SUPPLÉMENT ÀU LIVRE V

Sur l’ attraction des ellipsoïdes homogènes .

Nous avons vu dans le n® 7 du livre V, que les expressions des attractions des ellipsoïdes sur les points extérieurs, contenaient un radical qui en avait rendu jusqu’ici l’intégration impossible par les méthodes connues. On est parvenu à éluder cette difficulté en ramenant les attractions telatives aux points extérieurs à l’ellipsoïde, à celles qui se rapportent aux points intérieurs ou situés sur sa surface. Mais les diverses méthodes qù’on a employées et le théorème de M. Ivory lui-même, tout ingénieux qu’il est, n’ont pas fait avancer d’un pas l’intégration des formules dont il s’agit. Il restait donc à désirer pour l’honneur de l’analyse que la difficulté fût pour ainsi dire attaquée de front et qu’on parvînt enfin à déduire les expressions ramenées à la forme de quadratures, des attractions des ellipsoïdes sur les points extérieurs , de l’intégration directe des formules qui les déter- Tomk II. 1

minent comme on le fait relativement aux points intérieurs. Je suppose donc qu’on verra avec intérêt comment M. Poisson est parvenu à surmonter ces obstacles qui avaient arrêté tant de grands géomètres, et qu’après tant d’efforts infructueux, on pouvait croire invincibles ; c’est sans contredit l’une des plus heureuses conquêtes qu’ait faites l’analyse depuis bien long-temps.

i . On a , relativement aux points extérieurs , n° 7, livre Y, .

A = ffl/ — r r) düda sin 0 cos 0 , )

B = ff[d — r) â&dcù sin*0 cos a, > (1)

C = JJ{ Y' — r) dftdù) sin*ô sin a> . J

Les limites des intégrales relatives à 0 et à « devant correspondre aux points où l’on a rJ — r=o, c’està-dire pù le rayou r, mené du point attiré, est tangent à la surface du sphéroïde , mettons l’équation de l’ellipsoïde sous cette forme

eu sorte que h , h ' , W désignant , comme dans le numéro cité, les trois demi-axes respectivement parallèles aux coordonnées x , y et z, on ait

Si l’on substitue dans l’équation (1), pour x , y et z , leurs valeurs , n® cité ,

x=æa — rcosô , J=b — r sinfl cosa> , z=c-— rsinSsinaj;

qu’on résolve l’cquation résultante , en faisant pour abréger ,

l = a cos 9 -{- mb sin fl cosa + ne sin fl sin a> ,

L = cos' fl H- m sin* flcos'e? + n sin* 6 sin' w,

R* = I* t L (a* -f- + ne* — k) ,

on aura

ces deux valeurs sont celles de / et de r. On aura

donc

, îR

et en substituant cette valeur dans les formules (î), elles deviennent

’d&da sin 8 cos 8R

rfdbcUi sin'9 cos «R