J'fd. aïh + 5^ — 2//^ . / fd. as = o. (A
Dü SYSTÈME DD MONDE. 4*5
Cette e'quation détermine la relation qui doit exister pour l’équilibre entre la densité f et l’ellipticité ah de chaque couche du sphéroïde. Elle donnera , en l’intégrant, la valeur de cette ellipticité, lorsque la Joi des densités sew connue.
Les densités étant supposées aller en diminuant du centre à la surface , il résulte de cette équation que l’ellipticité de la Terre est moindre que dans le cas de l’homogénéité , à moins qu’on ne suppose que les ellipticités croissent de la surface au centre dans un plus grand rapport que la raison inverse du carré
des distances à ce centre. En effet , soit h = — • on
aa
aura
/p.d.a3h = f f .d.a3u = uf p.d.a3 / du. fa3 .dp.
Si les accroissemens des ellipticités sont entre eux
dans un rapport moindre que — , u augmentera du
centre à la surface; du sera par conséquent une quantité positive, et comme df est négatif, puisqu’on suppose que les densités diminuent du centre à la surface, /du/a3. dp sera aussi une quantité négative , et en faisant à la surface
f sera une quantité positive. L’équation (k) , en y substituant cette valeur, devient
d’où I’oq tire
L’ellipticité ah du sphéroïde s*ra donc moindre que
bq
-t; elle sera plus petite par conséquent que dans
le cas de l’homogénéité, où df étant nul, f est égal à zéro.
On peut conclure de là que l’aplatissement de la Terre, dans l’hypothèse la plus vraisemblable qu’on puisse faire sur sa constitution intérieure, est
plus grand que 2 1 valeur qui répond au cas où toute sa masse serait réunie à son centre , et moindre que
homogène. En effet, il est naturel de croire que la densité des couches du sphéroïde terrestre augmente en approchant du centre, et cette supposition est même indispensable à l’égard de tous les corps célestes s’ils ont été originairement fluides ; il est probable aussi que les ellipticités diminuent dans un rapport
moindre que puisque cette hypothèse donnerait
une ellipticité infinie aux couches infiniment voisines du centre, ce qui est absurde.
35. Considérons les variations de la pesanteur à la surface du sphéroïde que nous supposons composé de couches elliptiques d’une densité variable du centre à la surface.
La direction de la pesanteur de la surface au centre
n’est plus alors une ligne droite, elle forme une courbe dont chaque élément est perpendiculâire à la couche de niveau qu’il traverse. L’équation ( f ) , en remarquant que parce qui précède, on a Y,=o, Ys = o etc. , donne à la surface où les couches intérieures et extérieures se confondent ,
+ 5 g?* — ï g** • (COS* 0 — |).
On aura l’expression de la pesanteur à la surface du sphéroïde , d’après ce qui a été dit n° 33, en changeant le signe de la différentielle du second membre de celte équation prise par rapport à r et divisée par dr. En nommant donc p cette force , on aura
— i-gr~\-gr.(cos*Q— |), ou bien en observant qu’à la surface on a r= 1 -f- aY„ -f- ®Y#,
et que nous négligeons les quantités de l’ordre a* et -f- fair.fp .d.(a*.\D-+- — J.g-Hîfc06*® — 5)*
On peut faire disparaître les intégrales de cette expression, en observant que l’équation (h) donne à la sqrface . . : \ .
4aU
*5 fl5 Y, = ^.Y,.y>.^.a»-f.i.^cos.0__^i
Eq faisant, pour abréger,
P 3 -ff.d.a? j Y0.ff.d.a3 -f- /^a^f *.d.a3Xa- *g,
et observant que g — ^.qff.d.a' , on aura
P — P 4-P.(fÿ — aA).(cos* 0 — £), ou bien en faisant
P'=P-iP.(| c,-*h)
et négligeant les quantités de l’ordre a* ,
p = P',[i -f. (|y — a A), cos* fl].
Si Ion suppose 6=90°, ona/? = P'; il suit donc de cette équation que P' est l’expression de la pesanteur à 1 équateur , et que la pesanteur croit de l’équateur au pôle proportionnellement au carré du sinus de la latitude.
