F CT' 1F

d’où l’on tire

£h'1 — yh'* = n* . (1ï% — h"*).

Le second membre de cette équation est indépendant du troisième axe h de l’ellipsoïde; il faut donc que le premier le soit pareillement. Or, si l’on remplace £ et y par leurs valeurs données n° 10, on verra que, pour satisfaire à cette condition, il faut nécessairement supposer h!=-lf ; alors l’ellipsoïde est de révolution autour de l’axe des x;ona par conséquent £=y, et les équations ( a ) se réduisent à la suivante :

3yf>

Si h est le plus petit des trois axes, l’ellipsoïde est aplati ; dans le cas contraire, il est allongé vers les pôles. Supposons d’abord le sphéroïde aplati , et

faisons comme dans le n° g, — ^ — = A*, d’où l’on À’*

tire — = r + A* ; on a d’ailleurs, en désignant par

M la masse de l’ellipsoïde , et nommant f la densité, M = 3 7 Tfhh!* y ou bien M = f 7Tf . (r +A')./<3. Les formules du n* io donneront donc ainsi

* = 4 — -.(A— arc. tangA),

C = 27Tf. .(arc. tangA — -j-—).

Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation (£), et que , pour abréger, on fasse q , on en tire

arc.tangA = ^±g£.

Cette équation étant résolue par rapport à A, donnera le rapport des deux axes de l’ellipsoïde. Si la valeur de cette quantité est réelle, il y aura toujours , pour une valeur de n donnée , une figure elliptique qui répondra à l’état d’équilibre ; si elle est imaginaire , l’équilibre de la masse fluide ne pourra point exister avec une pareille figure. Enfin,

DU SYSTÈME DU MONDE. 3p7

s’il y a plusieurs valeurs de A qui conviennent à l’équation (2) , il y aura aussi plusieurs figures d’équilibre correspondantes à un même mouvement de rotation.

26. 11 convient donc de discuter avec soin l’équation (2) , et comme elle est transcendante , il faut pour cela recourir aux considérations géométriques, qui sont très utiles dans ces sortes d’occasions. Faisons donc

? — 9^-£3 “ arc> tanS A

et regardons comme l’ordonnée d’une courbe dont x représente l’abscisse. On voit d’abord que si l’on change le signe de X , l’ordonnée <p conserve , au signe près, la même valeur : d’où il suit que la courbe que représente l’équation (3) est semblable du côté des abscisses positives et du côté des abscisses négatives ; ses deux branches couperont donc l’axe des abscisses à des distances égales de l’origine , et donneront les mêmes figures de l’équilibre. Il suffira par conséquent de considérer la partie qui répond aux abscisses positives. Cela posé, si l’on fait croître À depuis À = o jusqu’à Ac= 00, l’ordonnée <p commence et finit par être positive ; d’où il suit qu’entre ces deux limites la courbe coupe un nombre de fois pair l’axe des abscisses , et que par conséquent il y a toujours au moins deux valeurs de A qui satisfont à l’équilibre.

En différenciant l’équation (3), on trouve

«J® 6a1 . [(/A* -f- ( i oq — 6)a* -f- 9 q]

et la supposition de d<p = o donne

d’où l’on tire

Ce sont les valeurs de A* qui correspondent aux valeurs maxima et minima de l’ordonnée <p. Comme ces valeurs ne sont qu’au nombre de deux, il est clair que <p n’a qu’un maximum et un minimum du côté des abscisses positives, ce qui exige que la courbe ne coupe l’axe des abscisses qu’en trois points, en y comprenant l’origine. 11 ny a donc que deux valeurs de A* qui répondent à l’équilibre.

L’équation (5) détermine aussi une limite des valeurs de 7, au-delà de laquelle l’équilibre n’est plus possible avec une figure elliptique. En effet, si l’on suppose

il est clair qu’en donnant à 7 une valeur plus grande que celle qui est déterminée par cette équation , la valeur de A* qui en résultera sera imaginaire ; les ordonnées <p ne seront donc susceptibles ni de maximum ni de minimum , et la courbe ne coupera jamais l’axe des abscisses. L’équation précédente donne

Dü SYSTÈME DD MONDE.

y = o.375o, d’où l’on tire A =1.7322;

mais on peut assigner à ces deux quantités des limites plus approchées.

