B = ‘JJ L

n P rdüdti sin'8sin«R

C = ’JJ r—

formules qui correspondent aux formules ( f ) du livre Y, et où les intégrales doivent être prises entre les deux limites qui répondent à R = o.

Ces expressions ne sont pas intégrables sous cette forme, à cause du radical contenu dans R, quelles renferment ; mais on peut les rendre immédiatement intégrables en les différentiant par rapport à k. En effet, cette quantité n’entre pas dans la valeur de L ; elle ne se rencontre que dans celle de R , et en différentiant cette valeur, on a

^ — il .

dk ~~ ail ’

en supposant donc, pour abréger, A, = ~,

= -rr , on aura

V29</.v sin 0 cos0

V&<f«sin*6 cos *

'dddttu in* 0 sin*

formules beaucoup plus simples que les formules (3), parce qu’elles ne contiennent que la quantité R , tandis que les premières contenaient R et L.

Quant aux trois quantités A,, B, , C,, il est aisé de voir qu’elles représentent les composantes parallèles aux coordonnées x,jr etzde l’attraction qu’exerce ■sur le point donné, la couche elliptique dont la surface extérieure est celle de l’ellipsoïde, la surface intérieure une surface semblable et semblablement située, et l’épaisseur dk. En effet, il est évident qu’il suffit , pour obtenir les attractions exercées ‘par une pareille couche , de substituer dr' et dr à la place de t* et de r, dans les équations (i), lès différentielles dr' et dr étant prisés èn ne faisant varier que k dans leurs expressions, et substituant ensuite pour dd et dr leurs valeurs, on retrouve les formules (4).

Or, on peut toujours supposer l’ellipsoïde décomposé en une infinité de couches semblables, pour lesquelles les valeurs de m et n seront constantes et qui ne différeront que par la valeur de k. Si l’on fait donc varier k depuis zéro jusqu’à la valeur de cette quantité, qui répond à la surface du sphéroïde, et que nous désignerons par k' , la somme des. attractions exercées par chacune des couches.

exprimera l’attraction du sphéroïde entier sur le point donné, on aura donc

A = ■J'^Ajdk , B=f kBldk, C=J'"cdk, (5)

formules dans lesquelles on substituera pour A/f B,, C, leurs valeurs en fonction de k, résultant de l’intégration des expressions (4).

a. Il ne s’agit donc plus que d’intégrer ces formules. Pour cela , il faut d’abord y substituer pour R sa valeur. Or, en remplaçant I* et L par les quantités que ces lettres représentent, on a

R* = (k — mb* — rac*)cos’8-f-TO(Æ — a* — «c*)sin*0cos*«

-J-n(Æ — a * — mô*)sin*Ssin*û?

-j- linnbcsia *0 sine? cos a -f- 2 nac sinô cos 0 sin a

-J- -miab sin 0cos0cos«.

Si cette expression de R* ne renfermait que les carrés de sin 8 , cos 0 , sin a> et cos a> , l’intégration des formules (4), après sa substitution, n’éprouverait aucune difficulté; il faut donc tâcher de la ramener à cette forme. On pourrait y parvenir sans doute par une transformation convenable des variables 0 et a> ; mais , au lieu de ce moyen, il est plus simple d’employer les considérations géométriques suivantes.

J’oBserve que pour toutes les droites situées sur la surface du cône tangent à l’ellipsoïde et ayant son sommet au point donné, les angles 0 et <0 doivent satisfaire à l’équation d — r = o,"ou R* = o. En multipliant donc par r* l’expression de R*, et en faisant —

27 = rcos0, y = rsin 0 cosa>, 2 s=r rsinOsiiiA»,

on aura , » > '

(A — mb* — nc*)x* -f- m(k — a • — nc^y*)

' -f- n{k — a* — mb%)z% > (6)

-t- imnbcyz + 2 nacxz -f- imabxy = 0 , )

pour l’équation du cône tangent à la surface du sphéroïde et ayant son sommet au point attiré. Comme cette équation renferme la quantité k, il s’ensuit que ce cône variera pour chacune des couches dans lesquelles on a décomposé le sphéroïde.