Si 1 on nomme l et L/ les longueurs du pendule correspondantes a p et P7, on aura
^ = L'.[i — aA).cos*fl],
V est donc la longueur du pendule à l’équateur, et ses accroissemens de 1 équateur au pôle sont encore proportionnels au carré du sinus de la latitude.
Si l’on désigne par ae l’excès de la longueur du pendule au pôle sur sa longueur à l’équateur divisé par cette dernière longueur, l’équation précédente
donnera ae -j- ah = £ q , e'quation qui fait connaître une relation importante entre les longueurs du pendule qui bat les secondes à la surface du sphéroïde et son ellipticité. Dans le cas de l’homogénéité , on a ah = ^q , et par conséquent , ae = ah , comme nous l’avons vu n° 33; mais , si le sphéroïde est hétérogène , l’excès de la longueur du pendule au pôle sur sa longueur à l’équateur divisé par cette dernière longueur , et l’excès de l’axe de l’équateur sur l’axe du pôle divisé par ce dernier axe, forment deux fractions dont la somme est constante et égale au double de l’aplatissement que le sphéroïde aurait du prendre dans le cas de l’homogénéité.
36. Les formules précédentes donnent le moyen d’exprimer , d’une manière très simple pour les sphéroïdes dont la surface est supposée fluide et en équilibre , la fonction d’où dépendent les attractions du sphéroïde sur un point extérieur. En effet, les formules (h) et ( m ) donnent
fr.d. «% = 5Y> ./> . a-da + | £ (cos- 9 - i) f f’.d.a1*3 Yj = (at'-f- \)Xff.a'da,
i étant un nombre quelconque différent de 2.
Si l’on substitue ces valeurs dans celle de V relative aux points extérieurs n° 23 , qu’on place l’origine des coordonnées au centre de gravité du sphéroïde , ce qui donne Y, = 0, et qu’on suppose Y0 = o, on aura
V==— -Q +* • (^ + 7T + etc.)J/c.a'dfl+ï.^-. (cos'ô-j).
Dans cette expression, fyrtffa'da , l’intégrale étant
43o THÉORIE ANALYTIQUE
prise depuis «= o jusqu’à , représente la masse de la sphère dont le rayon est r et que l’équation Y0 = o suppose égale en solidité au sphéroïde ; /çrffa'da est donc égal à la masse du sphéroïde.
La valeur précédente de V convient à toute espèce de sphéroïdes. Si l’on considère le cas particulier où le sphéroïde est composé de' couches semblables dont la densité varie suivant une loi quelconque du centre à la surface on aura • ’
h (cos* 0 — 1) ,
etc.
On a d’ailleurs g — Iprqffa'da-, par conséquent,
.'•* : il ». .. » ’i *i > ■
Celte expression s’applique naturellement aux planètes, et en particulier à la Terre, dont la surface est recouverte en très grande partie d’un fluide en équilibre.
37 . Nous terminerons ce chapitre en exposant quelques propriétés générales relatives à la figure des corps célestes, qui dérivent très simplement de l’fexpression des rayons de leurs surfaces, et qu’il est d’autant plus utile de connaître, qu’elîes sont indépendantes de toute hypothèse sur leur constitution intérieure. Nous considérerons ici le cas le plus général, celui où le sphéroïde, toujours fluide à sa surface , peut recouvrir un noyau solide peut different de la sphère.
La première de ces propriétés dépend de la nature du centre de gravité; elle consiste en ce que-là masse
DU SYSTÈME Dü MONDE. 43 1
fluide en équilibre doit toujours se disposer de manière que la fonction Y, disparaisse de l’expression du rayon mené du centre du sphéroïde à la surface, en sorte que le centre de gravité de cette surface coïncide avec celui du sphéroïde.
En, effet , soient JM une des molécules du sphéroïde, et x , y, z , ses trois coordonnées rectangulaires; on aura, en plaçant l’origine des coordonnées au centre de gravité ,
f xdM = o , / ydM — o, f z JM == o.
