V- V + 'T-! 0+37' ' + 5ri'Yl+ + elC- J

On peut faire disparaître de cette valeur les termes en Y. et Y, en prenant pour a le rayon de la sphère égal en solidité au sphéroïde, et en plaçant l’origine des rayons r à son centre de gravité. Si l’on substitue ensuite cette valeur dans l’équation (b) , on aura

fyra? , 4 "37H ?-

U lr -I ■ ; >(c)

= const. , . \

et tous les termes de cette équation jouiront de la propriété de satisfaire à l’équation et aux différences partielles

cf.sin 6

dYi

~dù

- ■ i ^ Yi

sin (idb sin* fi" dm*

d * . rYi dr‘

Y, étant une fonction rationnelle et entière des trois quantités /a, \A — A** cos Vi — yt*1 sin a ou cos 6, sin 0 cos a» et sin 0 sin a , du degré i.

11 est aisé de voir, en effet, que cette équation est satisfaite lorsqu’on y substitue chacun des deux termes -j gr* et — £ gr* ( cos* 8 — à la place de Y|, ce qui résulte de la forme particulière que l’on a fait prendre à la fonction N.

Cela posé , on a à la surface du sphéroïde r = a (i -f- ay); en substituant cette valeur dans l’équation (c), et en négligeant les termes du second ordre en a , ainsi que ceux qui sont multipliés par ttg à cause de la petitesse des deux facteurs , on aura

-3— • ( 1 — «J')+4’re‘a’[iY,Y3+|+ etc.] 4-^*— ^a’.fcos'S— i)

= const .

Comme la constante du second membre est arbitraire, on peut la supposer déterminée par l’équation

4*"°* il, ,

^3“ + 3 Sa — COnst. »

et l’équation précédente donnera ainsi

y = 5.(?Y,-HY,-hetc.)— ^.J.-(co$»fl— rj.).

Or, nous avons trouvé, n° ai, pour l’expression générale de y dans les sphéroïdes peu différens de la sphère , l’origine des coordonnées étant au centre de gravité du sphéroïde ,

y — Y. -h Ys -+■ Y4 + etc. ,

Y,, Yj, Y4, etc. , représentant dans cette expression les mêmes fonctions que celles qu’elles désignent dans la valeur de V.

En comparant ces deux valeurs de y , on voit qu’elles ne sauraient avoir lieu en même temps , à moins qu’on n’ait séparément,

Ys = o , Y4 == o , Ys = o , etc.

De la première de ces équations on tire

». = -*• £.(co*0-i).

Substituons cette valeur dans l’expression de y et faisons pour abréger ~~ ==s q ; q désignant comme

précédemment le rapport de la force centrifuge a la pesanteur sous l’équateur, on aura

*7 = — 4 7-(cos* 6 — i);

on a d’ailleurs i . •> . .

L’expression du rayon de la surface des sphéroïdesdeviendra donc

r =X fl.[l — f.?.(cos‘ fi — J)]k (d) : »

Cette équation appartient à un ellipsoïde de révolution dont l’aplatissement est très petit et égal à

'11 f l’origine des coordonnées étant au centre du

sphéroïde.

Nous voici donc parvenu à démontrer que la figure elliptique est la seule qui convienne à l’équilibre d'une masse fluide homogène , douée d’un mouvement de rotation, en supposant la figure primitive de cette masse peu différente de celle de la sphère. Nous avons démontré, dans le n9 ai, que l’expression de y ne peut sc développer que d’une seule manière , en série de la forme

Ya + \3 -f- Y4, etc.;

on peut en conclure encore, par ce qui précède, que la figure elliptique qui satisfait à l’équilibre est unique. Si l’on suppose <7 = 0, dans l’équation ( d ) , on a r — a ; d’où il suit que la sphère est la seule figure que puisse prendre dans l’état d’équilibre une masse fluide homogène et immobile.

53. Considérons maintenant les variations de la pesanteur à la surface du sphéroïde. L’équation ( a ) , qui détermine la figure de l’équilibre de la masse fluide, offre encore l’avantage de donner par une simple différentiation la loi de la pesanteur à la surface. En effet, le premier membre de cette équation représente généralement l’intégrale de toutes les forces qui agissent sur chacune des molécules de cette surface, multipliées respectivement par l’élément de leurs directions. En différenciant donc l"é-

Dü SYSTÈME DU MONDE. <fi7

quation (a) par rapport à r, on aura, n® i , la résultante de toutes les forces qui animent le point de la surface que l’on considère décomposées parallèlement au rayon r, c’est-à-dire, n° 28, l’expression de la pesanteur en ce point.

L’équation (c), d’après ce qui précède, devient

+ Ç£.V» + ^.àn- 8 = const.

Si l’on différencie cette équation par rapport à r, qu’on divise sa différentielle par — dr et qu’on y substitue, à la place de rsa valeur a(i -j-oy) après la différentiation, on trouve

p = |7ra.(i — ‘ aY(l) — q sin*ô)j (/i)

et comme on a, n® 32, 1

aYW= — | q . (cos*ô -r-j) , r

cette équation devient ’

pz=\7ra. [ï — Î?-H‘7(cos‘0— *')].' j(c)

La quantité p que nôus venons de déterminer ne représente pas exactement la pesanteur., c’est seule-ment la partie dé cette: forcé dirigée vêts ■ le centre du.sphérQÏde. En effet , on petit regarder la pesanteur à sa surface comme décomposée en deux autres forces, l’une p dirigée suivant le rayonr/yet l’autre perpendièulaire à ce rayon. Mais il est aisé de voir que cette dernière est de l’ordre «, en sorte qu’en la désignant par ap\ la pesanteur totale sera égale à;