J.[esin(A-).sin(A-c)+^î .cos(A-a)]}.ç} (C

— / db \»~

J+d£+\^+~rh) >>

et le problème est alors réduit à Irrésolution de ces deux équations. Elles feront connaître immédiatement r et ç, et l’on

en conclura au moyen de l’équation (a).

On pourra employer ces formules avec sûreté, toutes les fois que le numérateur et le dénominateur de l’expression de i ne deviendront pas de trop petites quantités pour être déterminées avec précision , ce qui arriverait, comme il est facile de s’en assurer, dans le cas particulier où le Soleil se trouverait situé à très peu près dans le même plan que l’orbite apparente de la comète , à l’époque de l’observation moyenne. La méthode précédente, ainsi simplifiée , est sans contredit la plus commode que l’on puisse employer pour la détermination des orbi tes des comètes.

Lorsque les quantités r, g, seront connues, on déterminera, au moyen des équations (1) et (8), les valeurs des six quantités x, y, z, x', y z', et par suite tous les élémens de l’orbite parabolique. Si l’on veut se borner à déterminer la distance périhélie qui suffit pour procéder immédiatement à la recherche de l’orbite corrigée, en nommant D cette distance , on aura , n° 17, livre III ,

La première des équations (A) différenciée, en observant qu'on a, 11° 8, en négligeant le cube de l’excentricité de l’orbe terrestre ,

dit ... . dA r— i

= e sin (A — ») ,

donnera

dt

dt

-f e sin (A — a) cos (A — a) — - — g^-.sin (A — rt)~|\(Q

da

+ « . R sin (A — a) . -y- -f- Re sin (A — »).

4g4 THÉORIE ANALYTIQUE

En nommant s cette quantité, elle fera connaître, n® 17 , livre cité, selon qu’elle sera négative ou positive, si la comète s’approche du périhélie, ou si elle l’a déjà dépassé; on aura ensuite

la distance angulaire t> de la comète à son périhélie sera donnée par l'équation de la parabole ,

1 co s i v = — .

On déterminera enfin par la table des comètes le temps que la comète emploie à décrire l’angle v, et ce temps ajouté ou retranché de l’époque de l’observation , fera connaître l’instant du passage par le périhélie,

a. Il ne reste donc , pour l’application de la méthode précédente , qu’à montrer comment on formera , d’après les données

de l’observation, les valeurs des coefficiens différentiels -r,*-!- , ’ dt dt ’

, . Voici la manière la plus simple de procéder à cette

opération.

Soit a la longitude de la comète à l’instant oh l’on fixe l’origine du temps /; on prendra pour cette époque celle de l’observation qui tient à peu près le milieu entre toutes les autres; on pourra au bout d’un temps quelconque t, peu éloigné de cette époque, supposer la longitude a' de la comèie représentée par la formule, \

tt'= a -J- t

da d‘a f1 d3a

'Tt + *'dï + l 73‘3F+ ’

etc.

On formera autant d’équations semblables à la précédente

qu’on aura d’observations, et l’on pourra déterminer par leur

, : . da d‘a 1

moyen autant de coeluciens , etc.

i Prenons donc, pour fixer les idées, trois observations qucl-

Dü SYSTÈME DU MONDE. 495

conques <le la comète; désignons par a°, a , a, les trois longitudes qui leur correspondent, et soient < et #' les espaces de temps, exprimés en jours moyens solaires, qui séparent respectivement les deux observations extrêmes de l’observation moyenne; on aura, d’après la formule générale, les deux équations suivantes:

dt

fi' da a.

6 ’dt~*“ï7â'dï'

Si l’on nomme b°, b , b', les latitudes de la comète, correspondantes aux trois observations, on aura de même

. db fl* cPb \ dt'~7^‘dF’

dt 1.2 dt‘ .

La résolution de ces équations dotmera les valeurs des quatre

da d*a db d*b , . .

quantités ^ , j- , j-, qu il s agissait de déterminer.

