CHAPITRE VI

Comparaison de la théorie précédente aux observations.

38. Considérons d’abord le sphéroïde terrestre, tt comparons, relativement à la Terre , la figure qui résulte de la théorie précédente avec celle que l’on a conclue des observations. Quatre méthodes distinctes ont été appliquées à cette détermination. La première, toute directe et pour ainsi dire mécanique , consiste à mesurer des arcs de méridiens et de parallèles sur divers points du globe et à déterminer, en réunissant ces portions de la surface terrestre, la figure la plus probable du sphéroïde auquel elles appartiennent. Toutes les investigations de ce genre qui ont été tentées jusqu’ici conduisent à un résultat incontestable, c’est que la Terre a la forme d’un sphéroïde aplati vers les pôles et renflé à son équateur , comme l’exigent les lois de l’Hydrostatique Les mêmes observations montrent, il est vrai , qu’en quelques-unes de ses parties la Terre s’éloigne sensiblement de la figure d’un ellipsoïde de révolution ; mais lorsque l’on compare entre elles les valeurs

moyennes des degrés mesurés à des latitudes très distantes , l’influence des irrégularités de sa surface sur les résultats des opérations géodésiques est beaucoup atténuée, et l’on trouve alors qu’elle diffère peu d’un sphéroïde elliptique dont l’aplatissement serait de 3-^.

Le second procédé qu’emploient les géomètres pour déterminer la figure de la Terre, résulte des variations qu’on observe daus l’intensité de la pesanteur aux différens points de sa surface , et qu’on calcule avec beaucoup de précision par le moyen du pendule. Si la Terre a la forme d’un ellipsoïde de révolution peu différent de la sphère , d’après la théorie développée dans le chapitre précédent, les accroissemens de la longueur du pendule à secondes transporté en divers lieux du globe , doivent être proportionnels au sinus du carré des latitudes ; il sera donc facile , en soumettant les expériences à cette loi, de reconnaître si la Terre s’écarte ou non de la figure elliptique, et de déterminer dans ce dernier cas sou aplatissement. Les résultats de ces recherches ont montré que les. inégalités du sphéroïde terrestre ont beaucoup moins d’influence sur les variations des longueurs du pendule que sur celles des degrés des méridiens, comme l’indique aussi la théorie, qui prouve que les termes qui écartent l’expression des degrés terrestres de la loi elliptique, sont affectés de coefïiciens plus considérables que les termes correspondais dans l’expression des longueurs du pendule. U s’ensuit que cette seconde méthode est beaucoup plus propre que la première à fournir sur

44o THÉORIE ANALYTIQUE

la figure de la Terre des notions exactes, et l’aplatissement qu’elle donne s’accorde d’une façon remarquable avec celui qui résulte de l’observation desmouvemens de la Lune.

Cette troisième manière de déterminer la forme de notre globe, moins directe que les deux premières, est peut-être un des résultats les plus surprenans qu’ait produits l’application de l’Analyse à la grande loi de l’attraction universelle , et mérite d’obtenir une place importante dans l’histoire des progrès de l’esprit humain. Elle consiste à reconnaître, parmi les nombreuses inégalités du mouvement de la Lune , celles qui dépendent de la non sphéricité de la Terre, et, en comparant leurs valeurs données par l'observation à celles qui résultent de la théorie dans la supposition que la Terre est un sphéroïde elliptique qui exerce sur la Lune une action modifiée par sa figure, à déterminer la valeur exacte de son aplatissement. Laplace , qui le premier conçut cette idée ingénieuse, a trouvé, d’après les observations de Burg, que l’excentricité de la Terre résultant de ces phénomènes était de et peut-être est-ce la donnée la plus exacte que nous ayons sur cet aplatissement, à cause des difficultés des autres observations qui le déterminent , et de l’influence qu’ont sur elles les causes particulières qui écartent trop souvent la Terre de la figure elliptique.

Enfin , les phénomènes de la nutation et de la précession des équinoxes fournissent encore des renseignemens précieux sur la figure et sur la constitution du sphéroïde terrestre. Ils ne donnent pas, il

est vrai, la valeur absolue de sou aplatissement , mais ils font connaître deux limites entre lesquelles celte fraction est comprise , et ces limites sont -jÿg et jjg.