Nommons R le rayon mené du centre de gravité du sphéroïde à l’élément d M, 0 l’angle que forme ce rayon avec l’axe des x qui est aussi l’axe de rotation, et a> l’angle compris entre sa projection sur le plan des y t z et l’axe des jr. On aura »
a:=Rcos0, y-- = R sin 0 cos co, z=Rsin0sin<» JM = fR*JRd0J&> sin 0.
ni; i?i ; 5 , j. v
Les trois équations qui résultent des propriétés du. centre de gravité deviendront donc
f pR3JRJ0Ja> sin 0=o, f /R3JRJ0Jim sin* 0 sin a> = o, f /»R3 JKJ0 da> sin* 0 cos = o.
Supposons l’intégrale //>R3 JR prise relativement à'R, depuis R = o jusqu’à la surface, et développée dans une suite de la forme
N0-4-N, + N, etc. ,
dont chaqde terme soit assujetti à l’équation aux dif-
43a THÉORIE ANALYTIQUE
férences partielles ,
rf.sin 8
rfNi
di I t£*N i , , xivr
-sSW''' + ii5n*‘a?' + ir,+ r)N, = o.
On aura généralement, par le théorème du n° 18, i étant différent de l’unité , ' , t r .
Jlü, sin 0 cos Qdüd'j) = o , fl$t sin* 0 sin adQdoo — o,
, /Tïjsin* 0 cos üùdQdciû = o.
Les trois équations (l) deviendront donc simplement , en vertu des précédentes ,
/N, sin 0cos 0c?0rfû)= o, /N,sin*0sinû)CÏ0<i(w=o , /N, sin* 0 cos a> d^dcc ssz o.
La valeur de N, est de la forme
N, =s H cos 0-f- H' sin 0 sin «-{-H' sin 0 côsa.
Si l’on substitue cette valeur dans les équations données par la propriété du centre de gravité , on verra, que pour y satisfaire, il faut supposer
lI=o, H' = o , H* = o ,
et par conséquent N, = o. Or, cette condition est la seule nécessaire pour que l’origine des rayons R de la surface soit au centre de gravité du sphéroïde.
En effet, supposons le sphéroïde un solide peu différent de la sphère, recouvert d’un fluide en équilibre ; on aura, dans ce cas , R=a(i •+.« y) et par
conséquent
ffR’dR = £ / . d. [a*( 1 + W)\
la différentielle et l’intégrale indiquées étant relatives à la variable a dont p est fonction. On aura donc dans ce cas , en mettant pour y sa valeur Y0 -|- Y, + etc. ,
L’équation ( m ) du n° 34 donne à la surface, en observant qu’alors a = 1 ,
ff.d.a*Y,—Y,ff.d.a3,
la valeur de Y, se rapportant à la surface. On aura donc
N, = aY,y f.d.a 3 ;
et puisque N, = o, quand on suppose l’origine des rayons R au centre de gravité , on aura , dans ce cas, Y, = o. Ainsi donc la fonction Y, disparaîtra d’elle-même de l’expression du rayon de la surface du sphéroïde, toutes les fois qu’on prendra le centre de gravité pour origine des coordonnées , mais il n’en résultera aucune condition particulière pour les fonctions Y, , Y3, etc.
Nous avons vu, dans le chapitreV, liv. i",que pour la stabilité du mouvement de rotation d’un corps, il faut que l’axe autour duquel il tourne coïncide toujours, à très peu près, avec l’un de ses axes principaux. Si cette condition n’était pas remplie à l'égard des corps célestes, il en résulterait dans la position de Tome II. 28 . '
leurs axes de rotation des variations sensibles , surtout pour la Terre; et comme les observations les plus précises n’eu font apercevoir aucune, il en faut conclure que les molécules de ces corps, à l'époque de leur formation, se sont disposées de manière à rendre stables leurs axes de rotation. Il en résulte une nouvelle propriété relative à leur ligure, et qui consiste en une forme particulière que doit prendre dans ce cas la fonction Y, qui entre dans l’expression du rayon mené de l’origine des coordonnées à la surface du sphéroïde.