Dans les équations précédentes, les intervalles de temps fl et 6' étant exprimés en jours moyens solaires, pour l’uniformité du calcul, on les multipliera, n°8, liv. III, par le nombre dont le logarithme est8, 2355821, et l’on convertira en même temps les arcs a — a°, b — b°, etc. , en parties du rayon pris pour unité.

L’exactitude de la méthode précédente dépend surtout de la

... , , , , • . , da db d*a d*b

précision des valeurs des quantités . Les er-

reurs des observations doivent influer d’autant plus sur les deux dernières qu’elles seront plus petites; il sera donc bon de n’employer, comme cette méthode permet de le faire, que la plus grande de ces deux quantités.

On conçoit qu’en multipliant les observations de la comète, on pourrait former autant d’équations semblables aux équations (12) et ( s 3) ; en combinant ensuite ces équations par la

méthode des moindres carrés, on formerait quatre nouvelles

• - -• , , , , . ds do

équations qui serviraient a déterminer les inconnues -5-, ,

a b dt

dF’ d~F' ^a'S| indépendamment de la longueur des calculs,

on a reconnu qu’on n’était pas, par ce procédé, conduit à des résultats plus certains, parce que les erreurs des observations prenaient alors d’autant plus d’influehee sur les résultats qu’elles étaient plus nombreuses. Il faudra donc, dans cetto méthode comme dans les autres, se borner à employer trois observations , nombre strictement nécessaire pour résoudre (a question , et alors elle en offrira peut-être la solution la plus simple, parce qu’on peut se servir immédiatement des données de l’observation sans leur faire subir aucune préparation. Il suffit à la sûreté des résultats que les observations ne soient pas trop éloignées entre elles pour que la formule générale ( 1 1 ) cesse d’être convergente.

3. Pour faciliter l’usage des formules précédentes, nous allons en faire l’application à la çoroète de i8?4, dont nous avons déjà déterminé l’orbite d’une autre manière dans le 110 a3 du livre III.

Je choisis les trois observations suivantes, qui sont séparées par des intervalles de temps assez inégaux ; cas où il sera surtout avantageux d’employer la méthode que nous venons d’exposer , parce que celle qui est développée dans le livre cité suppose toujours les différences de ces intervalles très petites, et que, sans cette condition , elle ne donnerait plus des résultats suffisamment exacts.

Août. 4; >9*748 i6,g33o8 Sept.. 3,91004

Longitudes observées.

Latitudes observées.

Si l’on prend pour époque l’observation du 16 août, 011 aura

a = 237° 27' 12" , b = 55°iq' 43",

Dü SYSTÈME DG MONDE. 497

et pour les intervalles de temps fl et fl' qui séparent les deux observations extrêmes de l’observ'atftm moyenne , * ’

> j = 1 2^,oo56o , t' = j 7^,97 696.

Si l’on ajoute aux logarithmes de chacun de ces nombres, le logarithme constant 8.23558ai, et si l’on réduit les arcs û" — a, a — cl en parties du rayon , on formera les deux équations suivantes :

o.a63336 = — 0.206622 . jgî + o»o2i^26.^~, — 0.338196= 0.309242.^ + 0.047815.^,

d’où l’on tire

da

Tt=~ 1.202436, -j-

On aurait de même, relativement à la latitude, »

dt dt *

,, . . *. •«.. -ii; ; iiu» ' * KBpfftiS

d’où l’on tire . »•. . W- .

jp ~ — 1.103768.

SWf#U|

On a d’ailleurs, par les tables du Soleil pour l’époque de l’observation moyenne,

A — 323° 53 29 log. R o.oo5i558,

loS- — g— = 9-994;8a6 log.esin(A— •). . . 8.0684537.

Avec ces valeurs , on a formé , au moyen des formules (15) et (a) , les trois équations suivantes :