ia.54.4o
Évaux
Paris (au Panthéon)
Dunkerque
En substituant ces valeurs dans les équations ( d ) du n" 4° > et en faisant s = •■°°°° pour éviter d’opérer
46o THÉORIE ANALYTIQUE
sur de trop grands nombres , on formera les cinq e'quations suivantes :
e, — e,= o.ooooooo.£-{~o.oooooo.aÆ — o°ooooo, J e, — e,= 5.274948 .£+0, 262581. ah — 1. 85266, r e3 — e,= 13.717403 .£-4-0.309603 .ah — 4*81602, > (yj e4 — e, = 21. 3361977. £ — 0.040978 .ah — 7. 48469, V es — ^, = 27. 579236 .£ — o.6o44I4*a^ — 9*67879. J
En ajoutant entre elles ces équations , après avoir fait passer l’erreur e, dans le second membre , et en égalant à zéro leur somme, on trouve
5e, = — 67 . 903564 . £ -4- o . O'jZioS.a.h -f- 23 . 827 1 7 .
Si l’on substitue la valeur de e, qui résulte de cette équation dans celles qui la précèdent, conformément à cefqui a été dit n° 4°> on formera les cinq nouvelles équations suivantes :
£,= — i3.58o7ï3.£-j-o.oi4642.aÆ-f- 4* 76543, e,= — 8. 3o5765. £-f-o. 277223. ah-\~ 2.91277, e3= o. 136690. £-4-0. 324245. ah — o.o5o59,
e4= 7. 75 1 264. £ — o. 026337. ah — 2.71926,
e5= 13.998523. £ — 0.589772 .ah — 4*9°836,
d’où l’on tire, par la méthode des moindres carrés, pour déterminer les valeurs des arbitraires £ et ah , les deux équations suivantes :
o=' — 178.705291 + £.509,48074 — ah. 10,91717,
0= 3.827288 — £. io,9i7J7-4-a/i. 0,55075.
La résolution de ces équations donne
£=0.3509117, ah = 0.0069327.
Nous avons supposé le 45* degré s = -°!°° ; on aura donc ainsi
Telle est donc la valeur du degré moyen et de l’aplatissement du méridien terrestre qu’on déduirait de la seule considération des degrés mesurés en France. La figure elliptique qui en résulte pour la Terre diffère beaucoup de celle qu’on détermine par la comparaison des mêmes degrés au degré mesuré à lequateur , par les observations du pendule et par d’autres phénomènes astronomiques. Cette figure d’ailleurs ne saurait se concilier avec les lois de l’Hydrostatique ni avec celles de la précession et de la nutation, qui défendent de supposer au sphéroïde terrestre un aplatissement plus grand que dans le cas où toutes ses couches seraient d égalé densité,
c’est-à-dire supérieure à
Les valeurs de ah et de £ sont celles qui conviennent à la figure elliptique du méridien terrestre qui donne un minimum pour la plus grande des erreurs commises dans les mesures qui ont servi à déterminer l’arc compris entre Dunkerque et Montjoui; si l’on substitue ces valeurs dans les équations (f), on trouve, pour ces erreurs exprimées en secondes ,
e,= — o",33, et = -f- o",3g, e, — — i',56,
46a THÉORIE ANALYTIQUE
Ainsi , la pins grande erreur ne monte pas à plus de a", et leur moyenne, abstraction faite du signe, est de o",q6 ; ces erreur sont comprises par conséquent dans les limites de celles dont les observations sont susceptibles.
Mais pour mieux se convaincre que les mesures qui 'résultent des opérations exécutées en France ne permettent pas de supposer à la Terre une
ellipticité de et, à plus forte raison, une ellipticité moins considérable, supposons dans les équations (y) ah — on aura
ea = 2.913979 — 8. 5o5765. £,
<?3 = — > 0.049176 -f- 0.136690.6, ei = — 2.719575 -f- 7.751264.6,
es = — 4*9I0927 ■+* >5.998523.6.