Pour le faire voir, désignons par x, y, z les trois coordonnées rectangulaires de l’élément dM. rapportées aux trois axes principaux qui se croisent au centre de gravité du sphéroïde ; on aura , par la nature de ces axes ,
f acydM = o , f xzd\ I = o , fyzdM = o.
Si l’on substitue pour x, y, z et dM leurs valeurs précédentes, ces équations deviennent
f ' fR*d(jRd9da> . sin* Ô cos 0 cos a = o , f fWdRd^do . sina ô cos 0 sin eo — o , f f>RQ/Rd0</c«>.sin* 0 sin 2a> =o.
Supposons l’intégrale f /R'JR prise par rapport à R, depuis l’origine des coordonnées jusqu’à la surface, et développée ensuite de la forme
U„ + U, -j- U, -f- etc. ;
la fonction U, étant, quel que soit i, assujettie à
DD SYSTÈME DU MOf«DE.
lequation aux différences partielles
d. sin 6 -
sin t
d6 f 1 dBU( j ■ '• f* |
: — |— » ~~î — T~ “4“ l U "4" I ) XJ( W O.
) ~ sin“« d»* r v 1 ' 1
En observant que les fonctions sin 6 cos 8 cos sin 0 cos 0 sin o) et sin* 0 sin 20 sont comprises dans la forme générale Us , on aura , par le théorème du n° 18, i étant différent de 2 ,
füidüdco sin 0 cos 0 cos a = o , füjdûd» sin 0 cosôsip o, -; ' ■ n .
fU,dQdû) sin* 0 sin soi = o ,
et les trois équations données par les propriétés des axes principaux deviendront ainsi
tu»
JTJ.dQdu sin 0 cos 0 cos a> — o , fU^dddco sin 0 cos 6 sin a> = o , f\3jd$d'jû sin* 0 sin 2&> = o. ’
La fonction U, est de la forme , ;
K (cos* 0 — i)4-K' sin 0 eos0 sin <0+K'/sin0cos 0 cos <0 -f- K"1 sin* 0 sin 201 + K1T sin* 0 coâ 2 à.
Si l’on substitue cette valeur dans les équations précédentes elles donneront v. * *i\ . -• TJ
Ce sont lés conditions nécessaires et' suffisantes' pour que les trois axes des æ, des y et das z soient des axes principaux depotalion, et il en résulte que \J,
est de la forme
K (cos* fi — a) 4- K" sin* fl cos a».
Voyons ce que devient la valeur de U, relativement à un sphéroïde très peu différent de la sphère et recouvert d’un fluide en équilibre. On a, dans ce cas, R = a(t *f -*/), et par conséquent,
ffR4dR = i + 5<y) ;
en substituant donc pour y* sa valeur
Y. 4- Y, 4- Y. 4- etc. ,
on aura
U, — a..ffd.alX%.
On a, par l’équation (h), n° 34, à la surface du sphéroïde , en supposant que la seule force étrangère qui agit sur lui est la force centrifuge due à son mouvement de rotation,
/)</.a5Y»= | ct7r'it.fr.d.a3 -f |. (cos* ô — i).
On aura donc
U. = ç. Y. (cos* 8
L’expression générale de Y, est de la forme
,£(cos»6 — £)4-A'siufl cos 6 sin a-}- A" sin fi cos fi cos a» r -JrA'&in* Ôsin2û>4*^'tsin* 6 cos .
’èi l’on substitue cette valeur dans l’expression pré-
cedente, qu’on remplace de même U, par sa valevr K(cos*9 — ÿ) +K,Tsin*0 cos aa», en comparant les fonctions semblables dans les deux membres , on aura
et l’expression de Y. sera de la forme
k (cos* 0 — i) H” A,T sin* 0 cos aa.
Il suit donc de la supposition que le sphéroïde tourne autour d’un de ses trois axes principaux, que les trois constantes k', k’f, k'" qui entrent dans la valeur de Y, sont nécessairement nulles; mais il n’en résulte aucune condition relative aux constantes k et A‘% qui restent indéterminées ainsi que les fonctions Yj, Y4 , etc.