3g. Déterminons d’abord la figure de la Terre qui résulte des mesures directes prises à sa surface. Si l’on imagiue un plau passant par l’axe de la Terre et par le zénith d’un point donné de sa surface, ce plan tracera dans le ciel un grand cercle qui sera le méridien du lieu , et la courbe que ce plan intercepte sur la surface de la Terre se nomme le méridien terrestre , ou , par abréviation , la méridienne.

Lorsqu’en partant de l’équateur, on s’avance sur cette courbe en marchant vers le nord, on voit successivement la hauteur méridienne des étoiles situées au nord augmenter, tandis que celle des étoiles situées au midi éprouve une dépression proportionnée. Cette remarque très simple a sans doute donpé aux hommes la première idée de la forme arrondie du globe. Si la Terre était sphérique , les degrés du méridien, mesurés à diverses latitudes, seraient tous égaux entre eux; mais l’observation a fait reconnaître des différences notables dans ces degrés, et elle a montré qu’ils allaient en croissant à mesure qu’on s’éloigne de l’équateur; d’où l’on a conclu que la Terre est un sphéroïde aplati vers les pôles. En effet, concevons pour fixer les idées que la Terre est un ellipsoïde de révolution : on peut supposer qu’un arc très petit du méridien se confond sensiblement avec le cercle osculateur déterminé par l’intersection des deux normales menées à scs extrémités, et l’arc de cercle compris entre ces normales sera d'autant

4|a THÉORIE ANALYTIQUE

plus grand que son rayon sera plus considérable. Or, aux pôles ou à l’extrémité du petit axe, l’ellipse pendant un court intervalle forme, à très peu près, une ligne droite , les deux normales qui déterminent le rayon du cercle osculateur sont presque parallèles ; ce rayon, et par conséquent le degré du méridien , sont alors plus grands que sur tout autre point. La courbure des arcs elliptiques augmentant ensuite de plus en plus, les rayons osculateurs vont en diminuant sans cesse du pôle à l’équateur ; par conséquent les degrés doivent aller en croissant, à mesura qu’on avance de ce second point vers le premier.

Nous ne nous proposons pas d’exposer ici les procédés géodésiques qui servent à déterminer les arcs du méridien terrestre; on trouvera sur cet objet des détails circonstanciés dans l’ouvrage de Delambre, où cet astronome décrit les opérations qu’il a lui-même exécutées avec Méchain, pour la détermination de l’arc du méridien compris entre Dunkerque et Barcelone. Nous donnerons simplement les résultats des travaux qui ont été entrepris à diverses époques pour la mesure des degrés de la méridienne , et nous indiquerons la méthode que l’on doit suivre pour en conclure quelle est la ligure la plus probable que ces mesures assignent à la Terre. On conçoit en effet que, comme il est impossible de déterminer dans toute sort étendue le méridien terrestre , il faudra commencer par faire une hypothèse quelconque sur la nature de cette courbe et sur la figure générale du globe. On déterminera ensuite les arbitraires de ces suppositions au moyen des données fournies par les opérations

géodésiques , et l’on examinera enfin si la figure qui en résulte pour le sphéroïde terrestre peut concorder avec celle que l’on conclut des autres phénomènes observés.

Supposons, en premier lieu, le sphéroïde elliptique et de révolution. C’est l’hypothèse la plus simple que l’on puisse faire sur la figure de la Terre, puisqu’on sait d’avance que l’hypothèse d’une figure sphérique ne saurait lui convenir; d’ailleurs, c’est celle qui résulte directement des lois de l’Hydrostatique , si l’on suppose que la Terre était originairement fluide et homogène, et quelle a conservé, en se durcissant, sa figure primitive. Proposons-nous donc de déterminer, parmi toutes les figures elliptiques qu’on peut donner au méridien terrestre , celle qui s’accorde le mieux avec les degrés mesurés.