En combinant entre elles ces équations, on trouve 0 = — 178.7527 -1- 6//. 009. 48074,
d’où l’on tire , pour la valeur de 6 qui rend la plus grande des erreurs un minimum, 6 = o.55o853 , et par suite pour la longueur du degré moyen,
s = 28502ro°%
Valeur qui s’accorde assez bien avec celle de 285o4 qui résulte de la comparaison du degré de France à celui du Pérou. En substituant pour 6 sa valeur dans les équations précédentes, on trouve
La pins grande erreur serait, dans ce cas, de — 4f,»58. Or, l’excessive précision avec laquelle ont été faites les observations ne permet pas de supposer dans la détermination des latitudes une erreur aussi considérable. L’aplatissement de que les observations
faites en France en 1801 donnent au sphéroïde terrestre, a d’ailleurs été confirmé par les opérations exécutées depuis en Angleterre pour mesurer des arcs du méridien et des perpendiculaires à la méridienne; tout porte donc à croire que les anomalies que présentent leurs résultats tiennent à quelque cause particulière qui, dans ces contrées, écarte sensiblement la Terre de la figure elliptique ou qui , altérant d’une manière irrégulière l’homogénéité de ses couches, fait dévier de quelques secondes, soit vers le midi, soit vers le nord, le fil-à-plomb de l’instrument qui sert à fixer les latitudes des arcs mesurés. On peut conclure de ces observations et de celles qui sont développées dans les numéros précédens, que la surface de la Terre étant très irrégulière, ainsi que la densité des couches qui l’avoisinent , la mesure isolée d’un arc de méridien, quelle que soit son étendue, est peu propre à servir à la détermination exacte de la figure de la Terre; on tire, au contraire, de la comparaison de deux arcs du méridien mesurés à des latitudes très distantes, des notions sur cette importante question , qui s’accordent très bien
avec celles qui résultent des autres phénomènes , parce qu’à ces grandes distances , les effets qui tiennent aux inégalités de la surface du globe et à la non homogénéité de ses parties disparaissent, pour ne laisser subsister que ceux qui dépendent de sa forme générale.
44- Considérons maintenant les variations de la pesanteur aux diverses latitudes, et déterminons la figure elliptique la plus probable qui en résulte pour le sphéroïde terrestre. Les observations des longueurs du pendule à secondes, qui servent à reconnaître ces variations , sont plus faciles à exécuter que celles de la mesure des degrés ‘du méridien; les anomalies qu’elles présentent sont aussi beaucoup moins considérables , parce que les irrégularités de la Terre exercent surces observations une influence bien moins sensible que sur les autres : on doit donc obtenir par ce procédé des notions plus certaines sur la figure du globe que par les mesures directes prises à sa surface.
Parmi les nombreuses observations qui ont été faites des longueurs du pendule , nous choisirons les cinq suivantes. Le pendule dont il est ici question est celui qui fait 86400 oscillations dans un jour moyen , et les mesures ont été réduites au niveau des mers, dans le vide et à la même température.
Lieux
des
Observations.
Latitudes
Longueur du pendule à secondes l.
Noms des Observateurs.
Pérou
met»
Bougner.
Pelit-Goave
o,99ii5o
Bouguer.
Paris
Biot, Mathieu.
Pe'tersbourg
CO
Mallet.
Laponie
Clairaut , Mauperluis, etc.
On voit, par les résultats de ce tableau, que les longueurs du pendule à secondes augmentent d’une manière très sensible en allant de l’équateur au pôle. Soumettons ces accroîssemens à la loi de la proportionnalité au carré du sinus de la latitude , pour reconnaître s’ils confirment l’hypothèse de la figure elliptique du sphéroïde terrestre.
En substituant, dans les équations (ô) , les valeurs précédentes, on trouve
om,9g°564 — a — ô.o,ooooo = e, , o ,991 i5o — a — ô.o,iooi6 = etf
o ,993867 — a — b. o, 56672 = eSf
o >994589 — a — b. 0,72307 ss eK ,
* o ,995325 — a — b. 0,84629 = es ,
et en appliquant à ces équations la méthode, des moindres carrés, on aura, pour déterminer les valeurs des coustantes a et b qui donnent un minimum pour la plus grande des erreurs dont sont affectées les mesures du pendule que nous avons adoptées , , • Tome II. 3o
om, 995099 — a — b. 0,44765 = O,
o ,994548 — « — b. 0,70306 = o, d’où l’on tire
a = om, 990555, b = om,oo56786.
On aura donc généralement, pour l’expression de la longueur du pendule correspondante à une latitude L,
om, 990555 •+• om, 006679. sin* k*
La valeur de o est celle du pendule équatorial, et l’on
a - = o,oo5735i. L’aplatissement du sphéroïde, a
d’après le n° 35, est égal à cinq demi d* rapport d«| la force qentrifuge à la pesanteur sousl’équateur,
moins la valeur de la fraction précédente ; ce rap-
port pour la Terre est de n° 16, livre ï“; l’ellipticité du sphéroïde terrestre est par conséquent de o,oo865 — b-, ou de C’est l’aplatissement de
l’ellipsoïde le plus vraisemblable qu’indiquent pour la Terre les mesures du pendule rapportées dans le tableau précédent; il s’accorde d’une manière satisfaisante ayec celui que nous avons déduit, n° 41, de la comparaison des degrés du méridien mesurés dans des lieux séparés par de grands intervalles, et avec l’aplatissement de qu’on déduit des inégalités qui
résultent dans le mouvement de la Lune de la non sphéricité de la Terre.
