Tome

4i8 THÉORIE ANALYTIQUE

l/p'+Sp* ; on peut donc , quand on ne'glige les quantités de l’ordre A*, regarder p comme l’expression de la pesanteur à la surface du sphéroïde.

En réunissant les équations (e) et (d), on aura tout ce qui est nécessaire pour déterminer la figure d’équilibre d’une masse fluide homogène douée d’un mouvement de rotation et lés lois de la pesanteur à la surface, lorsqu’on suppose que la forme primitive de la masse est peu différente de la sphère. On aura ainsi

r r = i . ^cos* 6—

' p = ? TTfl . [ 1 — 3? -H 7 v(cOS* 0 -T- |.)j.

Ces deux équations font voir d’abord que la diminution des rayons et les accroissemens de la pesanteur, en allant de l’équateur au pôle, sont proportionnels à eos* 0 ; d’où il suit que ces deux quantités varient à très peu près comme le carré du sinus de la latitude, parce que cos 9 est, aux quantités près de l’ordre a, égal à ce sinus.

C’est par l’observation des. longueurs-du pendule à secondes qu’on a déterminé les variations de la pesanteur à la surface de la' Terre. Cette longueur, comme on ia, vu na 29, est proportionnelle à la pesanteur. Sort donc l la longueur du pendule à secondessous un parallèle quelconque , E ce que dévient . et P ce que devient p sons l’équatCUr , ou lorsqùë ô ssx:gb0^onaura' » 1

yyio.

'.v, ^ b y. '.b ./;o/<’.-inj -i înir.uc- h iM

P = f <7ra.f1

^ n* r«o ■ troi' •(> 1 'U'fr-I

par conséquent! < t < cl Ay^/JAq iflëfqii i.

rc . .il ri vol’

* ,xp = P -J- Pÿ'co$r0, 1 ‘.h l’nrm

et par suite, \ ■ • * nlr; 1

, . , -, 4== L-f- | Lycos*ô. • > —!

* è i y ( | 1 1 ' 1 * • il.»

Nommons f la longueur du pendule au pôle, ou aura . • , /

Si l’on nomme de même r' et R ce que devient le rayon /* de,la surface de d’ellipsoïde , aii pôle et à ‘l’équateur, on trouve

on aura doûc, relativement aux ellipsoïdes de révolution, entre les demi grands axes et les longueurs du pendule qui répondent respectivement, au, pôle -et a lequateur, cette relation remarquable.

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34* Nous ne nou| àçmmcs occupe .jusqu’ici qnpdes. fluides homogènes ^ nojis . a)lpn|i considérer ma^ptç-^ nant l’état d’équilibre d'une masse fluide hétérogène, douée d’un mouvement de rotation autour d’un axe

C 4? >rT* | U - -

fixe : mais , pour simplifier cette question , nous

■*' -4 4 *A U'» h" ' U'» - ■ j 'U1 “V'1 'il

supposerons cette masse composée de couches &qmbJablés , ét la densité décroissante suivantj^je Joi quel-, conque du centré à la surface, hypotliès,e[qui d’ailleurs parait conforme à la nature des corps célestes. On conçoit en effet que si, lors de la formation de ces

4i° THÉORIE ANALYTIQUE

corps , leurs molécules ne s’étaient pas disposées de manière que les plus denses soient en même temps les plus voisines du centre , elles se seraient pénétrées comme un corps solide s’enfonce dans un fluide, et l’équilibre n’aurait pu exister dans une pareille masse. L’équation générale de l’équilibre des différentes couches sera, n* 58, livre Ier ,

.* , • •* « SI*,* • *'i * > i. •

ou bien , en remplaçant V par sa valeur, n° a5,

a* + 4*r/e.rf. [a*. Y. 4- j.Y,+ Ç,Y,+ £.YS+ etc.] J

Lesdifferentielleset les intégrales dans cette équation se rapportent a la variable a ; les deux premières intégrales du second membre devant être prises depuis a = a, en désignant par a la valeur de a relative à la coucbe que l’on considère, jusqu’à la valeur de a qui correspond à la surface du fluide, et que nous, supposerons égale à l’unité, les deux dernières intégrales de la même équation devant s’étendre depuis a = o jusqu’à a = a.

A la surface de la couche, on a r= a(i :

ën substitué rit donc cette valeur dans les termes de l’équat?oh precedente qui sont indépendans de a, et faisant élmpleniêht a dans les autres, on

Afrtrv; <•!!> .-I • : "•

aura •

, ♦ . rr i terrent .d ‘.'I: ri' t , : i

f ^=ar./c.Ai'+4«)r./e.<i.[a*Y0+ y.Y,+ g.T.+^’.Y, -h etc.]

+£.(,-y)-/«-^3+ [flîYo+ iY‘ + £-Y-+pY-+ etc.]