Pour cela, j’obserYe qu’il peut arriver que la courbe soit simplement tangente à l’axe des abscisses sans le toucher ; on a alors à la fois dp = o et p=. o.

La première de ces équations donne

et cette valeur, substituée dans l’équation (3), donne

arc. tang A =

7A5 + 3oa?i+27A 7A,+9>i

( 1 -j- Aa) (3 + (9 + A‘) ( i -j- *’) (9 4- A*;*

Cette dernière équation , en la résolvant par approximation, donne

A = 2. 5292, d’où l’on tire 7 = 0.33701,

le rapport de l’axe de l’équateur à l’axe des pôles étant exprimé par la quantité \ /ï+J? , il est, dans ce cas, égal à 2.7197.

Nous avons supposé généralement 7 = — ; soit T

le nombre de secondes que l’ellipsoïde emploie à faire

une révolution autour de son axe , ^ sera la vitesse

dont est animée la molécule située à l’unité de distance de 1 axe de rotation , et la force centrifuge de

cette molécule sera -PL ; on aura donc

4oo

Il suit de là que, pour les masses de même densité, les quantités q sont proportionnelles à la force centrifuge correspondante au mouvement de rotation, ou en raison inverse du carré du temps de la rotation. La valeur de q par rapport à la Terre est de 0,005449^7 > et la durée de la rotation de cette planète de o', 99727 ; d’où l’on peut conclure que pour une masse fluide de même densité que la Terre, la durée de la rotation, correspondante à la limite 0,53701 de q, serait de 0^,10090. La masse fluide ne pourra donc pas être en équilibre avec une figure elliptique, si le temps de sa rotation est moindre que o*, 10090; et s’il surpasse cette limite, il y aura toujours deux figures elliptiques, mais non davantage, qui satisferont aux conditions d’équilibre.

27. Nous avons supposé jusqu’ici l’ellipsoïde aplati aux pôles; voyons maintenant si l’équilibre pourrait exister avec une figure elliptique allongée vers les pôles. Il faut, dans ce cas, faire A* négatif; soit donc A* = — A'*, la quantité A'* étant supposée positive et plus petite que l’unité, parce que sans cela Y^i -j-A'* devenant imaginaire, l’ellipsoïde se changerait en un hyperboloïde. Si à la place de A on substitue sa valeur ± A' \/ — 1 dans lcquation (4), . on trouve

*>f, ^ r.t 1 >.!■>'• L.ioAr.îd/ • ■ 1 ' if

dx V (1 - a'*) (9 — 3a'*/ »

DU SYSTÈME DU MONDE. 4oi

et pour que l’ordonnée <p soit un maximum , il faudra supposer

Or , il est évident que tous les termes de cette équation étant positifs lorsqu’on donne à A'* une valeur comprise entre A'* =o et A'* = i, cette équation est alors impossible : la courbe ne cqupedbnc jamais l’axe des abscisses entre ces limites; il n’y a donc pas d’équilibre pôssible avee une figure elliptique allongée vers les pôles.

i; 28. Considérons maintenant les variations de la “pesanteur à la surface de. l’ellipsoïdç. La pesanjtppr ejjt Jp résultante de, toutes te^ forces qui agissent sur. ,.qu point matériel placé à cette surface,., Soit p cette rpr sultan te; en désignant comme précédenmientparzzx. , lè , cy les attractions de l’ellipsoïjde , par n sa vitesse de rotation-, on aprp ! W ,1 i no’! iï

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i-q uni' . !• !•! al ,■<, «••>).» u.ttenq

U résul |e; d-’qbord. do Cette équatiqn qué la pesaniteuriaux diffère ns poiéts d’un : rayon, du (sphéroïde est proportionnelle à leurs distances du centre; en sorte que si l’on connaît là pesanteur à la, surface

on aura immédiatement celle qui s exercé dans l’intérieur de l’ellipsoïde. , ^ ^

Considérons en particulier l’ellipsoïde de révolution: on a, dans ce cas, ~ \

i.t , (J>* -f- li ii-i'h