04- Y,4- Y,. . .4*Y, renferme pareillement (s-f*1)* arbitraires; il sera donc toujours possible de transformer S dans une fonction de cette forme.

3ga THÉORIE ANALYTIQUE

Pour cela , on prendra l’expression la plus générale de Y, , on la retranchera de S , et l’on déterminera les arbitraires de manière que les puissances et les produits de p et de \A — jn* de l’ordre s disparaissent de la différence S — Y,, qui deviendra ainsi une fonction de l’ordre s — i , que l’on désignera par S'. On prendra l’expression la plus générale de Y(t 0 et on la retranchera de S'; on déterminera les arbitraires de manière que les puissances et les produits de /ut. et de V i — f de l’ordre s — i disparaissent de la différence S' — Y(,i5, et ainsi de suite. On déterminera successivement de cette manière les fonctions Y,, Yc,0, Y(f 0, etc., dont la somme représente S.