Soient c, , c\ , c3, etc. , les longueurs de ces degrés, L, , L, , L3 , etc. , les latitudes correspondantes au milieu de chacun d’eux. Puisque nous supposons que la Terre est un ellipsoïde de révolution qui s’écarte peu de la figure de la sphère, la variation des degrés à sa surface sera proportionnelle au carré du sinus de la latitude; on aura donc généralement

c ~ a -f- b . sin*L, (a)

a et b étant deux constantes dont la première représente la grandeur du degré à l’équateur et l’autre dépend de l’aplatissement du sphéroïde terrestre. •*

En substituant respectivement c,, ct, c3, eic. , L,, L,, Lj, etc., à la place de c et L dans l’équation

précédente , on aura autant d’équations qu’il y a eu de degrés mesurés. Si la Terre était rigoureusement elliptique, et si les observations étaient parfaitement exactes, toutes ces équations, de quelque manière qu’on les combinât entre elles, donneraient à très peu près pour a et b les mêmes valeurs; mais cela n’a pas lieu généralement, et les degrés mesurés à diverses latitudes ont donné pour la figure des méridiens des ellipses très différentes. Il s’agit donc de combiner le système des équations précédentes, de manière à en tirer les valeurs des inconnues a et b qui , substituées dans la formule (a) , représentent, avec le plus de précision possible, les mesures observées. Yoici, pour y parvenir, une méthode très simple et qui peut être utile dans une infinité de cas semblables, par exemple, lorsqu’étant donné un nombre quelconque d’observations d’une comète, il s’agit de déterminer parmi toutes les courbes paraboliques qui peuvent représenter sa marche, celle qui satisfait plus exactement que to,utes les autres à leur ensemble.

Comme il est impossible, quelque valeur qu’on suppose aux constantes a et b, de satisfaire à la fois à toutes les équations qu’on peut former par la substitution des quantités c,, c,, etc., L,, L,, etc., à la place de c et L dans l’équation (a), on suppose que les différences des résultats sont dues aux erreurs dont les observations sont susceptibles. La question revient alors à trouver le système de ces erreurs , qu’on peut distribuer arbitrairement sur l’ensemble des observations, dans lequel la plus grande erreur est moindre,

DU SYSTÈME DU MOIfDE. 445

abstraction faite du signe , que dans tout autre système, et à déterminer a et b par cette condition. C’est â quoi on parvient très facilement par la méthode des moindres carrés , imaginée par M. Legendre, et queLaplace a en effet reconnue comme la plus exacte et la plus simple que l’on puisse employer dans toutes les questions de ce genre. Ce procédé consiste à rendre la somme des carrés des erreurs un minimum par rapport à chacune des inconnues du problème. On forme, en exprimant analytiquement cette condition, autant d’équations qu’il y a d’inconnues à déterminer , et il ne reste plus pour les obtenir qu’à résoudre ces équations par les méthodes ordinaires.

Soient donc elt et, es, etc. , les erreurs des degrés mesurés c, , c,; etc., en substituant c, •+■ e,,

etc., à la place de <?,, e4, etc. , dans la formule (a), ou formera les équations suivantes :

cm

n étant le nombre des degrés mesurés.

Il faut exprimer maintenant que la somme des carrés des erreurs e\ -f- e\ -j- etc. est un minimum par rapport à chaque inconnue a et b, ce qui revient évidemment à multiplier tous les termes de chacune des équations précédentes par le coefficient de cette

— a — 3.sin* L, = e, , 1

— a — b.sin* L, = e„, I

— a — b. sin*L3 = e3, > (b)

— a — b .sin* L„ = e„ ]

inconnue, prise avec son signe, et à égaler à zéro la somme de ces produits. Ainsi, tous les coefficiensde a étant l'unité dans les équations précédentes, pour obtenir l’équation du minimum par rapport à a , il suffira de les ajouter entre elles; pour former la même équation relative à b , on multipliera la première par sin* L, , la seconde par sin* L„ , la troisième par sin*L3, etc. On ajoutera ensuite entre elles les équations résultantes, et en égalant à zéro les deux sommes précédentes, on aura les équations cherchées. On trouvera, de cette manière, les deux équations suivantes :

an -f- b. 2 .sin* L, — 2.c, = o, ] a .2 . sin* L, b . 2 . sin4 L, — 2 . c, sin* L, = o, j ^

la caractéristique 2 désignant généralement la somme de toutes leâ quantités semblables qu’on peut former en considérant l’ensemble des observations données.'

Les deux équations (c) suffiront pour déterminer a et b, et en substituant ensuite leurs valeurs dans les équations (b), on aura les erreurs e, , e%, e3, etc., qui conviennent au système où les erreurs extrêmes sont renfermées dans les plus étroites limites possibles , et l’on verra si ces erreurs sont telles, qu’on les puisse attribuer aux incorrections de l’observation. Mais si parmi elles il s’en trouvait quelqu’une trop considérable pour qu’il soit possible de l’admettre, on rejetterait les degrés mesui’és qui ontdonné cette erreur comme provenant d’opérations défectueuses, et l’on déterminerait les constantes a

et b au moyen des équations l'estantes, qui donneraient alors des résultats beaucoup plus d’accord avec les observations.

