Tome II

4oa THÉORIE ANALYTIQUE

d’où , en vertu de l’équation (A) , on tire

On a d’ailleurs, par l’équation de l’ellipsoïde ,

par conséquent ,

A l’équateur, on a «= o , et par suite p = ^ ; aux

pôles , on a « = A et.yB = aA ; la pesanteur à l’équateur est donc à la pesanteur aux pôles, comme le diamètre de l’équateur est à l’axe des pôles.

29. Déterminons la relation quiexisteen général à la surface de l’ellipsoïde entre la pesanteur et la latitude. Si l’on nomme t la normale à l’ellipsoïde prolongée jusqu’à la rencontre de l’axe de révolution ^ et qu’on prenne pour plan des x , y, le méridien passant par le point de l’ellipsoïde que l’on considère, on aura , en nommant a et b les coordonnées de ce point ,

On aura donc - “Y.

P » 00 e.." '■> . ■: jio : n.'it

d’où il spitque Ut pesanteur est proportionnelle à la

• l ^ . i'kJ 1

Dü SYSTÈME DU MONDE. 4o3

normale de l’ellipsoïde prolonge'e jusqua l’axe de révolution.

Nommons 4 le complément de l’angle compris entre la normale et l’axe de révolution ; 4 sera la latitude du point de l’ellipsoïde que l’on considère;

on aura ainsi b = — Si l’on substitue cette vacos 4

leur dans l’équation de l’ellipse, et qu’ensuite on élimine, à l’aide de l’équation résultante , a de la valeur précédente de t, on trouvera

Si dans cette équation on substitue pour a sa valeur,

et i -f- À* à la place de - — rr~ , on trouvera

; P — ^ ( I 4- V) ■ (* — arc -tanftA) ,

• , A’ . 1/ rï-' A* COS1 4

On aura, au moyen de cétté équation, lk pcsariteur correspondante à une latitude donnée; il ne s’agit plus, pour en faire usage, que de déterrrtirtér les constantes qu’elle renferme.

En nommant T le nombre de secondes qué l’ellipsoïde emploie à faire une révolution autour de son

Ta • ■ o.

axe, nous avpns trouvé, na 26, qz=t~; dit tire de là

3Tt

4 Vf

TF-

Soit c la longueur d’un degré du méridien , mesuré à la latitude 4; le rayon osculateur de ce méridien est, par la nature de l’ellipse, — — ^ Ou

(i -f- A* COà*^.)*

aura par conséquent

(i -f- a*) An-

(l + A4COS*3)/)*

et cette équation , combinée avec la précédente , donnera

!/ 1 -f- a4cos’4'

i8o°.c.(i-f-À* cos*4) . —

La valeur de p deviendra ainsi

p= 1 8o° . c . ( t -f- A*cos* 4) •

A — arc. tarif; A

équation qui ne renferme plus que q d’inconnu. Si l’on nomme l la longueur du pendule simple qui fait ses oscillations dans une seconde de temps , on aura , n° 17» livre Ier, pz^z7t*l. En substituant pour p cette valeur, 1 équation precedente donnera , pour déterminer q ,

2160 . c . (1 -4- A* cos* -J,), (a — arc . tang a) »AJrf“ '

Cette équatiou , combinée avec l’équation (3) du n° 26, fera connaître la valeur de q, et celle de

A, au moyen de la longueur du pendule à secondes et de la grandeur du degré, observées l’une et l’autre à la latitude *>{..

Supposons *4/ = 45® et q une très petite quantité, comme cela a lieu pour la Terre; ces équations donneront , en les développant ,

720^1 1 etc

V— WT* 4 ’ UfT* / + ’

+ <7* + etc.

On a trouvé , par la mesure de l’arc du méridien terrestre , et par l’observation c[u pendule qui batiles sefcondes sous le parallèle de 45°,

c=min" l — om,g93452.

On a de plus T = 86164* ; on conclura de là

Cette dernière valeur donne Vi-f-A’cr:! .oo43344> c’est le rapport de l’axe de l’équateur à celui du pôle ; ces deux axes sont à très peu près entre eux comme 231,7 est à 25o,7, et les pesanteurs à l’équateur et aux pôles sont, comme on l’a vu n° 28, dans le même rapport.

On peut encore déterminer le demi grand axe h du pôle au moyen de l’équation (6). En effet , en faisant 4== 011 en 6re

t: l la A

^i8oVc.(i + !*«)* 180°. c , iA.__étc

4o6 THÉORIE ANALYTIQUE

d’où il résulte, eu réduisant cette formule en nombres ,

11 est à remarquer que la limite que i)ous ayons trouvée pour q , n° 26', n’est pas, comme on aurait pu l’imaginer, celle où le fluide commencerait à se dissiper en vertu d’un mouvement de rotation trop rapide. En effet , on a vu , n° 28 , que la pesanteur à l’équateur est à la pesanteur au pôle dans le même rapport que le diamètre de l’équateur est à l’axe du pôle; rapport qui, dans ce cas, est celui de 1 à 2,7197; d’où il faut conclure que si, audelà de la limite 0,83701 de q , l’équilibre ne peut suHsisteravec une figure elliptique, c’est qu’il est alors impossible de donner à la masse fluide une figure elliptique telle, que la résultante de ses attractions et de la force centrifuge, soit perpendiculaire à sa surface.