Or, on sait, que si l’on représente généralement l’équation des surfaces du second degré, rapportées à trois axes rectangulaires , par

Ax*+By*~hCz*-f-2Dyz-f- aH-rz -f- aFary == 1. (7)

Cette équation , en prenant pour axes des coordonnées les axes principaux de la surface, deviendra

Mar'* + N/* -f- P/* = 1 , (a)

et les trois quantités M, N, P seront les racines de l’équation suivante, du troisième degré (*),

— 2DEF = o , .

et si l’on nomme a, C , y les trois angles que forment respectivement l’axe des coordonnées x' avec les axes des x% y et z , on aura

(*) Ce théorème a été donné pour la première fois par Petit, dans la Correspondance de l' École Polytechnique, n°4, vol. a*.

cos a. = : *•>-

„ (l — C) F -+- DE

COS b = >

(t — B) E-f DF

cos y = 1 — r ’

où l’on fait, pour abréger, . : '

a’ = ru — B) (1 — C) — D*]J + [(< — Ç)F +DE]‘

+ [C* — B) E -f- DF]a.

3. Lorsque le second membre de l’équation (7) se réduit à zéro, la surface est un cône j en comparant, dans ce cas, cette équation à l’équation (6), on a

A = k — mb * — ne*, B =■ m{k — a* — ne*) ,

C —n(k — a*—mb*)> D = mnbe,

E = nac , F = mab. ;•

En substituant ces valeurs dans les formulés (9) ,

elles deviennent „ , • ' </■

ït-mik— a'— «c*)ir^H{*— : mb'ïï—t m'n'ttc* cos«=— — : ; rr < '

' \ • 1 , ’ ' t Vf ' *. -

U — n(k — — mb‘Y\Tnak-\r mn'abc* cos C — 1 r ’

U — m(k — a’ — ne*)] nqc 4- m' nab'c . , cos y — ^ "JT

et A* est égal à la somme des carrés des numérateurs de ces trois expressions^ , '

L’équation (8), en la développant, devient par les mêmes substitutions

tï-t’ft, +m+n)k — (nt+n)a'— (1 + n)mb>-(t+m)nc')] j '•

+ l(k—a'-^’~nC*)l(mn+Tn+n)k—; rwn(o*4‘é*+c,)}| (ii) — 1 mnk{k—a*—mb*-+*nc*)x = 0. . f-

(to)

Le dernier terme de cette équation étant négatif, les racines sont ou toutes trois positives, ou l’une positive et les deux autres négatives; or, dans le premier cas, la surface se réduirait à un point; le second cas est donc celui qui a lieu ici , et c’est en effet ce qu’il est facile de vérifier.

Soit par conséquent fi la racine positive de l’équation précédente, — p et — les deux racines négatives. L’équation (a) deviendra

— Pf% — qz'* — o,

et l’on aura par conséquent pour l’expression de R* y réduite à sa forme la plus simple ,

. R* = pc cos1 0' — (p cos'û»’ + <7sin*û/)sin*0',

0' et co' étant ce que deviennent 0 et o relativement aux nouveaux axes des coordonnées. L’angle 0' së compte à partir de l’axe des æ', c’est-à-dire de l’axe du cône tangent à la couche elliptique, qui répond à une valeur déterminée de A:; à la surface du cône on a R* = o, et par conséquent,

cos. y = - f

Or, les intégrales (9) devant être prises entre les limites qui répondent à R =; o , il est clair qu’il faudra, après y avoir substitué, pour Ô et <0, leurs valeurs en 0' et co’, les étendre depuis 0 = o jusqu’à 6 = 0', et ensuite depuis co' =0 jusqu’à c/=27Z\ Mais si l’on change 0 et co en 0' et a>' dans les formules (4), on aura les suivantes:' ‘V>-. * ^ .

db'dit sin 6' cos 8'

cos

ç, __ J'J'dè'd* sin'Ô'sinü'

A' , B' , C' représentant ici les attractions de la couche elliptique décomposées , parallèles aux axes principaux du cône tangent.

Or les deux dernières formules se réduisent à zéro , parce que si , après avoir effectué l’intégration relative à 8', on substitue pour 0' et R leurs valeurs, elles deviendront de la forme

A' —J' P cos a' do', P sina'dco' ,

P étant une fonction de sin* g?' et cos* g?', et que les angles »' étant pris à égale distanee au-dessus et au-dessous de deux angles droits, les valeurs correspondantes de P cos&Z et de P sin»' sont égales et de signes contraires. L’attraction de la couche est par conséquent dirigée tout entière suivant l’axe du cône tangent; et si l’on représente cette attraction par K dk, on aura ses trois composantes parallèles aux axes de l'ellipsoïde , en multipliant K dk par les cosinus des angles que forme l’axe du cône avec les axes des x , des j- et des a ; en faisant donc

Y dV sin 8' cosô'\

on aura A, = K cos a, B/ = Kcos^, C, — K cos y,