Comme les considérations qui précèdent sont fondées sur la supposition que les degrés croissent proportionnellement au carré de la latitude, et que la même loi , dans l’hypothèse de la figure elliptique de la Terre, convient également à la variation de la longueur du pendule , il est clair que la méthode que nous venons d’exposer peut s’appliquer identiquement aux mesures du pendule à secondes observées à diverses latitudes, et donne le moyen d’en déduire avec le plus grand degré de probabilité possible l’aplatissement de la Terre.

4o. La méthode précédente est la plus simple que l’on puisse employer pour reconnaître si la figure du sphéroïde terrestre, coucluedes mesures géodésiques prises à sa surface et de l’observation du pendule , s’accorde avec celle qui résulte des autres phénomènes; mais elle suppose que les degrés du méridien que l'on compare entre eux ont été conclus d’arcs diflerens , mesurés dans des régions| éloignées du globe. S’il s’agissait simplement de déduire de l’un decesarcs, mesuré avec beaucoupde soin, comme l’a été l’arc compris entre Dunkerque et Barcelone , l’aplatissement de la Terre , voici la méthode que l’on suivrait dans ce cas. .

Nous avons vu, n° 54," que si l’on suppose que la Terre, originairement fluide, a conservé en se refroidissant la figure qu’elle avait prise à l’état d’équilibre, le rayon de sa surface pouvait être ex-

primé par la formule suivante :

r = a( i — ah cos* 0) ,

a représentant le demi-axe de l’équateur, 0 l’angle que forme le rayon r avec l’axe des pôles , et ah l’aplatissement de la Terre, que nous regardons comme une très petite quantité dont on peut négliger le carré et les puissances supérieures.

Nommons s l’arc du méridien terrestre compris entre les deux rayons vecteurs a et on aura généralement ds = — V r* J0* -|- dr% , l’area étant supposé croître de l’équateur aux pôles. La valeur précédente de r donne , en la différenciant ,

drzzz zaahsin 0 cos 0ûf9.

On aura donc , en négligeant les quantités de l’ordre

ds — — rd& — — ad§ . ( i — aah cos* 0) ,

d'où, en intégrant, on tire

s =consf. — u0.(i — ±ah) -\-^.aah sin 20.

Introduisons dans cette formule, au lieu de l’angle 0, la latitude L correspondante à l’extrémité del’arc s. Quelle que soit la nature du méridien terrestre , il est aisé de voir qu’on aura

d’où l’on tire, en observant que dr est du premier

ordre par rapport à a. , et que nous ne'gligeons le carré de cette quantité,

dr

ou bien en substituant pour r et j leurs valeurs

L == go° — 0 -f- ah sin 20 ; on aura donc réciproquement

0 = go° — • L + ah sin 2L.

Cette valeur substituée dans l’expression de s donnera, aux quantités près de l’ordre a* ,

s = a(i — i ah) . L — | . aah sin 2L.

N ous n’ajoutons point de constante au second membre, parce que nous supposons l’arc s compté de l’équateur , ce qui donne s = o en même temps que L = o.

Désignons par S le quart du méridien terrestre; en faisant dans l’équation précédente

L = go° — i 7T ,

on aura

et par conséquent,

s = ^-.(L — !«Asin:iL).

En désignant par L' la latitude correspondante à Tomk II. 2g

l’extrémité d’un autre arc du méridien s, on aurait de même

s' — (L' — | ah sin 2L/). ,

L’arc compris entre les deux parallèles correspondans aux latitudes L et 1/ sera donc

s ' — s = -r- . 0L' — L — * ah (sin aL' — sin 2L)].