3o. Nous venons de voir, n° 26, que, pour un mouvement de rotation donné, il sera toujours possible d’assigner deux figures elliptiques qui satisferont aux conditions d’équilibre; mais il n’en faut pas conclure que ces deux états d’équilibre correspondent à la vqême force d’impulsion primitive , parce que le mouvement de rotation que prend la masse fluide dépend non-seulement de l’intensité de cette force, rpai$ encore de la manière dont elle.lui est appliquée.

En effet, considérons une masse fluide agitée primitivement par des forces d’impulsion quelconques, et ensuite abandonnée à elle-même et à l’attraction mutuelle de toutes ses parties. Par le centre de gra-

DU StSTÊME DU MONDE. 407

vite de la masse , concevons un plan qui soit celui par rapport auquel la somme des aires tracées par chacune des molécules du fluide multipliées par leurs masses est un maximum ; ce plan conservera sans cesse cette propriété, et lorsque, après diverses oscillations du fluide, son mouvement deviendra un mouvement uniforme de rotation autour d’un axe fixe, l’équateur de la masse se confondra avec le plan maximum des aires , et l’axe de rotation sera perpendiculaire à ce plan. Soit donc Wdt la somme des aires décrites pendant l’instant dt, à l’époque où la masse commence à s’agiter, par les projections de chacune des molécules fluides sur ce plan, multipliées par les masses de ces molécules ; cette somme restera constamment la même pendant toute la durée du mouvement. Or si l’on désigne , comme nous l’avons fait, par n , la vitesse angulaire de rotation commune à toutes les molécules de la masse, et par s/b* -j- c% la distance de la molécule dm à l’axe de rotation , l’aire décrite par cet élément , projetée sur le plan de l’équateur et multipliée par sa masse, au

bout du temps dl, sera ^ ( b * -f- c*)dm. On aura donc

l'intégrale S devant s’étendre à la niasse entière du fluide.

Or S.(£4-f- c*)dm est le moment d’inertie de la masse relative à l’axe de révolution. Par là nature

des ellipsoïdes, ce moment est égal à ~5'.As.(i -f-À*)4.

4o8 THÉORIE ANALYTIQUE

On aura donc

D’ailleurs, en désignant par M la niasse du fluide, on a

Au moyen de ces deux équations , on trouve

nS 25h* (-^y (,+*•)"*

Nous avons représenté par q cette quantité, dans le n° a5; en faisant donc q'z= on aura

qz=q'(i -{- Af;i, et l’équation (2) du même numéro deviendra

t)A + 2?,A',(l-f-Xa) S 9+3a*

arc . tang A = o.

On déterminera A au moyen de cette équation, et en substituant sa valeur dans l’expression de M, on en déduira la valeur de h.

Nommons <p la fonction que représente le premier membre de l’équation précédente; cette fonction doit être égale à zéro , pour satisfaire aux conditions d’équilibre ; elle commence par être positive si l’on suppose très petite la valeur de A, et elle devient négative lorsqu’on suppose A infini. 11 y a donc tou-

jours entre ces deux limites une valeur de A qui satisfait à 1 équation <p = o. Par conséquent, quel que soit q' , il y a toujours une figure elliptique qui convient à l’équilibre de la masse fluide.

En différenciant la valeur de <p, on trouve

La valeur de A qui correspond à <p=o rend négative la fonction

4~ J8qf — [X*q' 4“ 18 (i 4- A*)3].

Cette fonction conserve ensuite toujours le même signe à mesure qu’on fait croître la valeur de A, parce

que la partie positive •^^-4-187' diminue sans cesse,

tandis que la partie négative — [XVy'-f- 18 (1 4* A*)3 ] augmente. La courbe dont <p représente l’ordonnée ne peut donc couper une seconde fois l’axe des abscisses, et par conséquent il n’y a qu’une seule valeur de A qui satisfasse aux conditions de l’équilibre.

3i. Concluons donc de ce qui précède: i°. quune masse fluide homogène , clouée d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe, peut toujours être en équilibre avec deux figures elliptiques différentes ; 20. que pour une même force d’impulsion primitive , il ri y a qu’une seule figure elliptique qui satisfasse à l’équilibre.

Le premier de ces résultats suppose que la durée

4>o THÉORIE ANALYTIQUE

de la rotation de la masse fluide n’est pas au-dessous de la limite que nous lui avons assignée n° 36 ; mais quand bien même cette condition ne serait pas remplie à l’origine du mouvement , il n’en faudrait pas conclure que l 'équilibre sera à jamais impossible avec une figure elliptique. On conçoit , en effet , que la masse fluide , après diverses oscillations, peut s’aplatir de plus en plus sans cesser /l’être continue , en vertu de la ténacité de ses parties. La durée de la rotation augmente ainsi progressivement, et elle finit par atteindre la limite qui convient à l’équilibre. La masse fluide prend alors la figure d’un ellipsoïde; et l’on voit , en effet, par le second des théorèmes précédens, qui a toute l’étendue possible , que , quelles que soient les forces primitivement imprimées à ce fluide, ou peut toujours assigner une figure elliptique qui satisfasse à son équilibre. En général, cette figure est unique, et elle est déterminée par la nature des forces qui ont produit le mouvement. L'axe de rotation est celui des axes passant par le centre de gravité de la masse , par rapport auquel la somme des momens des forces primitives du système était un maximum.