HW

Le second membre de cette équation doit se réduire à une constante, n° 38, livre I". Si l’on substitue donc pour y son développement Y. -f- Y, -f- Y,-f-etc.» et pour N sa valeur f .gr* — #r*(cos*0 — 5), et

que l’on compare ensuite les fonctions semblables de G et de où, on aura .

j' = 2*.f'.d.a3+faw f'.d.a' Y. + ^ . ft.d.a3

~ fe-T° .f'.d.a’+^.frd.a? Y. + fa' ;

les deux premières intégrales du second membre devant être prises depuis n = a jusqu’à a — 1 , et les trois dernières depuis a = o jusqu’à a — a. Cette équation déterminant simplement le rapport qui doit exister entre Y„ et a, il s’ensuit qu’on peut donner à Y„ une valeur arbitraire. On aura ensuite, i étant égal à 2 ,

/f.d. Y. -fe.Y../f. </.<■>

+§-/M.‘>sY,— iga-(cos‘8— 5>=o;

enfin , i étant un nombre quelconque égal ou supérieur à l’unité ,

4a? TIJiïORIE ANALYTIQUE

Cette équation donnera la valeur de Y,, relative à chaque couche du fluide, lorsque la densité /> sera connue.

A la su rface du fluide, on a puisque

les surfaces intérieures et extérieures de la couche se confondent rl’éqüàtion précédente devient donc, en observant que nous supposons a—i à la surface,

Y ,.ff>.a*da — ff.d.aM Y| = o.

Les couches de niveau étant supposées semblables, il s’ensuit que la valeur de Y, est pour chaque couche la même qu’à la surface ? elle est donc indépendante de a , et l’on a

f -■ ■■ 1! ! • ; '• J * - »- Î-Ï1ÎC* **»

Or, i étant égal •> ou supérieur à 3, la fonction

1 — 2i+ïa es* *ouJours Poslt*ve ; i intégrale que

renferme l’équation précédente ne peut donc être égale à zéro ; on doit donc avoir alors Y,= o. D’ailleurs, si l’on supposa i— r i,on pourra toujours faire disparaître le terme en Y, de l’équation (g) en plaçant l’originfe des coordonnées, au centre de gravité du sphéroïde; on aura donc généralement Yj =o, i étapt un pQrçibre, entier quelconque différent de a. Dans le cas de i = a , l’équation (A) donne

Dü SYSTÈME DU MONDE.

Y, ./( i — a*) . p a* da î g . (cos*â — i ) = o.

Soit, comme précédemment , q jle rapport de la force centrifuge à la pesanteur à lequateur, l’expression de la pesanteur étant, aux quantités près de l’ordre a. , la même que celle qui aurait lieu à la surface de la sphère du rayon a , c’est-à-dire égale à \7r.f f.d.a3, on aura g = fyrq.ff.a'da; par conséquent

— ^.(cos '» — %). ft.a'da

Le rayon du sphéroïde à la surface sera donc

- . (cos’ô — ±). f(.a*da 1 /( i — a‘).(.a‘da

Ce rayon est celui d’un ellipsoïde de révolution : ainsi donc, dans ce cas général, comme dans celui de l’homogénéité , la surface libre du fluide , et par conséquent celle de chaque couche de niveau , ont la figure elliptique.

Si , pour abréger, l’on fait

^.fça'da

ah==/li-à>)^ \

l’expression du rayon de chaque couche sera de cette forme :

o[i -f- aY0 — ■ aÆ(cos* 0 — j)].

Y. étant arbitraires , si l’on fait Y0 = — h , l’expression préce'dente devient a (i — ah cos*ô) et ah r eprésente alors l’ellipticité de la couche. A la surface du sphéroïde, on a a= i, et le rayon devient i — ah cos* G. La diminution des rayons , en allant de l’équateur au pôle , est donc encore proportionnelle à cos* G, et par conséquent au carré du sinus de la latitude.

Le rayon osculateur du méridien dont le rayon

est de la forme i — ah cos1 G , a pour expression I 2 £6À(l l COS* G).

Désignons par c la longueur d’un degré mesuré sur le cercle dont le rayon est i — 2 ah, l’expression du degré du méridien du sphéroïde sera

c -f- 3c chc cos* G.

c représente donc la grandeur du degré sous lequateur, et les degrés du méridien croissent de l’équateur au pôle , proportionnellement au carré du sinus de la latitude, tandis que les rayons menés du centre à la surface du sphéroïde diminuent suivant la même loi.

Si l’on applique à la Terre les résultats précédens et qu’on la considère simplement comme un sphéroïde composé de couches elliptiques de densité et d’ellipticité variables, en substituant pour Y, sa valeur dans l’équation ( g ) , et en observant que l’intégrale f ?.dh est nulle à la surface , on aura