Cette équation établit la relation qui doit exister entre la longueur d’un arc quelconque du méridien et les latitudes de ses points extrêmes. Soit s la longueur du degré moyen du méridien terrestre , ou la longueur du degré sous le parallèle de 45° , on

âüra — = s, et l’équation précédente, en y stibsti-

•Jj j. ; ■ ,

tuant Cette valeur, donnera immédiatement la Ion-

gueui* du degré , quand l’aplatissement ah du sphéroïde terrestre sera déterminé. ;

Maintenant, soient L,, L3, etc., les latitudes

respectives des extrémités de& arcs du méridien st , x,, s3, comptés de l’équateur j efi substituant successivement ces quantités à la place de L pt:;de s dans l’équatio.11 précédente , on formera un système d’équations semblables qui serviront à déterminer l’ellipse qu’indiquent avec le plus de vraisemblance , pour le méridien terrestre , les arcs mesurés. Pour cela, ori appliquera à ces équations la méthode du n° 39; on désignera par <?, , c±,

Dü SYSTÈME DO MONDE. 45 1

cs, etc., les arcs mesurés du méridien, à partir du parallèle qui correspond à la latitude L,, en sorte qu’on aura cl — s,t — s, , ca= ss — st, etc.; on nommera, comme précédemment, L„ L„ L3, etc., les latitudes, et l’on désignera par e,, et, e3 les erreurs dont ces latitudes sont affectées , et qu’on peut attribuer, soit aux observations astronomiques d’où elles sont déduites, soit aux mesures géodésiques dont les inexactitudes influent sur les latitudes des pa-r rallèles qu’on suppose séparés par les intervalles c„ e,, etc. Les erreurs e, , et, e3, etc., étant de très petites quantités, on pourra d’ailleurs négliger les termes où elles se trouveraient multipliées par a ; op aura ainsi les équations suivantes. :

L, — L, — '*Asin(La — L^.cosCL, -f- L,) =

L3 — L, — -«e/isin(L3 — L,).cos(L3 -J- L, )- — - — r*s , t

— L; — -ah sin(L* — L,).cos(t^-f- L,) ~—e\

L, — L, «^sin(L* — L,).cos(L„4- L, ) — — =«, — en.

Dans ces équations, les latitudes L et L' sont supposées exprimées en degrés; il faudra donc exprimer de même la quantité ah, ce qui revient à multiplier par

les — coefliciens dont elle est affectée.

ÎT

Comme il est important de déterminer les erreurs e,, e%, etc., indépendamment l’une de l’autre, on

pourra considérer e, comme une nouvelle inconnue donnée par l’équation e, — e, = a; en joignant cette équation à celles qui précèdent, on aura autant d’équations qu’il y a eu d’arcs mesurés c,, c%, etc. On déterminera ensuite , par la méthode des moindres carrés, l’hypothèse elliptique dans laquelle la pim grande erreur est un minimum. , et l’on reconnaîtra si elle est comprise dans les limites de celles dont les observations sont susceptibles.

Les mêmes considérations conviennent, d’après ce que nous avons dit n° 3g , aux observations de la longueur du pendule à secondes , mesurée à différentes latitudes.

4i. Appliquons d’abord les méthodes précédentes aux principaux résultats qu’ont produits les grandes opérations entreprises en diverses contrées, pour obtenir la mesure exacte des degrés des méridiens terrestres. Parmi ces degrés, choisissons les cinq suivans, qui sont évalués en parties de la double toise qui a servi à mesurer l’arc compris entre Dunkerque et Barcelone et à laquelle on a donné le nom de module.

Observateur».

Longueur»

des

degrés.

Latitudes correspond, au tudieu de chaque degré.

Arc total mesure d’où le tlegrc a etc conclu.

Bougner(au Pérou)

La Caille (au cap de Bonne-Esperauce) . . .

Boscovich (Italie).

Delambre et Méchain (France)

Clairaut, Maupertui», etc. (Laponie)...

mod •

385og,3

t.ld.lT

On voit , par ce tableau , que , qigrfle que soit la figure de la Terre, toutes les observations s’accordent à montrer que les degrés du méridien vont en augmentant de l’équateur aux pèles , ce qui indique, n° 39, une diminution correspondante dans les rayons du sphéroïde terrestre , et par conséquent un aplatissement dans le sens des pèles.

Au moyen de ces valeurs, les équations (b) du n° 3g, deviennent

a85x8 ,5 — a — b.o,5oi56 = e% J

28489 ,5 — a — b. o, 4654i = es \(e)

285og ,2 — a — 0,52093 = e4 1

28702 ,5 — a — b. 0,83887 = es,}

et l'on en déduit pour les équations qui résultent de la condition que la somme des carrés des erreurs soit un minimum.

d’où l’on tire

On aura donc généralement pour l’expression du degré du méridien terrestre correspondant à la latitude L,

c = 28368”°“- + 354”°“-, 47 sin*L.