Si l’on substitue pour a et b leurs valeurs précédentes dans les équations (g), on aura
e,=om, 00000g, <?m=om,oooo26, e, = om,oooog4, eK — — om, 000072, es = — om, 000047.
Ainsi donc, dans la combinaison même la plus favorable qu’on puisse faire de ces équations, on est forcé d’admettre une erreur de om, 000094 dans les mesures des longueurs du pendule que nous avons employées dans les recherches précédentes, si l’on suppose que ces longueurs varient comme le carré du sinus de la latitude. Cette erreur n’excède pas au reste la limite des inexactitudes dont les observations sont susceptibles , et elle est beaucoup plus faible que les erreurs correspondantes dans la mesure des degrés du méridien; ce qui prouve, comme nous l’avons dit n° 38 , que les causes qui écartent la Terre de la figure elliptique ont beaucoup moins d’influence sur les variations du pendule que sur celles des degrés mesurés à sa surface.
Cependant- il est à remarquer que, bien qu’elles soient moins sensibles , les mêmes irrégularités qu'on observe dans les degrés du méridien conclus d’arcs très rapprochés entre eux, se reproduisent dans les longueurs du pendule à secondes. Ainsi, par exemple, la plus grondedé ces anomalies dans les degrés mesurés en France et en Espagne, par Delambre et Méchain , se trouve dans l’arc compris entre les parallèles de Formentera et de Barcelone , et les variation» de degrés subissent entre ces deux points un raient tissement considérable; de même, les variations) du
pendule dans cet intervalle sout beaucoup plus faibles que celles que donnerait la loi du carré du sinus de la latitude ; c’est ce qu’on verra d’une manière évidente par le tableau suivant, où les constantes a et b ont été déterminées en comparant deux à deux les observations qu’il renferme.
Lieux
de» observations.
Longueurs du pendule.
Latitudes.
‘ Unit...’
Leitb.
Dunkerque
Clermont.'.
Barcelone
■ Fofinenlera.’
fJ je/, ..
°’n.£949lî
o ,9935ao
Go» $ 5' a5”
5t.iG.38
o™, 005495 5 0 ,oo55io5 0 ,0055378 0 , 00434a t 0 ,0014734
La- constante b conserve à peu près la même valeur dans les trois premiers intervalles y mais elle commence à décroître d’une manière très prononcée depuis. Clermont jusqu’à Barcelone, et ses variations sont encore beaucoup plus rapides de Barcelone a Fermentera. Il faudrait pour concilier cette valeur du coefficient du carré du sinus de la latitude , avec celle qui résulte des observations faites en des lieux éloignés , supposer dans les mesures précédentes des erreurs de 8 à g centièmes dé millimètre , ce qu’il est impossible d’admettre. La longueur a du pendule équatorial présente, dans ce tableau, des différences non moins remarquables. La longueur réelle de ce
pendule, conclue des observations faites à lequateur ouàdes latitudes voisines, est de om, 991006. Les oI>servations précédentes, faites à des latitudes supérieures à 45®, donnent, comme on voit, des longueurs beaucoup trop fortes , tandis que celles qui répondent à des latitudes inférieures en donnent de trop faibles. Ce résultat remarquable se manifeste d’une manière bien plus prononcée encore , lorsqu’on compare entre elles des observations faites surune plus grande échelle et comprises, les premières, e#tre le 45e degré et le pôle , les secondes, entre le 45* degré et l’équateur. Au reste , il est évident , comme nous l’avons ditn° 42, que ces anomalies se compenseront eh grande partie lorsqu’on choisira des observations faites en des lieux très éloignés, et qu’on rendra ainsi les résultats plus indépendans de perturbations qui ont sans doute pour cause principale les irrégularités de la surface de la Terre.
45. Considérons maintenant Jupiter, la seule des planètes dont l’aplatissement ait pu être déterminé par l’observation directe. Reprenons l’équation (2) du n° 25 :
arc tang A =
9* -f- 27 AS
Lorsque la valeur de <7 sera connue , on aura , par cette équation, celle de A, et par conséquent le rapport \/ i-f-A* de l’axe de l’équateur à l’a^xe du pôle. Or, en supposant le cas de l’homogénéité, on a,
n° a5, Soit D la distance du quatrième satel-
lite de Jupiter au centre de la planète , et T le temps
de sa révolution, exprimé en jours ; sa force centrifuge sera à celle qui anime un élément de la masse de Jupiter placé à l'unité de distance de l’axe de rotation, comme ^ est à T' étant le temps de la
rotation de Jupiter, exprimé en fractions du jour, La force centrifuge du satellite est d'ailleurs égale à la force qui retient cet astre dans son orbite , c’està-dire à la masse M de Jupiter , divisée par D'; on aura donc «
