CHAPITRE V

De la figure qui convient à l'équilibre dune masse fluide homogène clouée dun mouvement de rotation, et dont la figure primitive est supposée très peu differente de la sphère. %

5o.. Nous venons de démontrer que l’ellipsoïde de révolution satisfait aux conditions d’équilibre d’une masse fluide homogène douée d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe, et nous avons développé les lois que suit la pesanteur et la diminution des degrés du méridien à la surface d’un semblable sphéroïde. Il nous reste à examiner maintenant si la surface elliptique est la seule qui remplisse' les conditions précédentes, et s’il existe plusieurs figures de différentes natures qui conviennent à l’équilibre. Cette question, dans toute sa généralité, surpasse les forces de l’Analyse; mais on parvient à la résoudre en la restreignant et en supposant la figure de la masse fluide très peu différente de la sphère. Cette hypothèse est d’ailleurs conforme à la na-, ture , puisque tous les corps célestes ont , à très peu près, la forme sphérique, et qu’on peut présumer que leurs molécules, en se rapprochant par la

condensation , ont conservé entre elles la même disposition qu’elles avaient à l’état fluide.

Reprenons l’équation de l’équilibre d’une masse fluide homogène trouvée, n° 38, livre 1er, et donnonslui cetle forme

V+N = const. , (a)

N représentant généralement l’intégrale de toutes les forces étrangères aux attractions du sphéroïde qui agissent sur les points de sa surface. Si l’on suppose, comme cela a lieu pour la Terre, la Lune, Jupiter et tous les corps célestes, Saturne excepté, que la seule force étrangère qui agit sur la masse fluide est la force centrifuge provenant du mouvement de rotation , on aura

a, b etc désignant les coordonnées rectangulaires d’un point quelconque de la surface, et g la force centrifuge du point situé à l’unité de distance de l’axe de rotation, g étant d’ailleurs une très petite quantité, parce que la supposition que la masse fluide diffère peu de la forme sphérique, exige que les forces qui l’en écartent soient elles-mêmes très petites.

Plaçons l’origine des coordonnées au centre de gravité de la masse; soient ;• le rajon vecteur mené de ce centre à la surface, 0 l’angle qu’il forme avec l’axe de rotation, et « l’angle que forme le plan qui passe par le rajon r et par l’axe de rotation avec le plan des x, y, on aura

a = r cos 0 , b — r sin 0 cos a , c — r sin 0 sin u>.

Dü SYSTÈME DU MONDE.

La valeur de N deviendra ainsi,

N=ï.g7^sin*0== — ±.gr* .(cos* 6 — £),

et en la substituant dans 1 équation d équilibre , on aura

— ■; gr* . (cos* ô — -3) = const. (b)

On verra bientôt pour quelle raison nous avons donné à N la forme précédente.

Supposons maintenant , conformément à l’hypothèse, la figure de la masse fluide. peu différente de la sphère; on aura dans ce cas, n° ai,

faa3 , a , aa „ , a3 .