Nous avons vu , n° 34 , que l’accroissement des

degrés du méridien elliptique de l'équateur au pôle , est à très peu près égal à 5 ahc sin* L, ah étant l’excentricité de l’ellipse, et c le degré de l’équateur: la formule précédente donne donc, à très peu près, jL- pour l’aplatissement du sphéroïde terrestre.

En adoptant pour la Terre la figure elliptique que ces résultats lui supposent , on trouve que la plus grande des erreurs qui ont dû être commises dans la mesure des degrés du méridien terrestre , et qui porte sur le degré du cap de Bonne-Espérance, mesuré par La Caille , est de 43“°a ,6. Cette erreur a paru d’abord trop considérable pour pouvoir être admise , et l’on a conclu que les degrés du méridien varient suivant une loi très différente du carré du sinus de la latitude , et que par conséquent le sphéroïde terrestre s’écarte sensiblement de la figure elliptique.

Cependant, comme l’ellipsoïde est, après la sphère, la figure la plus simple et la plus naturelle que l’on puisse adopter pour la Terre, et qu’elle est indiquée d’ailleurs par toutes les lois de l’Hydrostatique , on aurait dû, avant de la rejeter entièrement, attendre que le temps eût permis de vérifier les mesures des degrés qui semblaient ü’en écarter davantage , d’autant que les opérations de ce genre, exigeant une extrême délicatesse , sont plus qu’aucune autre susceptibles d’inexactitudes. L’expérience a pleinement confirmé ces observations, et la mesure du degré de Laponie, exécutée de nouveau et avec beaucoup de soin par des astronomes suédois , pendant les années 1801, 1802 et i8o3, a fait reconnaître qu’une er-

reur beaucoup plus grave que celle qu’indiquait l’analyse précédente s’était glissée dans la mesure du même degré, exécutée en 1736 par Clairaut , Maupertuis, Lemonnier, Camus, Outhier et Celsius.

La grandeur du degré sous le cercle polaire s’est trouvée, d’après ces nouvelles opérations, de n5moa plus petite que celle qu’on lui avait d’abord assignée, ce qui le réduit à 2858'/'*°* ,5. Cette correction est d’autant plus précieuse , que la nouvelle mesure donne , pour l’aplatissement du sphéroïde terrestre , une valeur qui s’accorde beaucoup mieux avec l’aplatissement qui résulte des observations du pendule et des autres phénomènes, que celle que la première indiquait, et qui coïncide entièrement avec la valeur de cet aplatissement qu’on a déduit de la comparaison du nouveau degré mesuré*en France à celui de l’équateur mesuré par Bouguer.

En effet , si l’on introduit la correction précédente dans les équations (e), on trouvera, pour les deux équations du minimum ,

d’où l’on tire

a = 28588moi- , b = 254Œ“, ,36 ,

ce qui donne pour l’aplatissement de la

Terre. On trouve, comme on le verra plus bas, en comparant les longueurs du pendule à différentes

latitudes, g— pour la valeur de cet aplatissement: la

mesure des degrés et l’observation des variations de l’intensité de la pesanteur à la surface du globe , donnent ainsi à la Terre à très peu près la même figure elliptique.

.42. Il est donc presque démontré qu’une inexactitude grave s’était introduite dans la mesure du degré de Laponie; et cela est d’autant plus vraisemblable, que cette erreur de a3o toises ne porte pas entièrement sur les mesures géodésiques, ce qui paraîtrait en effet inadmissible. Il suffit pour l’expliquer de supposer une erreur de quelques secondes dans les latitudes des points extrêmes de l’arc mesuré par les académiciens français, et la difficulté des observations qui servenj à les déterminer rend cette supposition très plausible. Sans doute, des erreurs du même genre ont pu se glisser dans la détermination d’autres degrés mesurés du méridien terrestre. On doit donc être extrêmement circonspect sur les conclusions qu’on en tire ; et c’est par cette raison que , parmi le grand nombre de ces mesures que nous possédons, nous avons choisi celles qui , par les soins qu’on a mis à leur exéaution et par la réputation des observateurs , nous ont semblé devoir inspirer le plus de confiance. La méthode de combinaison appliquée aux équations (e) est aussi très propre à diminuer l’influence de ces erreurs sur les résultats; on doit observer en général que , comme les arbitraires qui entrent dans l’équation ( b ) 11e sont qu’au nombre de deux, il suffira de deux c^egrés mesurés à la surface

de la Terre, pour faire connaître son aplatissement et la longueur absolue du degré sous l'équateur. Si la Terre était un sphéroïde exactement elliptique , on obtiendrait donc, à très peu près, les mêmes valeurs des constantes a et b , en comparant*deux à deux tous les degrés mesurés jusqu’à présent; mais cette comparaison produit au contraire des différences qu’il est difficile d’attribuer aux seules erreurs des observations; on en doit conclure que la figure de la Terre est très irrégulière et beaucoup plus compliquée que nous ne l’avons supposé. On conçoit, en effet, qu’en admettant même que la figure de la Terre est celle qui résulte des lois de l’Hydrostatique , mille circonstances ont pu modifier ces lois de manière à l’écarter sensiblement de l’ellipsoïde. Les degrés mesurés à sa surface indiquent d’une manière manifeste ces écarts ; ils donnent même lieu de penser que les deux hémisphères ne sont pas semblables de chaque côté de l’équateur. Ainsi la longueur du degré mesuré par La Caille au cap de Bonne-Espérance , surpasse celle des degrés mesurés à une égale latitude et même à des latitudes plus grandes dans l’hémisphère boréal de la Terre. Le moyen le plus propre de diminuer l’influence de ces différences , ainsi que celle des erreurs dont les observations sont susceptibles, est donc de combiner entre elles un grand nombre d’observations , comme nous l’avons fait n°4i , ou du moins de comparer des degrés mesurés à des latitudes assez distantes pour que les résultats soient indépendans des effets qui tiennent aux irrégularités de la Terre et à des circonstances pure-

ment locales. C’est ainsi qu’en comparant au degré du Pérou le degré de France qui a été conclu d’un arc plus grand qu’aucun de ceux qui avaient été mesurés jusqu’ici, et qui, par les soins et les lumières de ceux qui l’ont déterminé, présente peu du chances d’inexactitude, on a trouvé pour l’aplatissement de la Terre valeur qui s’accorde exactement avec celle que donne le nouveau degré de Laponie comparé aux autres degrés dont les mesures sont rapportées dans le tableau du n° 41 • Ce résultat a servi à établir la base de notre système de mesures. Le quart du méridien terrestre conclu de l’arc mesuré entre Dunkerque et Montjoui est , d’après cet aplatissement, de 2565370mod' , et le mètre, qui en est la dix-millionième partie, est ainsi égal à omoJ' , 2565370 ou à o‘°“\5i3o74, la toise étant celle qui a servi à la mesure du degré du •Pérou. Ce simple avertissement suffirait pour qu’on pût retrouver en tout temps l’unité fondamentale de nos mesures, si son étalon venait à se perdre ou à s’altérer dans la suite, à moins cependant qu’il n’arrivât quelque grand changement dans la constitution physique du globe. C’est sans doute par cette raison qu’on a choisi la grandeur de la Terre pour la base de notre système métrique , de préférence aux autres élémens proposés pour cet objet. Ainsi, par exemple, la longueur du pendule qu’on vient récemment d’employer en Angleterre à l’établissement d’un nouveau système de mesures, n’offre point, à beaucoup près, le même caractère de fixité. En effet, l’intensité de la pesanteur, et par conséquant la longueur du pendule, est sujette, non-seu-

lement comme les arcs mesurés du méridien , à des variations qui dépendent de la figure de la Terre et des irrégularités de sa surface , elle en éprouve encore de particulières qui tiennent à la non homogénéité des différentes parties de cette surface, et enfin rien n’assure que l’intensité de la pesanteur est en elle-même inaltérable, et qu’elle ne subira pas dans la suite des siècles des modifications semblables à celles qu’éprouve continuellement le magnétisme à la surface du sphéroïde terrestre.

43. Choisissons maintenant, pour déterminer la figure elliptique de la Terre, des arcs de méridien mesurés à des latitudes peu différentes. Les résultats suivans, provenant des opérations exécutées avec un soin extrême par Delambre et Méchain, pour la mesure de l’arc du méridien compris entre Du tvkerque et Montjoui, on peut compter sur leur exactitude.

Lieux de l’observation.

Latitudes.

Distances

des quatre dernières stations au parallèle dtr Monjoui;

Monjoui

4i<,ai'4i'.8o

Carcassonne